2023-2024学年湖北省随州市随县九年级上册联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省随州市随县九年级上册联考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计33分．）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，属于随机事件的有（ ）
①任意画一个三角形，其内角和为360°；
②投一枚骰子得到的点数是奇数；
③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
④从日历本上任选一天为星期天．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
4．关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（ ）
A．－3B．－6C．3D．6
5．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
8．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A．6米B．8米C．18米D．24米
9．2024元旦将近，九（3）班数学社团在迎新聚会上，大家长都相互握了一次手互祝新年顺利，经统计所有人一共握了66次手，则这次参加聚会的人数是（ ）
A．11B．12C．22D．33
10．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为【 】
A．B．
C．D．
11．如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）

A．B．C．πD．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计12分．）
12．已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则= ．
13．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
14．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为 ．
15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限．
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．）
16．请选择适当方法解下列方程：
(1)
(2)（公式法）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C．
18．邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
(1)在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ．
(2)在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
19．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点．
(1)则______，______，______
(2)观察图像，请直接写出满足的取值范围．
(3)若Q为y轴上的一点，使最小，求点Q的坐标．
20．临近春节，随州特产“泡泡青”已经上市，今年万达永辉超市以每件25元的进价购进一批“泡泡青”，当售价为40元时，十月份销售256件，十一、十二月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，十二月份的销售量达到400件．
(1)求十一、十二这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，2024年一月份的销售量将与十二月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，超市一月份可获利4250元？
21．如图，是圆的直径，A在的延长线上，，弦垂直于于点．
(1)求证：为圆的切线；
(2)若，，求圆的半径及的值．
22．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．

(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
23．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．

(1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分；
(3)【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案）
24．如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点．
(1)求抛物线与直线的函数解析式；
(2)设点的坐标为，求面积的最大值；
(3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．C
【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，
（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，
1×（﹣6）＝﹣6，
,6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．B
【详解】解：①是不可能事件，②③④是随机事件
故选：B
4．A
【分析】可将该方程的已知根代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出值和方程的另一根．
【详解】解：设方程的另一根为，
又，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，．
故选：A．
【点睛】本题考查根与系数的关系，此题也可先将代入方程中求出的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根，解题的关键是掌握根与系数的关系．
5．C
【分析】根据圆内接四边形的性质求得，利用圆周角定理得．
【详解】∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出的度数是解题关键．
6．D
【分析】该题实际上是将抛物线向下、向左平移5个单位，根据“左加右减”的规律解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
把点（0，0）向下、向左平移2个单位，
∴在新坐标系中此抛物线的解析式为．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．B
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=65°，∠C=∠E=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
【详解】∵将三角形ABC绕点A旋转65°得到ADE，
∴∠BAD=65°，∠C=∠E=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=90°-∠C =20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=85°，
故答案选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，通过旋转的性质得出题中角的度数，再根据直角三角形的性质与角的加减计算求解即可．
8．B
【分析】由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，结合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下来，由相似三角形的三边对应成比例可得，至此，本题不难求解.
【详解】解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，
∴CD= =8（米）.
故该古城墙的高度是8米.
故选B.
【点睛】本题是一道有关求解三角形的题目，回顾一下相似三角形的判定与性质；
9．B
【分析】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，
，
整理，得，
解得，，(舍去)
则参加这次会议的有12人．
故选：B．
10．B
【详解】∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线，
∴b＜0．
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0．
∴的图象经过第一、三、四象限；反比例函数图象在第一、三象限，只有B选项图象符合．
故选B．
11．C
【分析】整个旋转过程中线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，、为半径的两个扇形组成的一个环形，分别求出、，即可求出阴影部分面积．
【详解】解：连接，，

