2023-2024学年福建省龙岩市上杭县第四中学九年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市上杭县第四中学九年级上册月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题， 填空题，填空题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．）
1．下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．“a是实数，”这一事件是
A．必然事件B．不确定事件C．不可能事件D．随机事件
3．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1B．ax2+bx+c＝0C．3x+＝4D．x2﹣2＝0
4．已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的表面积为（ ）
A．B． C．D．
5．如图，反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．将一个小球放在如图所示的地砖上自由滚动，小球最终停在黑色方砖上的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，五角星围绕中心O旋转，旋转角至少为多少度才能与自身重合（ ）
A．B．C．D．
8．有一个人得传染病，经过两轮传染后共有121人得病 ，每轮传染中平均一个人传染了（ ）个人．
A．10B．11C．12D．13
9．已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A．3B．1+C．1+3D．1+
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．
13．有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱中搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”“空”二字的概率是 ．
14．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为 ．（结果保留π）
15．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为

16．已知抛物线与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程：无实数根；③；④的最小值为3．其中正确的结论个数为 （写题号）.
三、填空题（本题共9小题，共86分．）
17．解下列方程
(1)
(2)
18．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）方程 的两个根为 ．
（2）不等式 的解集为 ．
（3）当时，，则自变量x的取值范围为 ．
19．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．

(1)求点的坐标；
(2)用的代数式表示；
(3)当的面积为9时，求一次函数的表达式．
20．“双减”政策后，各校积极探索“课内提质增效，课后丰富多彩”的有效策略．某校的课后服务活动设置了四大版块课程：A．体育活动；B．劳动技能；C．经典阅读；D．科普活动．若聪聪和慧慧两人随机选择一个版块课程。
(1)聪聪选“经典阅读”课程的概率是；
(2)用画树状图或列表的方法，求聪聪和慧慧所选的版块课程恰好相同的概率。
21．如图，已知方格纸中有A、B、C三个格点，求作一个以A、 B、C为顶点的格点四边形．
(1)在图1中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形．
(2)在图2中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形．
22．（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；
（2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长．
23．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式 ；
(2)在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1890元，这种消毒液每桶实际售价多少元？
24．是的直径，点C在上，点D在上，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点D作于点E，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，F为的中点，交于点G，延长，交于点H，连接，若，周长为，求弦的长．
25．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐一判断即可．
【详解】解：A不是轴对称图形；
B不是轴对称图形；
C不是轴对称图形；
D是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，结合乘方的意义可判断它们分别属于哪一种类别.
【详解】∵a为实数，
∴，
∴该事件一定成立，是必然事件．
故选A．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．D
【分析】先判断是否是整式方程，如果是整式方程，化简后只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程
【详解】解：A．含有2个未知数，故错误；
B．当a＝0时不是一元二次方程，故错误；
C．为分式方程，故错误；
D．只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，正确；
故选：D．
【点睛】用到的知识点为：一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；并且二次项系数不为0．
4．B
【分析】本题考查了圆锥表面积的计算：根据圆锥侧面积加上圆锥的底面面积计算即可．
【详解】解：根据题意得：
．
故选：B
5．C
【分析】根据反比例函数的性质即可解答．
【详解】解：∵-5<0
∴反比例函数的图象在第二、四象限，
又∵，
∴反比例函数的图象在第四象限，
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
6．A
【分析】根据概率的定义求出黑色方砖与全部面积的比值即为答案．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则：，
∴
故选A．
【点睛】本题考查了几何概率，解题的关键是求出黑色方砖的面积占总面积的比值．
7．B
【分析】本题主要掌握旋转对称图形的概念，熟练掌握旋转对称图形的概念是解题的关键．五角星能从中心发出的射线平分成相等的五部分，再由一个周角是即可求出最小的旋转角．
【详解】解：五角星能从中心发出的射线平分成相等的五部分，
最小的旋转角为．
故选B．
8．A
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题的运用，根据两轮后传染人数121列出方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，
由题意得：第一轮传染之后有人得病，
第二轮传染之后有人得病，
即，
解得：（舍去），
故选：A．
9．D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
10．D
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．

∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH=，
在Rt△CKH中，CK= =，
∴CQ的最大值为1+，
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点解答即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的关键．
12．3
【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关系．直接利用根与系数的关系，即可得到答案．
【详解】解：由于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，
．
故答案为：．
13．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰为“天”、“空”的有2种结果，
则恰为“天”、“空”的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14．
【分析】本题主要考查弧长的计算公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：连接，
，分别与相切于点C，D，
，
，
．
故答案为：．
15．2
【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，在中，令得，进而得出，，，根据得到，即可得到答案．
【详解】解：设，在中，令得，
令得，
，，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
16．①②③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据抛物线对称轴公式得到，由此即可判断①；根据抛物线与x轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，则抛物线与直线无交点，由此即可判定②；根据当，，得到，即可判断③；根据当时，，得到，则，由此即可判断④.
【详解】解：∵，
∴，
∴抛物线对称轴在y轴左侧，故①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，
∴抛物线的顶点坐标在x轴上方或在x轴上，
∴抛物线与直线无交点，
∴关于x的方程：，即方程无实数根，故②正确；
∵当，，
∴，故③正确；
∵当时，，
∴，
∴，即
∵，
∴，
∴的最小值为3，故④正确；
故答案为：①②③④.
17．(1)
(2)
【分析】（ 1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（ 2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）
所以；
（2）
或
所以
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18． ，
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式、二次函数与一元二次方程：
（1）根据函数图象与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据图象在x轴上方部分即为即可求解；
（3）由图得：抛物线的开口向下，且对称轴为直线，根据二次函数的增减性即可求解；
熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取相关信息是解题的关键．
【详解】解：（1）由图得：和x轴的交点坐标为、，
故方程的两个根为，，
故答案为：，．
（2）由图得：
不等式的解集，
故答案为：．
（3）由图得：抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
则当时，，则自变量x的取值范围为，
故答案为：．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把点代入，从而可得答案；
（2）把点代入，从而可得答案；
（3）利用三角形的面积先求解，可得的坐标，可得，代入再解决的值即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
（2）∵点在一次函数的图象上，
∴，
即．
（3）如图，连接．

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为：．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，熟练的利用待定系数法求解函数解析式是解本题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中聪聪和慧慧选同一个板块课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）聪聪选“经典阅读”课程的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中聪聪和慧慧所选的板块课程恰好相同的结果有4种，
所以P（聪聪和慧慧所选板块课程相同）
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了利用旋转性质设计图案，利用轴对称设计图案，熟练掌握特殊四边形的轴对称和中心对称的性质是解题的关键．
（1）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出平行四边形即可；
（2）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出等腰梯形即可．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：如图，四边形即为所求．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长．
【详解】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB；
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，
∵OA=2，
∴OP=2OA=4，
∴PA=
【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．
23．(1)
(2)44
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式．
（1）根据题意知，将点、代入一次函数表达式，，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x的一元二次方程，通过解方程即可求解
【详解】（1）解：根据题意知y与销售单价x之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式，得，
解得，
故函数的表达式为：；
（2）由题意得：，
整理，得．
解得，（舍去）．
所以．
∴这种消毒液每桶实际售价44元．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)15
【分析】（1）连接，由圆周角定理可知，由可推出，利用垂径定理可推出结论；
（2）连接，，过点D作的垂线交的延长线于点M，先证明，得出，再证明，得出，即可推出结论；
（3）连接并延长，交于点N，连接，过点H作直径的垂线，交于点K，垂足为Q，先证，推出，在中利用勾股定理求出直径的长，再在中利用勾股定理求出弦心距的长，接着证四边形为矩形，推出，的长，最后在中利用勾股定理即可求出弦的长．
【详解】（1）证明：如图1，连接交于点P，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点M，
由（1）知，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
又∵四边形为圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接并延长，交于点N，连接，过点H作直径的垂线，交于点K，垂足为Q，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵周长为，
∴，
在中，，
∴，
解得:，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴弦的长为15．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性较强，解题的关键是能够作出合适的辅助线．
25．(1)
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
(3)
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论；
（3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图2，由题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．