03圆锥曲线与方程（抛物线）-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份03圆锥曲线与方程（抛物线）-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏南通·高二统考期末）设抛物线的焦点为，若点在抛物线上，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022上·江苏南京·高二南京市宁海中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（ ）
A．B．1C．D．
5．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）抛物线的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（ ）
A．3B．2C．D．
8．（2023上·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（ ）
A．4B．2C．D．1
9．（2022上·江苏南京·高三南京市第一中学校联考期末）抛物线上的一点到焦点距离为，则点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）以直线为准线的抛物线标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022上·江苏徐州·高三期末）已知点，在抛物线C：上，则C的准线方程为（ ）
A．x＝－1B．x＝1C．y＝－1D．y＝1
12．（2022上·江苏连云港·高二期末）已知点P在抛物线上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．或D．
二、多选题
13．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点并且倾斜角为0°的直线方程为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点关于的对称点坐标为
D．抛物线的准线方程是
14．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知为坐标原点，抛物线的方程为的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是 （ ）
A．的最大值为6
B．的焦点坐标为
C．若，则直线的方程为
D．若,则面积的最小值为
15．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则（ ）
A．当时，
B．当时，在点处的切线方程为
C．的最小值为
D．的最大值为
16．（2022上·江苏连云港·高二期末）下列结论判断正确的是（ ）
A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B．方程（，，）表示的曲线是椭圆
C．平面内到点，距离之差等于的点的轨迹是双曲线
D．双曲线与（，）的离心率分别是，，则
三、填空题
17．（2023上·江苏常州·高二统考期末）以抛物线的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的方程为 .
18．（2023下·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 .
19．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）在平面直角坐标系xOy中，y轴正半轴上的两个动点A、B满足，抛物线上一点P满足PA⊥AB，设P点坐标为(u，t)，过点P作斜率为的直线l，记点B到直线l的距离为d，当d取到最小值时，的值为 ．
20．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为为上一点，以线段为直径的圆与交于另外一点为圆心，为坐标原点.当时，的长为 ，点到轴的距离为 .
21．（2022上·江苏泰州·高二统考期末）已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 .
四、解答题
22．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点，求的值．
23．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）如图，已知抛物线，焦点为，准线为直线，为抛物线上的一点，过点作的垂线，垂足为点．当的横坐标为3时，为等边三角形．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，交直线于点，交轴于．
①若，，求证：为常数；
②求的取值范围．
24．（2022上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）已知抛物线的焦点是，斜率为的直线l经过F且与抛物线相交于A、B两点．
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；
(2)求线段AB的长．
25．（2023上·江苏盐城·高二校考期末）已知抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点横坐标为4，求弦的长度．
参考答案：
1．C
【分析】利用抛物线过点，求出，，然后利用两点之间距离公式即可求解.
【详解】因为点在抛物线上，
所以，，，
则.
故选：C
2．B
【分析】设直线的方程为，与抛物线的方程联立，结合韦达定理和抛物线的定义求解即可.
【详解】抛物线的方程为，则其焦点，
设直线的方程为，
由，可得：，
，，
根据抛物线定义，，
因为，所以，
所以
即，解得：.
故选：B.
3．D
【分析】根据题意画出图形，利用抛物线定义与三角形三边关系即可求解.
【详解】依题意，可得出如下图形：
抛物线的方程为，
抛物线的焦点为，，准线方程为，
设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结，
则长即为点到轴的距离，可得，
根据抛物线的定义，得，
，
根据平面几何知识，可得，得.
当且仅当､､三点共线时等号成立，
，
当､､三点共线时，的最小值为，
即到轴的距离与到点的距离之和的最小值为.
故选：D.
4．D
【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离.
【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为
设，根据抛物线定义有有，∴，
∴点到原点的距离为.
故选：D.
5．D
【分析】根据抛物线准线方程的概念即可选出选项.
【详解】解:由题知,所以,且抛物线开口向上,
所以其准线方程为:.
故选:D
6．A
【分析】将抛物线化成标准方程，确定开口方向及焦准距，即可得抛物线的准线方程.
【详解】解：抛物线的标准方程为：，其开口向上，且焦准距，
故准线方程为：.
故选：A.
