05等差数列-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份05等差数列-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏常州·高二统考期末）设是公差为的等差数列，且，，记为数列的前项和，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2023上·江苏南通·高二统考期末）国际足联世界杯，简称“世界杯”，每四年举办一次，第届世界杯足球赛于年月日在亚洲的卡塔尔举办．根据世界杯足球赛的规则，第一阶段是小组循环赛，每小组有四球队，其中任意两支球队比赛场，每场比赛，若分出胜负，则胜队得分，负队得分，若双方打平，则各得分．小组赛结束后每支球队的积分为该队参加的所有比赛的累计得分，已知某小组在小组循环赛中，场分出胜负，场打平，且四支球队的积分成公差不为的差数列，则积分最高的球队的积分为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知数列满足，若，则的前2022项和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（ ）
A．110尺B．90尺C．60尺D．30尺
5．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若等差数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．9B．6C．3D．0
8．（2023上·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期末）已知数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知数列满足，若对任意正实数，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中.如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，则＝( )
A．20B．10C．D．
二、多选题
11．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于（ ）
A．12B．13C．14D．15
12．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知数列满足，则（ ）
A．B．的前10项和为150
C．的前11项和为-14D．的前16项和为168
13．（2023上·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）等差数列中，前项和为，若，则下列命题中真命题的是（ ）
A．公差
B．
C．是各项中最大的项
D．是中最大的值
14．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，
大衍数列为，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．当n为偶数时，
15．（2023上·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）在等差数列中，若，,则（ ）
A．B．
C．的最大值为15D．的最大值为25
三、填空题
17．（2023上·江苏常州·高二统考期末）若数列从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为二阶等差数列.已知数列是二阶等差数列，且，，，则 .
18．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：
（1）“正方形筛子”中位于第10行的第10个数是 .
（2）若表示第行列的数，则 （用，表示）

19．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 .
20．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 .
21．（2023上·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）在等差数列中,,其前项和为,则 .
22．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）已知数列满足：，其前n项和，数列满足，其前n项和，设为实数，若对任意恒成立，则λ的取值范围是 .
四、解答题
23．（2023上·江苏南通·高二统考期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知等差数列的前n项和为，满足，且________，
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求满足的最大整数n的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
24．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）在等差数列中，已知公差，，前项和．
(1)求；
(2)求和．
25．（2023上·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
设等差数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值．
26．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形(为坐标原点)的边长为，
(1)求的值
(2)记为数列的前n项和，探究与的关系，求的通项公式.
27．（2023上·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）设为等差数列的前项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，为数列的前项和，求的取值范围．
28．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
29．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列前n项和．
30．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）在等差数列中，已知公差，前项和 (其中)．
(1)求；
(2)求和：．
参考答案：
1．C
【分析】令，根据函数的单调性，结合已知即可得出，.两式相加整理，即可推得.然后根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，求解即可得出答案.
【详解】令，则可知单调递增.
由已知可得，，
所以，，，所以.
又，
显然，
所以，，.
根据等差数列前项和公式可知，
.
故选：C.
2．B
【分析】利用已知条件，设出等差数列首项与公差，列出关系式，然后求解即可.
【详解】由题意可知，总得分为分，得分为等差数列，
设四个积分为，
可得，即，
并且，可得，
所以积分最高的球队的积分为.
故选：B
3．B
【分析】根据数列递推式求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案.
【详解】由题意知数列满足，
当时，；
当时，，
故，则，
也适合该式，故，
则，
故的前2022项和为
，
故选：B
4．B
【分析】由等差数列求和公式得解.
【详解】由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列，
且等差数列中，首项与第三十项分别为，
（尺），
故选：B.
5．C
【分析】根据等差中项的应用可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，求出数列的通项公式，得，利用裂项相消法求和即可.
【详解】∵，，，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，∴．
∴，
∴数列的前10项和为
．
故选：C．
6．C
【分析】根据结合即可求解.
【详解】等差数列的前项和为，且，
由等差数列的基本性质，得，
.