∵O、H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，
∴，
∴线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，、为半径的两个扇形组成的一个环形，
∵°，，，
∴，
∴，
∵H为边的中点，
∴，
∴，
∴阴影部分面积，
故选：C．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，涉及到直角三角形的性质及旋转的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
12．
【详解】设则所以,故答案为:.
13．60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
14．8
【分析】根据反比例函数系数k与几何面积的关系，列方程可以直接求出k 的值．
【详解】解：过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E，
则三角形APB的面积等于四边形ABED面积的一半，
根据反比例函数系数k与几何面积的关系可列方程：
，
解得：，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查反比例函数系数k与几何面积的关系，熟悉反比例函数系数k代表的几何意义是解题关键．
15．三
【分析】根据对称轴公式求出顶点横坐标，再根据开口向上及有两个交点即可得到顶点纵坐标与0的关系，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
顶点横坐标为：，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与x轴有两个交点，
顶点纵坐标：，
∴抛物线顶点在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数顶点公式，解题的关键是根据开口方向及与x轴交点确定顶点纵坐标与0的关系．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：“提公因式法、公式法”是解题的关键，（1）利用提公因式法即可得解；（2）利用公式法即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，
∴，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
17．（1）画图见解析；（2）画图见解析．
【分析】（1）把点的横纵坐标都乘以2得到的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可得到．
【详解】解：(1)如图, 为所作；
(2)如图, 为所作；
18．(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“冬季两项”只有1种情况，
恰好抽到“冬季两项”的概率是．
故答案为：．
（2）解：直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的结果有2种，
∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：．
【点睛】本题主要考查的是概率公式，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．(1)3，4，1；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图像即可求得；
（3）作A关于y轴的对称点，连接，，与y轴的交点即为Q点，此时的和最小，根据待定系数法求得直线的解析式，进而即可求得Q的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，；
将点代入得；
故答案为：3，4，1
（2）解：由图像可得：满足的取值范围是或；
（3）解：作A关于y轴的对称点，连接，如图，
∵，
∴A关于y轴的对称点．
设直线的解析式为，将，代入可得：
∴，解得：．
∴直线的解析式为，
令，则，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，轴对称-最短路线问题，数形结合是本题的关键．
20．(1)
(2)5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设平均增长率为x，利用十二月份的销售量十月份，即可得出关于x的一元二次方程，解之取正值即可得结论．
（2）设商品降价y元，则每件获利元，月销售量为，利用商场销量该商品月销售利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设平均增长率为x由题意得：
，
解得：或（舍）；
这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
当商品降价5元时，商场可获利元．
21．(1)证明见解析，
(2)3，
【分析】本题综合考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
（1）连接，证明，得出，进而推出，即可证明，即可得出结论；
（2）根据的比例关系，可用未知数表示出的表达式，进而可得的表达式；在中，由勾股定理得：，再根据，得出，即有，进而可得，即可求出圆的半径，以及的值．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
弦垂直于于点，
，
又，
即
，
为圆的切线；
（2）解：
设则，；
在中，由勾股定理得：
；
由（1）中可知，
即，
解得（舍去），，
，
．
22．(1)；
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入即可求得解析式；令，即可求得点B的坐标；
（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
（3）分别求出当抛物线经过点时的的值即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
将代入解析式得：
∴抛物线的解析式为
令，则
解得：
∴入水处B点的坐标
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：
将代入解析式得：
∵
∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵，，点E的坐标为
∴点M、N的坐标分别为：
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为顶点C距水面4米
，
∴当抛物线经过点时，把点M代入得：
同理，当抛物线经过点时，
由点D在之间可得：
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．熟记二次函数的相关形式是解题关键．
23．(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得；
（2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论；
（3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）解：，
证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：连接，如图，

由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴
由（1）知
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，最小值，
∴当时，最小，此时的周长最小，
∵，等边，
∴，
由勾股定理，得
∴的周长最小值．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)；
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的综合，本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，
（1）先根据二次函数的性质求得，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）由题意，，求得，由，结合二次函数的性质求解即可；
（3）分，两种情况，利用相似三角形的判定与性质和坐标与图形性质求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线
则
将点，代入
解得
抛物线的解析式为
设直线的解析式为
将点，代入
解得
直线的函数解析式为
（2）点M的坐标为，轴，
，，
，
，
当点P在射线上或在射线上，没有最大值，
点P在线段上，
当时有最大值
（3）存在这样的点P，使，理由如下：
，
与相似时由两种情况：
①当时，，
过点N作轴交于点E，
，
，
，
，又，
，
，，，，，
，经检验，是分式方程的根，
点的坐标为
②当时，，
则轴，
点纵坐标为，
，
或（舍去）
点的坐标为
综上所述：点的坐标为或
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，分类讨论和添加辅助线构造相似三角形求解是解答的关键．属于中考中的压轴题。