03指对幂函数-江苏省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份03指对幂函数-江苏省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（苏教版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知集合则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设集合，，若，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）若实数，，满足，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设,,,则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022上·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A．B．C．D．
11．（2022上·江苏南京·高三期末）若集合则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022上·江苏徐州·高三期末）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2022上·江苏泰州·高一统考期末）已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）．
A．B．C．2D．4
14．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
17．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知集合，则（ ）
A．A∩B＝AB．A∩B＝B
C．D．
18．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知a＝，b＝lg660，c＝ln6，则（ ）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
19．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知集合，则(RA)∩B＝（ ）
A．[0，2)B．[－1，0)C．[－1，0]D．(－∞，－1)
20．（2022上·江苏常州·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
21．（2022上·江苏南通·高三统考期末）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2021上·江苏南京·高三南京市中华中学校考期末）“悬链线”进入公众视野，源于达·芬奇的画作《抱银貂的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达·芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条．”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：，其中为悬链线系数．当时，称为双曲余弦函数，记为．类似的双曲正弦函数．直线与和的图像分别交于点、．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．随的增大而减小D．与的图像有完全相同的渐近线
23．（2021上·江苏南通·高三统考期末）设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
24．（2022上·江苏南通·高三统考期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①为偶函数；②；③当时，.
25．（2022上·江苏镇江·高一统考期末）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数 .
26．（2019上·江苏镇江·高三统考期末）函数的定义域为 ．
27．（2021上·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是 ．
28．（2021上·江苏南通·高三海门市第一中学校考期末）已知，且满足，则的最小值为 .
四、解答题
29．（2021上·江苏徐州·高三徐州市第一中学校考期末）已知函数，其中．
(1)讨论的极值点的个数；
(2)当时，证明：．
30．（2018上·江苏盐城·高三盐城中学校考期末）已经函数的定义域为，设
（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数
（2）求证
（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（解答过程可参考使用以下数据）
参考答案：
1．C
【分析】求出函数的定义域、值域即可求解.
【详解】因为单调递增，所以，
所以,
又由解得，所以，
所以，
故选:C.
2．B
【分析】解不等式求得集合，由此求得.
【详解】，，
．
故选：B
3．D
【分析】先化简集合，再利用并集的定义可求得结果.
【详解】因为，，，
故.
故选：D.
4．A
【分析】利用对数指数的运算性质对化简，利用正弦函数的单调性求出的取值范围，最后由中间值即可比较出结果.
【详解】，即；
，即；
，即.
故.
故选：A
5．C
【分析】解不等式得集合，求出对数函数的定义域得集合，由集合间的关系列出关于的不等式，解出即可.
【详解】因为，，
由于，得，即实数a的取值范围，
故选：C.
6．D
【分析】根据题意化简得，能得出，化为指数根据当或时，判定，
将两边同时取底数为4的指数，通过放缩比较的进而得出答案.
【详解】因为，，所以，
对于，令，则，故
当或时，，所以，即
所以，
将两边同时取底数为4的指数得
因为
所以
故选：.
7．D
【分析】方法一：利用指数与对数的互化和对数的换底公式得出，，，然后进行比较即可求解；方法二：利用指数与对数的互化和对数的换底公式得出，，，再进一步进行比较即可求解.
【详解】方法一：，∴，，∴，
∴，，
又，∴，∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，，
，，
∴，
故选：D.
方法二：由，.
而，，，，
∵，∴，
故选：.
8．C
【分析】根据题意将数据分别代入，求出和，然后即可求解.
【详解】由题意可知：，
，
联立方程组，消去可得：.
故选：C.
9．D
【分析】三个数中有指数和对数,用到放缩,即,则,即可得,根据,可得,取可得,选出选项即可.
【详解】解:由题知,记,,
所以,
所以,
所以,在时成立,
所以,
即,
即,
记,,
所以,
所以在上,,单调递减,
在上,,单调递增,
所以,
所以,
则,
即,
即,
,
即有,
因为,
所以,
综上: .
故选:D
10．B
【分析】计算的值，即可得解.
【详解】因为，
所以，估计以内的素数个数为.
故选：B.
11．D
【分析】将集合分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
所以.
故选：D.
12．D
【分析】解出对数不等式，化简集合A和集合B即可.
【详解】=，
，
，
故选：D.
13．B
【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.
【详解】,
由，
，
即，
，当且仅当，即时等号成立，
故选：B
14．C
【分析】由题可得，，再利用，即得.
【详解】∵，
∴，
∴ ，
又，
∴，,
所以.
故选：C.
15．C
【分析】化简集合A、B，由交集及补集的定义计算即得.
【详解】，
∴
∴.
故选：C.
16．D
【分析】由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】由题意，，，，则.
故选：D.
17．A
【分析】解不等式求出集合，及、，根据集合的运算逐项判断可得答案.