故选：C.
7．B
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式及等差数列性质计算作答.
【详解】等差数列的前n项和为，则，解得，
所以.
故选：B
8．B
【分析】，又由，后由累乘法可得答案.
【详解】注意到，则当时，.
故.
故选：B
9．B
【分析】根据数列的递推关系化简可得，再利用等差数列的通项公式及存在性问题，结合恒成立问题及解不等式即可求解.
【详解】由得，
，即，于是有，所以，即，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由，得，所以，
由于，则，所以，可得，
因为，所以，即，
因为总存在，使得成立，即，
所以，即.
又，所以实数的最小值为.
故选：B.
【点睛】解决此题的关键是根据数列的递推关系得出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，结合存在性问题的处理办法及恒成立问题的处理办法即可求解.
10．D
【分析】根据已知几何关系，结合勾股定理写出与的关系，构造等差数列求出的通项公式，从而求出的通项公式即可．
【详解】由题意知，1，且都是直角三角形，
∴，且，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴．
又，∴．
∴数列的通项公式为．
∴．
故选：D．
11．AD
【分析】由题意可得，公差，且，，分别求出，讨论的符号即可求解．
【详解】因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且，．
所以，所以，
则满足的最大的正整数k一定不等于12.
，，
故时，．
当时，，则满足的最大的正整数为；
当时，，则满足的最大的正整数为，
故满足的最大的正整数可能为与，一定不等于12与15.
故选：AD．
12．ACD
【分析】根据递推公式得，进而根据等差数列的求和公式即可判断AB，根据并项求和可判断C，根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D.
【详解】由得：
当时，，
两式相减得，
故，当时，也符合，故，
对于A,，故A正确，
对于B，的前10项和为，故B错误，
对于C，的前11项和为，故C正确，
对于D，当，解得，所以，
所以的前16项和为，故D正确，
故选：ACD
13．ABD
【分析】由得：，进而结合等差数列的性质逐个判断即可
【详解】因，所以，
所以公差成立，所以A正确，
因为公差，所以等差数列为递减数列，所以各项中是最大的项， C错误，
因为，所以，B成立.
设等差数列的前项的和最大，则，故，
又等差数列为递减数列，且，
所以，即是中最大的值，D正确.
故选：ABD.
14．BCD
【分析】根据所给数列，总结猜想通项公式，进而用通项公式求解A，利用裂项相消可求B，直接求和可求C，根据归纳所得通项公式可求D.
【详解】由题可得，当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，A错误，
为奇数且时，，
所以，
B正确；
对于C，，C正确；
对于D，当n为偶数时，，D正确，
故选:BCD.
15．BC
【分析】由题得，由等差数列求和公式求，计算，，及.
【详解】由题得，C项正确；
，A项错误；
，B项正确；
因为，
，D项错误；
故选：BC.
16．ABC
【分析】根据题意求得数列的首项和公差，可判断A;结合等差数列的通项公式判断C;利用等差数列前n项和公式，判断 ，可得答案.
【详解】在等差数列中，，,
设公差为d，则，故A正确；
，B正确；
，故的最大值为，C正确；
由以上分析可知等差数列为递减数列，
且当时，；当时，，
故的最大值为，D错误，
故选：
17．
【分析】根据已知结合二阶等差数列的定义，即可得出.进而根据累加法，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
根据二阶等差数列的定义可知，
是以为首项，公差为的等差数列，
所以，.
所以，
.
故答案为：.
18． 220
【分析】（1）由所给“正方形筛子”观察可知第1列数字通项公式，再分析第N行数列的通项公式即可得解；
（2）观察可知第n行和第n列的等差数列的公差相等，都是2n＋1，据此可求通项.
【详解】（1）第一列的数字为4，7，10，13，16，，为等差数列，公差d= 3，
则，
故第10行的第一个数为，
再看行，第一行的数字是加3递增，第二行是加5递增，第三行是加7递增，，第N行是加递增，
则第10行是加递增，所以第10行的第10个数是；
（2）观察“正方形筛子"得：每一行都是等差数l列，每一列都是等差数列，
第n行和第n列的等差数列的公差相等，都是2n＋1，
第n行的第一个数是：，
第n行第m个数为：，
.
