08三角函数-江苏省2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版）

这是一份08三角函数-江苏省2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏常州·高三校考期末）设函数，其中．若，的图象关于点中心对称，且的最小正周期大于，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）中点在边上且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知函数的图象向左平移个单位长度后与其导函数的图象重合，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
5．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）已知函数，若，，的最小正周期，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针旋转后得，则的纵坐标为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
9．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知函数f(x)＝tanx－sinx，下列四个命题中真命题有（ ）
A．f(x)的最小正周期为B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的图象关于直线x＝对称D．f(x)的图象关于(，0)对称
10．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数，其图象相邻对称中心间的距离为，直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到余弦函数的图象
11．（2023上·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图像，则（ ）
A．
B．
C．的图像关于点对称
D．在上单调递减
12．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）函数在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A．该函数的解析式为
B．该函数的对称中心为，
C．在区间上的值域为
D．把函数的图像上所有点的向左平移个单位可得到该函数图像
13．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若是第二象限角，则在第三象限
C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）为的弧度数为
D．若角的终边过点，则
14．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足，则（ ）
A．直线BC的斜率为B．∠AOC＝60°
C．△ABC的面积为D．B、C两点在同一象限
三、填空题
15．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，取最小值时，若在区间上有解，则实数t的取值范围为 .
16．（2023上·江苏南通·高三统考期末）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数若一个声音的数学模型是函数，则的最小正周期是 ，的最大值是 ．
17．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知，，则 .
18．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）的三条边分别为，若该三角形绕着三条边旋转一周所得几何体的体积分别为.若，则的值为 ；若，，则的值为 .
19．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．若（）有最大值，则的取值范围是 ．
20．（2021上·江苏徐州·高三徐州市第一中学校考期末）在平面几何中，有勾股定理：“设的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥中的三个侧面两两相互垂直，则__________．”请将上述结论补充完整，并给出证明．
注：证明过程中不允许添加辅助线，涉及到立体几何的非必要证明过程可省略．
四、解答题
21．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”.
(1)若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”并说明理由；
(2)若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的定义域为，若恰好存在个不同的实数，，…，，使得（其中），则称函数为“级阶局部奇函数”，若函数是定义在R上的“4级1阶局部奇函数”，求实数的取值范围
22．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值.
23．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，点的纵坐标关于的函数为
(1)求函数的解析式，并求的值；
(2)若，，求的值
24．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
参考答案：
1．A
【分析】由题意确定函数的周期，即可求得，再根据求出，即得的解析式，代入求值，即得答案.
【详解】因为，的图象关于点中心对称，
所以，得，
因为的最小正周期大于，即，则，故，
又，所以，所以，
因为，所以，，
所以，
故选：A.
2．B
【分析】由两角和的正切公式展开后求得，从而可得，然后计算结合诱导公式．
【详解】，解得，
，
．
故选：B．
3．C
【分析】设，得，由利用余弦定理得代入，再利用平方关系求出可得，利用二次函数配方求最值可得答案.
【详解】设，，由得，
因为，，所以，
且为锐角，可得，
在中由余弦定理可得，
即，，
所以，
，
所以，
当且仅当即等号成立.
故选：C.
4．D
【分析】利用题意得到和，利用列等式即可求解
【详解】因为，所以，
而函数的图象向左平移个单位长度后得到，
由题意得，所以,解得且，
所以，
故选：D
5．A
【分析】利用对数指数的运算性质对化简，利用正弦函数的单调性求出的取值范围，最后由中间值即可比较出结果.
【详解】，即；
，即；
，即.
故.
故选：A
6．C
【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，可得答案.
【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，
经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即，
则,
故选:.
7．D
【分析】由已知可得，解不等式求出，再由周期公式求出，最后由可得答案.
【详解】，，则，，
∴，解得，因为，所以，
即，，
，，，
即，又
∴.
故选：D.
8．A
【分析】先根据题意求出角的正弦值和余弦值，再利用两角差正弦公式求出旋转后的角的正弦值，进而即可求解.
【详解】设是角终边上一点，则，.
绕点顺时针旋转后得，因为，
则，
故选：A.
9．BD
【分析】根据函数周期的定义，结合线对称、点对称的性质判断即可.