【详解】集合，
或，
，
或，
，故A正确，B错误；
或，故C错误；
，故D错误.
故选：A.
18．A
【分析】根据对数函数的单调性判断．
【详解】，，，
，，
易知，所以，即，所以．
故选：A．
19．C
【分析】解不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算．
【详解】或，所以或，
所以，
，
所以．
故选：C.
20．D
【分析】根据题意解出集合A,B，进而求出交集即可.
【详解】，，则.
故选：D.
21．BC
【分析】由二次函数的性质可判断A；由反比例函数单调性以及函数图象的平移可判断B；去绝对值由一次函数的性质可判断C；由指数函数以及复合函数的单调性可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上单调递减，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，将的图象向右平移一个单位可得，因为在上单调递增，向右平移一个单位可得在上单调递增，所以在区间上单调递增，故选项B正确；
对于C：，所以在区间上单调递增，故选项C正确；
对于D：是由和复合而成，因为单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故选项D不正确；
故选：BC.
22．AC
【分析】由函数的定义，代入化简可得A正确，B不正确；由可得C正确；由函数的图象变化可得D不正确.
【详解】，所以A正确；
，所以B不正确；
，且随着变大，越来越小，所以C正确；
，当时，是的等价无穷大，无渐近线，
，当时，是的等价无穷大，无渐近线，所以D不正确.
故选：AC
23．BD
【解析】对于A，根据基本不等式可知A不正确；对于B，当，时，计算可知B正确；对于C，根据基本不等式可知C不正确；对于D，当，时，计算可知D正确.
【详解】对于A，当时，所以，
所以，故函数不是“函数”故A不正确；
对于B，当，时，，
，满足，故函数是“函数”，故 B正确；
对于C，当正数时，所以，故函数不是“函数”，故C不正确；
对于D，当，时，，，满足，故函数是“函数”，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：理解新函数的定义是解题关键.
24．（答案不唯一）
【分析】取，逐项验证①②③，即可得出结论.
【详解】由题意可知函数为偶函数且在上为减函数，可取，
对于①，函数的定义域为，，故函数为偶函数；
对于②，对任意的非零实数、，；
对于③，当时，，则函数在上为减函数.
综上所述，函数满足条件.
故答案为：（答案不唯一）.
25．（答案不唯一）
【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.
【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
26．
【分析】由函数关系式列不等式求解．
【详解】要使函数有意义，
则，解得：，
所以函数的定义域为
【点睛】本题主要考查了对数函数的性质及对数不等式的解法，属于基础题．
27．
【分析】分析函数的单调性及其在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，，
故函数为偶函数，且当时，，
因为函数、均为上的减函数，故函数在上为减函数，
由得，则，
即，即，解得且.
故不等式成立的实数的取值范围是.
故答案为：.
28．4
【分析】由指数的运算得出，再由结合二次函数的性质得出最值.
【详解】由可得，即
故答案为：
29．（1）函数在上有且仅有一个极值点；（2）证明见解析.
【解析】(1)求导，然后结合导函数的解析式，可确定的单调性，再结合零点存在性定对分，，讨论，即可确定函数的极值点的个数；
(2) 由（1）知，当时，函数在上有且仅有一个极值点，也是最小值点，故，只需判断即可，由可得，，然后代入可化简关于的解析式，再设，则，可构造函数，利用判别式确定关于的二次函数的符号，从而可得.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，与同号，
①当时，，，
所以函数在内有一个零点，所以函数在上有且仅有一个极值点；
②当时，，，
所以函数有且仅有一个零点，所以函数在上有且仅有一个极值点；
③当时，，，因为，
所以，，又，
所以函数在内有一个零点，所以函数在上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
（2）由（1）知，当时，函数在上有且仅有一个极值点，也是最小值点，
设，，则函数的最小值为，
由可得，即，所以，
即，所以，
所以，
设，则，，
对于函数，，
设，，则恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以．
【点睛】关键点点睛：本题用导数证明不等式的关键是根据(1)确定函数的最小值及通过得到，后化简，进而通过换元构造函数，确定.
30．(1) (2)6（3）见解析
【详解】试题分析：（1）求出函数导数，令得或，所以在上递增，所以要使在为单调函数，则；（2）由（1）知在处取得权小值，又，所以在的最小值为，从而当时，，即；（3）等价于
即，记，则，由导数知在上单调递减，在上单调递增，所以，对任意正实数恒成立，等价于，即，再利用导数研究即可.
试题解析：
（1）因为
令得或；令，得
所以在上递增，在上递减
要使在为单调函数，则
所以的取值范围为
（2）证：因为在上递增，在上递减，
所以在处取得权小值
又，所以在的最小值为
从而当时，，即
（3）等价于
即
记，则
由 得，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以
对任意正实数恒成立，
等价于，
即
记，则
所以在上单调递减，
又
所以的最大值为6
点睛：处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.