2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区第四十九中学校七年级上册期中数学(五四制)试题（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区第四十九中学校七年级上册期中数学(五四制)试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列各式是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个图形中，和是对顶角的是（ ）．
A．B．C．D．
3．的算术平方根（ ）
A．B．C．D．
4．运用等式性质进行的变形，一定正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
5．如图，由AD∥BC可以得到的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3+∠4＝90°
C．∠DAB+∠ABC＝180°D．∠ABC+∠BCD＝180°
6．如图，直角三角形中，，，垂足为点D，则下列说法正确的是（ ）

A．线段的长表示点C到的距离B．线段的长表示点A到的距离
C．线段的长表示点B到的距离D．线段的长表示点C到的距离
7．如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，如果1托为5尺，那么索和竿子各为几尺？设竿子为x尺，可列方程为( )
A．x+5﹣x=5B．x﹣(x+5)=1
C．x﹣x+5=5D．x﹣(x+5)=5
9．已知点P(x，y)的坐标满足|x|=3，=2，且xy＜0，则点P的坐标是( )
A．B．C．D．
10．下列说法中正确的有（ ）
①同位角相等，两直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③负数没有立方根；
④无理数包括正无理数、0、负无理数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．若方程是关于的一元一次方程，则 ．
12．一个数的立方根是－2，则这个数是 ．
13．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： .
14．2022年卡塔尔世界杯激战正酣，按照国际足联的规定，足球比赛胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在小组赛阶段共进行了3场比赛，保持不败，共积7分，则该队胜了 场．
15．已知点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标为 ．
16．若“△”是新规定的某种运算符号，设x△y＝xy+x+y，则2△m＝﹣16中，m的值为 ．
17．如图，已知，，若，则= ．

18．一项工程由甲施工队单独工作需要12天，若由乙单独工作需要24天，实际施工中，甲、乙两工程队同时施工5天后，甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙工程队独自完成，则还需要 天能够完成整个工程.
19．平面直角坐标系中，已知轴，点的坐标为，并且，则点的坐标为 ．
20．如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则 °．
三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27各10分，共计60分）
21．解方程：
(1)
(2)
22．计算：
(1)
(2)
23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，三角形的顶点均在格点上，点的坐标为．
(1)画出将三角形向左平移6个单位，再向下平移4个单位后得到的三角形；
(2)连接、，画出三角形；
(3)直接写出三角形的面积．
24．填空并在括号内加注理由．
已知：如图，，，，，求证：．
证明：∵，（已知）
∴（________________）
∴（________________）
∴________（________________）
∵（已知）
∴（________________）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴________（________________）
∵（已知）
∴
∴
∴（________________）
25．王经理经营的希望蔬菜种植合作社今年种植的马铃薯喜获丰收根据市场信息，将马铃薯直接销售，每吨可获利100元；如果对马铃薯进行精选送进超市销售，每天可销售8吨，每吨可获利1000元；如果送进马铃薯加工厂制成薯条销售，每天可加工0.5吨，每吨可获利5000元．由于受场地、天气等条件限制，在同一天中只能采取一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批马铃薯全部销售．若30天时间都进行薯条加工，未来得及加工的马铃薯，在市场上直接销售，则可获利78750元．
(1)求该蔬菜种植合作社今年共收获多少吨马铃薯？
(2)王经理为获得更多收入，他将部分马铃薯加工成薯条销售，其余精选送进超市销售，恰好用30天售完，求这批马铃薯全部售出后，王经理共获利多少元？
26．已知：，、是上的点，、是上的点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，为的角平分线，交于点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点，若平分，且比的多，求的度数．
27．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，三角形的边在轴上，点的坐标是，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，它们的坐标分别为、，且，．
(1)求、两点的坐标；
(2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿射线运动，点运动时间为秒，连接，三角形的面积为，请求出与之间的关系式；
(3)在（2）的条件下，当点在线段上运动时，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出的值和点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程进行分析即可．
【详解】A：不是等式，故A选项不符合题意；
B：未知数的次数不是1，故B选项不符合题意；
C：含有两个未知数，故C选项不符合题意；
D：符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，理解一元指的是只含有一个未知数，一次指的是未知数的次数为1，且未知数的系数不为0是解题的关键．
2．D
【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断．
【详解】解： A、两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；
B、两角没有公共顶点，两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；
C、两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；
D、两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，属于基础题，熟练掌握对顶角的概念是解决本题的关键．
3．B
【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根求解即可．
【详解】解：，
∴81的算术平方根是9，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
4．C
【分析】根据等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、如果，那么，故变形错误，不符合题意；
B、如果，那么，故变形错误，不符合题意；
C、如果，那么，故变形正确，符合题意；
D、如果，那么或，故变形错误，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了等式的性质，等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立，等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立，等式两边同时除以一个不为零的数，等式仍然成立．
5．C
【分析】依据两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，即可得出结论．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠3=∠4，∠DAB+∠ABC=180°，
故选：C．
6．C
【分析】根据点到直线距离的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、线段的长表示点A到的距离，故A不正确，不符合题意；
B、线段的长表示点C到的距离，故B不正确，不符合题意；
C、线段的长表示点B到的距离，故C正确，符合题意；
D、线段的长表示点B到的距离，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离．
7．A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由两角互余的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
8．D
【分析】设竿子为x尺，则绳索长为(x+5)尺，根据“对折索子来量竿，却比竿子短一托”，列出一元一次方程，即可．
【详解】设竿子为x尺，则绳索长为(x+5)尺，
根据题意得：x﹣(x+5)=5．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
9．D
【详解】试题解析：∵|x|=3， =2，
∴x=3或-3，y=4，
∵xy＜0，
∴x=-3，y=4，
∴点P的坐标为（-3，4），
故选D．
考点：点的坐标．
