13等比数列--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版）

这是一份13等比数列--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）在等比数列中，若，，则的值为（ ）．
A．27B．9C．81D．3
2．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．6B．12C．18D．48
3．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022上·江苏南通·高三统考期末）设数列为等比数列，若，，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·江苏常州·高三统考期末）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A．元B．元
C．元D．元
二、多选题
6．（2023上·江苏南通·高三统考期末）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）已知首项为正数的等比数列的公比为，曲线，则下列叙述正确的有（ ）
A．为圆
B．离心率为2
C．离心率为
D．为共渐近线的双曲线
8．（2021上·江苏南通·高三统考期末）已知数列的通项公式为，，下列仍是数列中的项的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）设正项等比数列的前项和为，若，则的值为 .
10．（2022上·江苏南通·高三期末）设数列首项，前n项和为，且满足，则满足的所有n的和为 .
11．（2021上·江苏徐州·高三校联考期末）已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，当时，n的最大值为 .
12．（2020上·江苏常州·高三校联考期末）等比数列中，若，成等差数列，则 ．
13．（2020上·江苏镇江·高三统考期末）等比数列的前三项和，若，，成等差数列，则公比 .
14．（2020上·江苏扬州·高三统考期末）等差数列的公差不为零，首项是和的等比中项，则 .
四、解答题
15．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知等差数列和等比数列满足，.
(1)求数列，通项公式
(2)设数列中满足，求和
16．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知数列中，成等差数列，成等比数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若，求的最小值.
17．（2022上·江苏徐州·高三期末）设为数列的前项和，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
18．（2022上·江苏扬州·高三期末）2022年11月12日，在湖北黄石举行的2022年全国乒乓球锦标赛中，樊振东最终以4比2战胜林高远，夺得2022年全国乒乓球锦标赛男子单打冠军.乒乓球单打规则是首先由发球员合法发球，再由接发球员合法还击，然后两者交替合法还击，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方.甲､乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次合法发球中，得1分的概率为，乙在一次合法发球中，得1分的概率为，设在一局比赛中第n个合法发球出现得分时，甲的累计得分为.（假定在每局比赛中双方运动员均为合法发球）
(1)求随机变量的分布列及数学期望；
(2)求成等比数列的概率.
19．（2022上·江苏南通·高三统考期中）已知等差数列前项和为，，；数列是等比数列，且，，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求的表达式.
20．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为、、、、，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中、、成公比为的等比数列．
(1)若从得分在分以上的样本中随机选取人，用表示得分高于分的人数，求的分布列及期望；
(2)若学校打算从这名学生中依次抽取名学生进行调查分析，求在第一次抽出名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的名学生分数在同一分组区间的概率．
21．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
22．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知数列{an}的各项均为正数，其前n页和为Sn，且a1＝2，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
23．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知数列的前n项和为，满足＝2，2()＝6－.
(1)求数列的通项公式；
(2)设的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.
24．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知数列{an}满足，且．
(1)请你在①，②中选择一个证明：
①若，则{bn}是等比数列；
②若，则{bn}是等差数列．
注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．
参考答案：
1．C
【分析】利用等比数列的通项公式建立条件等式之间的关系计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由已知得，
故选：C.
2．B
【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再求即可.
【详解】因为，所以.
所以，解得.
所以.
故选：B
3．C
【分析】根据给定条件求出数列的通项，再计算，列式解不等式作答.
【详解】设正项等比数列公比为q，由得，于是得，而，解得，
因此，，，由得：，
从而得：，而，解得，又，则，
所以n的最小值为5.
故选：C
4．C
【分析】由已知条件求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
因此，数列的前项和为.
故选：C.
5．A
【分析】小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款元每月也要产生复利.这是本题的关键所在.
【详解】设每月还元，按复利计算，则有
即
解之得，
故选：A
6．ACD
【分析】对于A选项，赋值即可判断；对于B选项，可根据题设条件，构造函数，求出解析式，即可判断；对于C选项， 通过对求导可得，即可判断；对于D选项，通过构造数列，结合裂项相消法以及等比数列求和公式即可求解.
【详解】令，得，即，故A正确；
因为，则，
又因为，是定义在上不恒为零的可导函数，所以可设，
因为，所以，即，则，
所以，则，故B错误；
令，所以，所以，
所以，所以，则，
所以，，，，
累加得：，所以选项C正确；
因为，
所以，
，
，
，
累加得：，即，
设，则，
所以，即，
所以，，，，
累加得，
所以，即
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题属于综合题，难度较大，解决本题的关键是构造函数和构造数列，需熟悉基本初等函数的基础知识以及熟练运用数列求和的方法.
7．ACD
【分析】利用等比数列的性质及圆锥曲线的概念逐项分析即得.
【详解】∵首项为正数的等比数列的公比为，曲线，
当时，，所以，即曲线为圆心为，半径为的圆，故A正确；
当时，，所以与互为相反数且不为0，故为等轴双曲线，故曲线的离心率为，故B错误；
当时，数列为递增数列，，所以曲线焦点在x轴上的椭圆，
故的离心率为，故C正确；
当时，与异号，故曲线为双曲线，其渐近线为，即，故D正确.
故选：ACD.
8．CD
【解析】根据的通项公式依次计算判断即可.
【详解】对A，，可得不是中的项，故A错误；
对B，，可得不是中的项，故B错误；
对C，，可得是中的第项，故C正确；
对D，，可得是中的第项，故D正确.
故选：CD.
9．91
【分析】方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解.
【详解】方法一：等比数列中，，，成等比数列，
则，，成等比数列，∴，∴，
∴.