【详解】因为，
所以f(x)的最小正周期不是，因此选项A不正确；
因为，所以定义域关于原点对称，
又因为，
所以函数f(x)是奇函数，因此它的图象关于原点对称，所以选项B正确；
因为
，
所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，因此选项C不正确；
因为
，
所以f(x)的图象关于(，0)对称，因此选项D正确，
故选：BD
10．BCD
【分析】由周期求出，再由图像的对称性求出可得的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断出每一个选项.
【详解】因为，函数，相邻对称中心间的距离为，
所以，解得，所以，
由直线是其中一条对称轴，得，
解得，所以，，
所以，函数的最小正周期为，故A错误；
由，解得，
所以函数的增区间为
当时，单调增区间为，故B正确；
由解得，当时，，
所以点是函数图象的一个对称中心，故C正确；
将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的4倍，则变为，
再将图象上所有点纵坐标缩短为原来的一半，得到，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到，所以D正确；
故选：BCD.
11．AD
【分析】根据给定的函数图象，利用“五点法”求出函数的解析式，进而求出的解析式，再逐项判断作答.
【详解】函数的周期，则，，
由得：，又，则，，A正确；
依题意，，B不正确；
因为，则的图像关于点对称，C不正确；
当时，，所以函数在上单调递减，D正确.
故选：AD
12．AD
【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；
对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项：利用伸缩变换即可求解.
【详解】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，函数的对称中心为，故B错误；
因为
,故C错误；
把函数的图像上所有点的向左平移个单位可得到该函数图像,
可得到，故D正确．
故选:.
13．ABC
【分析】根据含量词的命题否定,弧长,面积公式,诱导公式,任意角三角函数定义分别判断选项即可.
【详解】对于:命题“，”的否定是“，”故正确;
对于: 因为,又因为是第二象限角, ,
所以,则在第三象限,故正确;
对于:已知扇形的面积为4，周长为10，则
或
(舍)或者，故正确；
对于：角的终边过点，当时，，故错误；
故选：.
14．ABD
【分析】由向量相等得直线平行，线段相等，同时得出的方向，从而由斜率判断A，由四边形的形状判断B，求出三角形面积判断C，确定与的夹角的大小判断D．
【详解】，则平行且相等，，A正确；
而，所以是菱形，且都是正三角形，即，B正确，
，
，C错误，
设的倾斜角为，由且，
若直线在直线上方，则，，均在第二象限，
若直线在直线下方，由于，，因此点在第四象限，
则（取较小角），在第四象限，
综上，在同一象限，D正确．
故选：ABD．
15．
【分析】由三角函数的性质得出，再由时，得出实数t的取值范围.
【详解】，的图像向右平移个单位长度后变为，且与重合，所以，，又，所以当时，取得最小值，所以，即.因为在区间上有解，所以时，.因为，，，所以，所以，.
故答案为：
16．
【分析】空一：利用三角函数的周期求解即可；空二：利用二倍角公式化简以后再求导，在一个周期内研究函数单调性即可求解．
【详解】空一：的周期为，的周期为，
的周期为
空二：由函数，
得，
令，解得或，
在函数的一个周期内，
当时，，此时，单调递增
当时，，此时，单调递减
当时，，此时，单调递增，
所以当或时，取到最大值，
则．
17．/
【分析】先利用诱导公式求出，再由同角三角函数的关系求出，从而可求出.
【详解】由，得，
因为，
所以，
所以.
故答案为：.
18． /-0.25
【分析】设边上的高分别为，该三角形的面积为，通过
可得，代入余弦定理可得；由前边分析可得，由余弦定理结合条件可得结果.