7．A
【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.
【详解】依题意，，则由解得，
所以点的横坐标为3.
故选：A
8．A
【分析】利用代入法进行求解即可.
【详解】把代入抛物线方程中，得，
因为该抛物线的对称轴为纵轴，
所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，
故选：A
9．A
【分析】将抛物线方程化为标准方程可得焦点坐标，利用抛物线焦半径公式可构造方程求得结果.
【详解】抛物线方程可化为：，则其焦点坐标为，
设，则，解得：.
故选：A.
10．C
【分析】根据给定条件，直接写出抛物线标准方程作答.
【详解】因为抛物线的准线是直线，则该抛物线焦点在y轴上，开口向下，其标准方程为，
所以所求抛物线标准方程为.
故选：C
11．C
【分析】根据点在抛物线C：上求得p求解.
【详解】解：因为点在抛物线C：上，
所以，解得，
所以C的准线方程为，
故选：C
12．C
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
【详解】对于抛物线 ，准线方程为 ，
设点，根据抛物线得定义得：
点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离为，所以，
则，，所以点P的坐标为或；
故选：C．
13．BC
【分析】根据直线倾斜角写出方程判断A，根据双曲线方程得出渐近线方程判断B，由点关于直线对称判断C，根据抛物线方程求准线方程判断D.
【详解】对A，过点并且倾斜角为0°的直线方程为，故错误；
对B，双曲线的渐近线方程为，故正确；
对C，设点关于的对称点坐标为，则由解得，故正确；
对D，抛物线，，准线方程为，故错误.
故选：BC
14．ACD
【分析】对于A：利用抛物线定义，三角形三边关系即可求解；
对于B：根据抛物线的焦点性质即可求解；
对于C：联立直线方程与抛物线方程，消元后利用韦达定理，利用给定的条件即可求解；
对于D：先求出直线所过的定点，利用面积公式即可求解.
【详解】对于A：如图：
设的中点为，分别过作准线的垂线，
垂足分别为，因为到轴的距离为2，所以，
由抛物线的定义知，,
所以，
因为，
所以，所以的最大值为6.
故选项A正确；
对于B：由题知，抛物线的标准方程为，
所以焦点坐标为.
故选项B错误；
对于C：由得直线过点，
直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程得，化简得，
则有.
由于，所以，
可得，解得，所以，
所以，直线的方程为.
故选项C正确；
对于D：设，，由，
得，又，
所以，
由题知，，所以，
又，
故直线的方程为，
又，所以，
则有直线恒过点，
所以，
所以面积的最小值为16.
故选项D正确；
故选：ACD.
15．ACD
【分析】当时，求出判断A；
设切线与抛物线联立使求出切线方程判断B；
利用抛物线的定义转化求解的最小值可判断C；
根据三角形两边之差小于第三边判断D．
【详解】因为抛物线，所以准线的方程是.
对于，当时，，此时，故A正确;
对于B，当时，，令切线方程为:，与联立得，
令，解得，即切线方程为:，即，故B错误;
对于C，过点分别作准线的垂线，垂足为
则，所以的最小值为故C正确.
对于D，因为焦点，所以，
所以的最大值为故D正确.
故选：ACD
16．BD
【分析】对于A，由抛物线定义判断即可；
对于B，将方程化为椭圆的标准方程判断即可；
对于C，由双曲线定义判断即可；
对于D，分别求出两个双曲线的离心率，再代入通过计算判断即可.
【详解】对于A，由抛物线定义，直线不经过点（当时，与定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是过点且与直线的垂直的直线，不是抛物线），故选项A错误；
对于B，方程（，，）可化为，且由，，有或，即是焦点在轴或焦点在轴的椭圆的标准方程，故方程（，，）表示的曲线是椭圆，选项B正确；
对于C，由双曲线的定义，平面内与两定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线，所以平面内到点，距离之差等于（）的点的轨迹是双曲线一支，故选项C错误；
对于D，双曲线（，）的离心率，双曲线（，）的离心率，故，故选项D正确.
故选：BD.
17．
【分析】根据抛物线的焦点和准线，确定圆心和半径，即得答案.