方法二：设公比为，由题意显然且,所以，
∴，
故答案为：.
10．9
【分析】根据求出数列的通项，再根据等比数列的前项和公式求出，从而可得出答案.
【详解】解：由，得，
两式相减得，
则，
当时，，所以，
所以数列是以为首项为公比的等比数列，
则，，
故，
由，得，
所以，所以或5，
即所有n的和为.
故答案为：9.
11．20.
【解析】根据，是与的等比中项求出和，再根据等差数列的求和公式求出，解不等式即可得解.
【详解】因为是与的等比中项，所以，
所以，化简得，
因为，所以，
因为，所以，即，
将代入得，解得，所以，
所以，
由得，即，解得，
所以正整数的最大值为.
故答案为：20
【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.
12．64
【分析】设等比数列的公比为，由等差数列的中项性质，结合等比数列的通项公式可得，计算可得所求值
【详解】解：等比数列的公比设为，
若，成等差数列，
可得，即，
解得 ，
则，
故答案为：64．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
13．2或
【解析】由等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程组可得所求公比的值．
【详解】∵等比数列的前三项和，，，成等差数列
∴，解得或
故答案为：2或.
【点睛】本题考查等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
14．
【解析】由题意知，列出方程并化简可得，.
【详解】设差数列的首项为，公差为d，
因为是和的等比中项，所以，即，
化简得，又，所以，
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
（2）由（1）得，
.
16．(1)
(2)12
【分析】（1）根据已知条件及等差数列的通项公式，结合等比数列的通项公式即可求解;
（2）根据（1）的结论及等差和等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】（1）当时，设公差为，
∴，
∴，
而，，
∴时，设公比为，
∴此时，
∴.
（2）显然，
∴为偶数，
，
∴的最小值为12.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，，成等差数列可得，再利用与的关系进行求解；
（2）将代入，得出数列为等比数列，再使用等比数列前项和公式进行证明.
【详解】（1）∵，，成等差数列，
∴，即，
当时，，∴，
当时，由，有，
两式相减得，
即，∴，
又∵，∴数列中各项均不为，
∴（），
∴数列是首项，公比的等比数列，
∴数列的通项公式为.
（2）由第（1）问，数列是首项，公比的等比数列，
∴，
∴，
令 ，
当，，
则（），
∴数列，即是首项，公比为的等比数列，
∴，
∴得证.
18．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据分析得知是二项分布.
（2）分和两种情况来讨论.
【详解】（1）随机变量的可能取值为.
，
，
，
随机变量的分布列为
所以.
（2）若成等比数列，则
当时，则
当时，则
所以事件成等比数列的概率.
19．(1)；；
(2)为偶数时，；为奇数时，．
【分析】(1)设公差为，设公比为，根据已知条件列出方程求出d、和q即可得到两个数列的通项公式；
(2)分n为偶数和奇数时，利用错位相减法求出数列的前项和为，从而求出的表达式．
【详解】（1）设公差为，
，
，
联立解得：，，；
设公比为，
、、成等差数列，
．
故，．
（2）令，则，
当为偶数时，
，
，①
，②
①－②得：，
，
当为奇数时，，
为偶数时，
，
为奇数时，
．
20．(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【分析】（1）求出的值，分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得随机变量的数学期望值；
（2）记事件第一次抽出名学生分数在区间内，记事件后两次抽出的名学生分数在同一分组区间内，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）解：由题意得，，因为，所以．
由分层抽样，抽出的名学生中得分位于区间内有人，
位于内有人，位于内有人，
位于内有人，位于区间学生有人，
这样，得分位于分以上的共有人，其中得分位于的有人，
所以的可能取值有、、，，，，
所以的分布列为：
所以.
（2）解：记事件第一次抽出名学生分数在区间内，
记事件后两次抽出的名学生分数在同一分组区间内，
则，，
由条件概率公式可得.
21．(1)an＝4n－3
(2)
【分析】（1）由及成等差数列建立等式求解即可；
（2）根据条件求出数列，再求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，d≠0，
由条件得
解之得
所以数列的通项公式为an＝4n－3．
（2）设4n－3＝3m，
则n＝＝＝，
当m＝2k，k∈N*时，(－1)m＋3＝4，所以N*，
当m＝2k－1，k∈N*时，(－1)m＋3＝2，所以N*，
所以，
所以．
22．(1)证明见解析.
(2)
【分析】(1)由条件可得，从而可得，即证结论.
(2)由（1）可得，从而求出，则可得，由裂项相消法可求和.
【详解】（1）由，即，则
所以
数列是以4为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）数列是以4为首项，2为公比的等比数列
所以，所以
则
所以
即
设数列的前n项和
则
23．(1)
(2)
【分析】（1）由数列前n项和与通项公式之间的关系即可求得数列的通项公式；
（2）求得数列的前n项和的解析式，求其最值后即可解决.
【详解】（1）数列中，＝2，2()＝6－
当时，2()＝6－
则2()-2()＝6－－（6－），整理得
当时，由2()＝6－，可得，满足
综上，数列是首项为2，公比为的等比数列，
（2）由（1）可知，等比数列的前n项和为
当n为奇数时，，则
当n为偶数时，，则
综上得，数列的前n项和的最大值为2，最小值为
故M－m
24．(1)详见解析；
(2)，.
【分析】（1）选择①，利用条件可得，即证；选择②，利用条件可得，即证；
（2）由题可得，利用累加法可求，再利用由分组求和法即求.
【详解】（1）选择①，由，可得，
∴，又，
∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列；
选择②，∵，，
∴，又
∴数列{bn}是等差数列.
（2）由上可知，即，
∴
，
∴
.
0
1
2
3