14数列求和--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版）

这是一份14数列求和--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·江苏南通·高三统考期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[lg2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（ ）
A．4097B．4107C．5119D．5129
3．（2021上·江苏常州·高三校联考期末）已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·江苏徐州·高三期末）等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
5．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，
大衍数列为，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．当n为偶数时，
6．（2023上·江苏南通·高三统考期末）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）最早的数列从何而来，也许结绳记事便是人类最早跟数列打交道的朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个数列便是自然数列现有数列满足：第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，记为数列的前项和.则 ，当时，若存在，使得，则的最小值为 .
8．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为 ．
9．（2021上·江苏·高三校联考期末）已知数列的前项和，则数列的前10项和为 ．
四、解答题
10．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知等差数列和等比数列满足，.
(1)求数列，通项公式
(2)设数列中满足，求和
11．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）记为数列的前n项和，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
12．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求．
13．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列前n项和．
14．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式
(2)记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．
15．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入个2，构成新数列，求数列的前110项的和.
16．（2023上·江苏南通·高三统考期末）在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.①；②.已知为数列的前项和，满足，，______.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）已知数列满足，，
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
18．（2022上·江苏南通·高三期末）已知数列成等比数列，是其前项的和，若成等差数列.
(1)证明：成等差数列；
(2)比较与的大小；
(3)若，为大于1的奇数，证明：
19．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知数列{an}的各项均为正数，其前n页和为Sn，且a1＝2，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
20．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知数列{an}满足，且．
(1)请你在①，②中选择一个证明：
①若，则{bn}是等比数列；
②若，则{bn}是等差数列．
注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．
21．（2022上·江苏常州·高三统考期末）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
22．（2021上·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋Sn+1＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝n·an，求数列{bn}的前n项和Tn．
参考答案：
1．A
【分析】设正项等差数列的公差为，且，由等比中项得，即，得，，即，求得．
【详解】设正项等差数列的公差为，且
，，成等比数列，
，即，
整理得，， ，，
，
即，即，
，
．
故选：．
2．B
【分析】根据新函数的定义，确定的值，然后用分组求和法、错位相减法求和．
【详解】由题意时，，，在上奇数共有个，
，，
，
设，则，
相减得：，
所以，
所以．
故选：B．
3．C
【解析】由，可得,即,所以从而可得，得出答案.
【详解】若存在，由，则可得或，
由可得，由可得
所以中恒有
由，可得
所以，即
所以
所以，即
所以，则，所以
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查利用裂项相消法求和，解答本题的关键是由条件，可得，即，则可得，属于中档题.
4．B
【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出公差，得到，进而利用裂项相消法求和.
【详解】设等差数列的公差为，则，
解得：，故，
故，
故.
故选：B
5．BCD
【分析】根据所给数列，总结猜想通项公式，进而用通项公式求解A，利用裂项相消可求B，直接求和可求C，根据归纳所得通项公式可求D.
【详解】由题可得，当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，A错误，
为奇数且时，，
所以，
B正确；
对于C，，C正确；
对于D，当n为偶数时，，D正确，
故选:BCD.
6．ACD
【分析】对于A选项，赋值即可判断；对于B选项，可根据题设条件，构造函数，求出解析式，即可判断；对于C选项， 通过对求导可得，即可判断；对于D选项，通过构造数列，结合裂项相消法以及等比数列求和公式即可求解.
【详解】令，得，即，故A正确；
因为，则，
又因为，是定义在上不恒为零的可导函数，所以可设，
因为，所以，即，则，
所以，则，故B错误；
令，所以，所以，
所以，所以，则，
所以，，，，
累加得：，所以选项C正确；
因为，
所以，
，
，
，
累加得：，即，
设，则，
所以，即，
所以，，，，
累加得，
所以，即
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题属于综合题，难度较大，解决本题的关键是构造函数和构造数列，需熟悉基本初等函数的基础知识以及熟练运用数列求和的方法.
7．
【分析】利用等差数列的前项和公式判断出前项为前组的和，再利用等比数列的前项和即可求出；假设前项和为前组的和，由已知得，该问题可以转化为为的整数幂，即要保证被消去，由此可知要加上组的部分项才能被消去，可求出满足题意的最小值，即可求出的最小值，最后利用即可求出最小值.
【详解】设第一组为，第二组为，，第三组为，，，第组为，，，，则，解得，故数列的前组共项，
即
，
当，即，
若前项和为前组的和，即
，
由已知得，整理得
由此可知为的整数幂，其中为的整数幂，则应该被消去，
故若前项和应再加上组的部分项，
设应加上组的前项时才能被消去，
即，，
则为等式成立的最小值，此时，
故
,
所以，所以的最小值为，
则的最小值为.
故答案为：，.
【点睛】解决本题的关键是利用分组求和法求出，利用已知条件将问题转化为为的整数幂的问题.
8．
【分析】先对进行化简，再以裂项相消法求数列{bn}的前21项和.
【详解】
＝＝＝n＋1，
所以bn＝＝＝－，
则＝－＋－＋＋－＝－＝．
故答案为：
9．
【解析】根据可求得的通项公式，经检验，满足上式，所以可得，代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
又满足上式，
所以，
所以，
所以数列的前10项和为，
故答案为：
【点睛】解题的关键是根据，求得的通项公式，易错点为，若满足上式，则写成一个通项公式的形式，若不满足上式，则需写成分段函数形式，考查计算化简的能力，属中档题.