【详解】由题意得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
故所求圆的圆心为，半径为2，
故圆的方程为：，
故答案为：
18．4
【分析】先判定AB⊥MB，利用垂直关系得出A、B坐标结合抛物线焦半径公式计算即可.
【详解】
由题意易知，可设，
由，可得Q为AM中点，则，
又由可得:，
即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在，
故，
联立抛物线与直线AB可得
所以有
由抛物线定义得，
故答案为：4
19．
【分析】根据题意分别表示出，再根据点到直线的距离公式结合基本不等式讨论点B到直线l的距离的最小值，进而可求解.
【详解】因为P (u，t)在抛物线上，所以，所以，所以，
因为PA⊥AB，所以
又因为，所以
过作斜率为的直线方程为，
整理得，
所以点B到直线l的距离为
，
当且仅当，时取得等号，
此时，
故答案为: .
20．
【分析】易知焦点，根据在抛物线上设出坐标，易知圆心为的中点即可求出，由利用斜率相等可得，再根据直径所对的圆周角为可得，即，利用向量数量积为0可得，联立及可解得，根据两点间距离公式可得，点到轴的距离为其横坐标的绝对值等于.
【详解】由题意知在抛物线上，设，，如下图所示：
抛物线焦点，圆心为的中点，所以
由可得，即，
整理可得，即；
又因为为直径，且点在圆上，所以，
又因为，所以，可得，
又，
即，整理得，
联立可得，解得或（舍）
所以，
因此；
点到轴的距离为点横坐标的绝对值，即
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何关系实现从形到数的转化，将直线平行转化成斜率相等，将直径所对的圆周角为直角转化成向量数量积为0，从而得出坐标之间的等量关系在进行计算求解.
21．
【分析】设点，根据抛物线的定义表示出，将用表示，并逐步转化为一个基本不等式形式，从而求出取最小值时的点的坐标，再根据双曲线的定义及离心率的公式求值.
【详解】由题意可得，，，抛物线的准线为，
设点，根据对称性，不妨设，
由抛物线的定义可知，又，
所以
，
当且仅当时，等号成立，此时，
设以为焦点的双曲线方程为，
则，
即，
又，，
所以离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将的坐标表达式逐渐转化为一个可以用基本不等式求最值的式子，从而找出取最小值时的点的坐标.
22．(1)6
(2)
【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦即可；
（2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】（1）设，，线段中点设为，则，
由题意，抛物线的焦点为，，
根据抛物线的定义得；
（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.
所以直线斜率必存在，设为，
与抛物线联立得：，，得，
所以.
23．(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】(1)由条件求出的坐标，由条件列方程求，由此可求抛物线方程；
(2)①设，，直线的方程为，由条件利用表示，联立方程组利用设而不求法求；
②根据数量积坐标运算公式求表达式，再求其取值范围．
【详解】（1）抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
因为的横坐标为3时， 为等边三角形，直线与直线垂直，
所以，，，
所以，解得
所以抛物线的方程
（2）①当直线的斜率不存在时，直线与准线没有交点，与已知矛盾，
故设直线的方程为，
则，
由得
，
设，，
所以，，
因为；
；
；
所以，
所以，
所以；
②，
所以
又；
，
所以，
所以的取值范围为，
【点睛】(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
24．(1)抛物线的方程为，其准线方程为，
(2)
【分析】（1）根据焦点可求出的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程；
（2）设，，，，将直线的方程与抛物线方程联立消去，整理得，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知，代入即可求出所求．
【详解】（1）解：由焦点，得，解得．
所以抛物线的方程为，其准线方程为，
（2）解：设，，，．
直线的方程为．
与抛物线方程联立，得，
消去，整理得，
由抛物线的定义可知，．
所以线段的长为．
25．(1)；
(2)10.
【分析】（1）把给定点的坐标代入抛物线方程，求出p值作答.
（2）由（1）求出焦点，再根据给定中点横坐标求出横坐标和，结合抛物线定义求解作答.
【详解】（1）因为抛物线过点，则有，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）由（1）知，抛物线的焦点，准线方程为，
设点的横坐标分别为，而线段的中点横坐标为4，则有，
因为点是过抛物线焦点的直线与抛物线的两个交点，
因此，
所以弦的长度为10.