故答案为：；
19．
【分析】根据等差数列前项和的性质计算可得.
【详解】为等差数列，
，，成等差数列，即，，成等差数列，
，解得，
又，，成等差数列，即，，成等差数列，
所以，解得.
故答案为：．
20．
【分析】利用倒序相加法可得到，即可求得前16项的和.
【详解】，①
，②
两式相加，又因为，
故，所以，
所以的前16项的和为
故答案为：
21．110
【分析】构造,可知是以2为首项,1为公差的等差数列,求出的通项公式,即可求得,进而求得.
【详解】解:由题知为等差数列,记数列,
所以,由,可知,
所以是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以,所以.
故答案为:110
22．
【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出并裂项，再按n分奇偶求出即可推理作答.
【详解】，，且，则当时，，
两式相减得，即，
因此，而，即，又，解得，
于是数列是首项为3，公差为2的等差数列，即有，
，
，，
显然数列是单调递增的，，，数列是单调递减的，，，
因为，不等式恒成立，则，不等式且恒成立，
因此且，即有，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】易错点睛：裂项法求和，注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
23．(1)条件选择见解析，；
(2)6.
【分析】（1）选择条件①②③，分别由数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求.
（2）由等差数列的求和公式及裂项相消求和，再解不等式可得所求最大值.
【详解】（1）选①，，则，即，
于是等差数列的公差，由，得，解得，
所以的通项公式.
选②，，令等差数列的公差为，则，
于是，即，由，得，解得，
所以的通项公式.
选③，，则，即有，
两式相减得，显然，
于是，令等差数列的公差为，有，即，
由，得，解得，
所以的通项公式.
（2）由（1）得，，
因此，
由，得，解得，
所以最大整数的值为6.
24．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用等差数列前项和公式求解；
（2）直接写出前项的绝对值进行求和
【详解】（1）根据等差数列的前项和公式：，解得；．
（2）由题意，，于是．
25．(1)
(2)
【分析】（1）分别选①②③，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得的值，进而求得数列的通项公式；
（2）由，，利用等差数列的求和公式，化简得到，结合二次函数的性质，即可得到答案.
【详解】（1）解：选①，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，，
所以数列的通项公式为.
选②，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，，
所以数列的通项公式为.
选③，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由，，所以，
所以当时，取得最大值为．
26．(1)，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答.
（2）根据给定条件，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项作答.
【详解】（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上，
即，解得，为正三角形，且，点在曲线上，
，整理得，解得，
所以，.
（2）是正三角形，点，，于是点在曲线上，
则，即，当时，，
两式相减得：，整理得，
则，而满足上式，因此，，
即数列是首项为，公差的等差数列，，
所以数列的通项公式是.
27．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可；
（2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，在根据数列的单调性求出的取值范围.
【详解】（1）等差数列中，，，
，
解得，，
．
（2），
，
，
由于为递增数列，
时，取得最小值，且，
则，
故的取值范围为：.
28．(1)
(2)
【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式;
(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和.
【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,
当选①②时:,解得,
所以的通项公式.
选①③时:,解得,
所以的通项公式.
选②③时:,解得,
所以的通项公式.
（2）由(1)知,,
所以,
所以
.
29．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据递推公式可得：，结合等差数列的定义判断是否为等差数列即可；
(2)由（1）可得，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）为常数
∴是以为公差的等差数列．
（2）∵，∴由（1）得，
∴，∴，
∴.
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知的，利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解；
（2）由第（1）问中求解出的的通项公式，分、讨论，由等差数列前和公式求和可得答案.
【详解】（1）由题意公差，前项和，
所以，
解之得，即；
（2）由（1）可知数列{an}的通项公式为，
当时，，
当时，，
即
，
综上所述，.