10．A
【分析】依次判断各个说法是否正确即可解答．
【详解】解：①同位角相等，两直线平行；故①正确；
②同以平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故②不正确；
③负数的立方根是负数；故③不正确；
④无限不循环小数是无理数，无理数包括正无理数、负无理数；故④不正确；
综上：只有①正确，共1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，垂线的定义，无理数的分类，立方根的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
11．
【分析】根据一元一次方程的定义确定即可．
【详解】因为是关于x的一元一次方程，
所以，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，称为一元一次方程．
12．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
所以这个数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根的定义．掌握立方根的定义是解答本题的关键．
13．如果两个角是对顶角，那么它们相等
【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单；
命题中的条件是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面；
【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
14．2
【分析】设该队胜了x场，则平了场，根据“保持不败，共积7分，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设该队胜了x场，则平了场，根据题意得：
，
解得：，
答：该队胜了2场，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
15．
【分析】根据点所在的象限确定其横、纵坐标的符号．
【详解】解：因为点在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点到轴的距离为2，到轴的距离为3，
所以点的横坐标为3，纵坐标为，
所以点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中各个象限内点的符号，解题的关键是掌握第一、二、三、四象限内各点的符号分别为、、、．
16．﹣6
【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】根据题中的新定义得：2△m=2m+2+m=-16，
移项合并得：3m=-18，
解得：m=-6．
故答案为-6.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
17．##110度
【分析】令与的交点为，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可求出的值，再根据两直线平行，同旁内角互补的性质，即可求出的值．
【详解】解：令与的交点为，
，，
，
又，
，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
18．9
【分析】利用“甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工可完成”这一等量关系列出等式即可．
【详解】题意可知甲的效率为每天完成，乙的效率为每天完成，
由题意可知1-（+）×5=，则乙单独完成还需=9.
故答案为:9.
【点睛】本题主要考查的知识点是：分式方程的应用，解题的关键是找到“甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工可完成”这一等量关系并列出等式．
19．或
【分析】根据平行于x轴的直线上的点，纵坐标都相等，可得出点N的纵坐标；再分两种情况：点N在点M的左边，点N在点M的右边，即可进行解答．
【详解】解：∵轴，点的坐标为，
∴点N的纵坐标为3，
∵，
∴当点N在点M的左边时，点N的横坐标为：，
当点N在点M的右边时，点N的横坐标为：，
∴点的坐标为或；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点，纵坐标都相等，根据题意进行分类讨论．
20．30
【分析】过点P作，则，根据平行线的性质与角平分线定义得 ，再根据三角形的外角定理，结合已知条件，得，由，根据三角形内角和定理得，由平角定义得，进而便可求得结果．
【详解】解：过点P作，则，
∴， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角定理，角平分线的定义．关键是作平行线建立已知角与未知角之间的联系．
21．(1)
(2)
【分析】对于（1），先移项，合并同类项，系数化为1；
对于（2），先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，解答即可．
【详解】（1）
移项，合并同类项，得
系数化为1，得；
（2）
去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．即去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
22．(1)
(2)
【分析】（1）先去绝对值，然后根据实数的运算可进行求解；
（2）根据算术平方根、立方根及乘方运算可进行求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根及实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根及实数的运算是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)14
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点、、，依次连接即可；
（2）连接、，即可得出；
（3）利用网格求三角形的面积，先把三角形放到正方形中，再减去周围三个三角形的面积，即可得出的面积．
【详解】（1）解：如图：
∴为所求三角形．
（2）解：如图：
∴为所求三角形．
（3）解：∵
∴．
【点睛】本题考查了作图-平移变换及利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移变换的性质得出、、的位置是解答本题的关键．
24．垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；；两直线平行，同位角相等；垂直定义
【分析】先证得，可得到，从而得到，进而得到，即可求证．
【详解】证明：∵，（已知）
∴（垂直定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴
∴
∴（垂直定义）
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；；两直线平行，同位角相等；垂直定义
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
25．(1)52.5吨
(2)102500元
【分析】（1）根据题意，找出等量关系，列出方程求解即可，总利润=加工薯条的利润+直接销售土豆的利润；
（2）先求出加工薯条的天数，即可求出总共获利金额．
【详解】（1）解：设该蔬菜种植合作社今年共收获吨马铃薯，
，
．
答：该蔬菜种植合作社今年共收获52.5吨马铃薯．
（2）设天加工薯条；则天精选送进超市销售，
，
，
．
答：这批马铃薯全部售出后，王经理共获利102500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程求解．
26．(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行即可求证；
（2）如图所示（见详解），过点作，根据平行性的性质，可求得，由此即可求解；
（3）设，则，根据角平分线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，可得，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图所示，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
∴．
（3）解：如图所示，
设，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的度数为．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的性质的综合运用，掌握平行线的性质和判定，角平分线性质，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键．
27．(1)，
(2)，
(3)存在，，，理由见解析
【分析】（1）根据，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：P在线段上，P在线段的延长线上，根据三角形的面积公式，可得t的值，根据线段的和差，可得的长，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）首先求出的面积，然后根据三角形的面积是三角形面积的，得出，，过点作轴于点，轴于点，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）∵、
∴，
又∵，
∴
∴
∴
∴，；
（2）过点作于点，
∵，
∴，
∴，
当点在线段上时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点在线段延长线上时，
同理可得：，
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
过点作轴于点，轴于点，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，三角形的面积，坐标与图形性质等知识点的综合运用，解题的关键是（2）（3）需要求出符合条件的所有情况，是一道比较容易出错的题目．