10．(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
（2）由（1）得，
.
11．(1)；
(2)．
【分析】（1）已知式两边同除以得数列是等差数列，求得后利用求得通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】（1）因为，所以，所以数列是等差数列，公差为1，
，所以，即，
时，，适合此式，
所以；
（2）由（1）得，
，
于是,
两式相减得，
所以．
12．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】(1)根据题意得出不选择校本课程二的概率为，选择校本课程二的概率为，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和期望；
(2) 这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
则，设，利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，
选择校本课程二的概率为，
则X的可能取值为3，4，5，6，
，，
，，
所以X的分布列如下表所示：
所以．
（2）因为这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
所以，
设，
则，
由两式相减得，
即，
所以.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据递推公式可得：，结合等差数列的定义判断是否为等差数列即可；
(2)由（1）可得，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）为常数
∴是以为公差的等差数列．
（2）∵，∴由（1）得，
∴，∴，
∴.
14．(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）由等差数列通项公式得出，再由与的关系可得数列的通项公式.
（2）由（1）的结论结合错位相减求出，先得出的前三项，由等差数列的性质得出方程解出，再检验即可．
【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，则，因此，
当时，，则有，
因此，即，数列是常数列，有，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，
有，，，若数列成等差数列，则，解得，
当时，，则，从而数列成等差数列，
所以存在，使得数列成等差数列．
15．(1)
(2)244
【分析】（1）设公差为，利用基本量代换求出，再利用通项公式即可得到答案；
（2）先判断出当有次插入新数，共有个项，从而判断出110项应该介于和之间，即可求和.
【详解】（1）设公差为，，由题意得，
化简得，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）知在与之间插入个2，所以当忽略数列中的项，则当有次插入新数，共有个项，
当时，有62个数；
当时，共有126个数，所以110项应该介于和之间，即，
表示共有104个2和原先中前6项之和，
所以.
16．(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，令可求得的值，由可得，两式作差可得为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的等差数列；
选②，推导出数列是常数列，即可求得数列的通项公式；
（2）计算出，对任意的，计算出，可得出，利用等差数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：选①，当时，则有，即，解得；
对任意的，因为，则，
故，即，
因，，所以为定值，
故数列是首项，公差为的等差数列，
所以.
选②，因为，故，
所以，故数列是常数列，
所以，故.
（2）解：知，，故，
对任意的，，
所以，即为数列的前项和，
因为，故数列为等差数列，
所以.
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用等差数列定义即可证明数列是等差数列；
（2）利用裂项相消法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）由，可得，则
令，则，再结合，解得，
∴，又，
∴是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知
∴
∴
18．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差中项得， 即可；
（2）作差法比较即可；
（3）利用等比数列求和公式可得，然后进行求和即可得到答案
【详解】（1）由题知，，
所以，
所以，
所以公比，
所以，
所以，
所以成等差数列.得证
（2）由（1）得，
因为，
所以，
所以.
（3）由（1）和题意得，
，
所以，
所以
.得证
19．(1)证明见解析.
(2)
【分析】(1)由条件可得，从而可得，即证结论.
(2)由（1）可得，从而求出，则可得，由裂项相消法可求和.
【详解】（1）由，即，则
所以
数列是以4为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）数列是以4为首项，2为公比的等比数列
所以，所以
则
所以
即
设数列的前n项和
则
20．(1)详见解析；
(2)，.
【分析】（1）选择①，利用条件可得，即证；选择②，利用条件可得，即证；
（2）由题可得，利用累加法可求，再利用由分组求和法即求.
【详解】（1）选择①，由，可得，
∴，又，
∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列；
选择②，∵，，
∴，又
∴数列{bn}是等差数列.
（2）由上可知，即，
∴
，
∴
.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据及的表达式，代入计算，即可得答案.
（2）当，可求得，当时，根据裂项相消求和法，计算即可得答案.
【详解】（1）
时，，
而不满足上式，
（2）当时，，
当时，
综上：
22．(1)an＝(－1)n-1
(2)Tn＝
【分析】（1）n≥2时可得，Sn-1＋Sn＝1，和条件作差变形即可得答案；
（2）先求出数列{bn}的通向公式，再分n为偶数和n为奇数分别求和即可.
【详解】（1）对数列{an}而言，因为Sn＋Sn+1＝1①，
当n＝1时可得，S1＋S2＝1，即2a1＋a2＝1，又a1＝1，所以a2＝－1；
当n≥2时可得，Sn-1＋Sn＝1②，
所以①-②得Sn+1－Sn-1＝0，即an＋an+1＝0，即an+1＝－an；
又a2＝－a1，故an+1＝－an，n∈N*，
所以{an}是首项为1，公比为－1的等比数列，
故an＝(－1)n-1；
（2）对数列{bn}而言，bn＝n·an＝(－1)n-1·n；
当n为偶数时，Tn＝1－2＋3－4＋…＋(n－1)－n＝－；
当n为奇数时，Tn＝1－2＋3－4＋…－(n－1)＋n＝；
所以Tn＝．
X
3
4
5
6
P