【详解】设边上的高分别为，该三角形的面积为，
则即，同理可知，
所以，所以,
由上述过程可知，，因为，
所以,
因为，
所以
故答案为：
19．
【分析】方法一：由已知结正弦定理可得，从而可得＝2m[csC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝csC＋（－）sinC，利用导数求其最大值，从而结合三角函数的性质可得结果，
方法二：由已知结正弦定理可得，从而可得mb＋nc＝2m[csC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝csC＋（－）sinC，然后利用辅助角公式结合三角函数的性质可求得
【详解】法一：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，
所以，
又B＋C＝，
则mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]
＝2m[csC－sinC＋sinC]
＝2m[csC＋（）sinC]，
设f（C）＝csC＋（）sinC，则f′（C）＝－sinC＋（）csC，
令f′（C）＝0，则－sinC＋（）csC＝0，
即tanC＝∈（0，），
所以∈，则∈（，2）．
法二：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，
所以，
又B＋C＝，
则mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]
＝2m[csC－sinC＋sinC]
＝2m[csC＋（）sinC]，
设f（C）＝2m[csC＋（）sinC]＝sin（C＋），其中tan＝，
则当C＋＝，即C＝－时取到最大值，
则此时tanC＝tan（－）＝＝＝∈（0，），
所以∈，则∈（，2）．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查导数的应用，解题的关键是由正弦定理和三角函数恒等变换公式得到mb＋nc＝2m[csC＋（）sinC]，然后构造函数f（C）＝csC＋（）sinC，利用导数或三角函数的性质求出其最值，从而可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
20．
【解析】先由类比得出答案，然后证明，根据条件得到直线两两相互垂直，得出的面积，由勾股定理可得出，由余弦定理得到，由面积公式得到，从而证明.
【详解】
证明：
∵在三棱锥中，因为平面平面平面两两相互垂直，
所以直线两两相互垂直，
即都是以P为直角顶点的直角三角形，
，，，
由勾股定理得，，，
从而，
在中，由余弦定理得，
从而，
∴
所以三个侧面两两相互垂直，则有
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查类比方法的应用，考查余弦定理的应用，解答本题的关键是由勾股定理可得出，由余弦定理得到，由面积公式得到，属于中档题.
21．(1)是，理由见解析.
(2)
(3)
【分析】(1)当时，解方程，即可得出结论；
(2)由可得出在上有解，再结合对数的整数恒为正数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
(3)由将问题等价转化为方程恰好有4个解，令，进而转化为方程在上有两个不等式的实根，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意可得：，即，也即，
因为，所以且，可得：，
因为，所以.
所以 是上的“二阶局部奇函数”.
（2）由可得，
所以，可得在上有解，
当时， ，即，
对，由可得：；
对，由可得：；
所以，解得：，
综上所述，实数的取值范围为.
（3）由可得：，
由题意可知：关于的方程恰好有4个解，
令，因为当时，，
所以方程在上有两个不等式的实根，
令，则有，
解得：，
所以实数的取值范围为.
22．(1)
(2)，.
【分析】(1)由最小正周期得,由是其图像的一条对称轴得,进而得答案；
（2）根据题意得，进而整理得，令，得，
根据判别式得关于的二次方程必有两不等实根且异号，再分当且时,当
得，当时，则，此时,当有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，四种情况讨论求解.
【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，
，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，
所以，得，
由于，，则，
因此，.
（2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数，
再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数为.
.
令，可得，
令，得，，
则关于t的二次方程必有两不等实根､，则，，异号.
当且时，
则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合题意
当，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，
在区间上无实解，
方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，
因此，关于x的方程在区间上有2020个根，
在区间上有2022个根，不合题意
当时，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于x的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于x的方程在区间上有2021个根，满足题意.
若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意
综上所述：，.
23．(1),
(2)
【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；
（2）根据（1）中结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.
【详解】（1）因为点在单位圆上，所以由三角函数的定义可得，
又因为，所以，
所以，
.
（2）由可得，即，
由于得，又，所以，
由平方关系得，
所以.
24．(1)
(2)2
【分析】(1)先将三角形面积公式代入,再将余弦定理代入,化简后利用辅助角公式即可得出结果;
(2)由于平分,且,可得,根据建立关于的等式,再根据余弦定理建立另一个关于的等式,两式联立即可求得结果.
【详解】（1）解:由题知,
则有:①,
在中,由余弦定理可得:
,
代入①式可得: ,
即,
由辅助角公式可得:,
所以或,
即或,
因为,所以;
（2）由(1)知,因为平分,
所以,
且有,
即:,
将边和角代入可得: ,
化简可得: ,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
即,
解得:(舍)或,
即,解得.