06等比数列-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份06等比数列-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则取得最大值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知等比数列满足，，则（ ）
A．26B．78C．104D．130
3．（2023上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知数列为等差数列，首项为，公差为，数列为等比数列，首项为，公比为，设，为数列的前项和，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）
A．51B．56C．83D．88
5．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．
C．当，时，取得最大值D．当时，的最大值为21
6．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ）
A．999B．749C．499D．249
7．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）在等比数列中，若，，则的值为（ ）．
A．27B．9C．81D．3
9．（2023上·江苏南通·高二统考期末）在数列中，若存在不小于2的正整数使得且，则称数列为“数列”.下列数列中为“数列”的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
10．（2023上·江苏常州·高二统考期末）在边长为2的等边三角形纸片中，取边的中点，在该纸片中剪去以为斜边的等腰直角三角形得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为斜边的等腰直角三角形得到新的纸片，以此类推得到纸片，，……，，……，设的周长为，面积为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023上·江苏南通·高二统考期末）设数列是公差为d的等差数列，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．D．若，则
12．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）设数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列是等比数列B．
C．D．的前项和为
13．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A．若{an}为等比数列，公比为q，则S2n=（1+）Sn
B．若{an}为等比数列，s，t，p，q∈N，且asat=apaq，则s+t=p+q
C．若{an}为等差数列，则（p为常数）仍为等差数列
D．若{an}为等差数列，则必存在不同的三项ap，aq，ar，使得ap2=aqar
14．（2023上·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）已知，，，依次成等比数列，且公比不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）设是等比数列，则（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．是等比数列D．是等比数列
16．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则下列结论正确的是（ ）
A．B．数列中与之间共有项
C．D．
三、填空题
17．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则 ．
18．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）等比数列中，则 .
19．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）求和： .
四、解答题
20．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知数列的前项和为，，______.①；②；③，，成等比数列.请在①，②，③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值并指明相应的值.
21．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知数列中，.
(1)求证：是等比数列，求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求.
22．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)记数列的前项和为，若,求的最小值.
23．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求和：.
24．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知等差数列和等比数列满足，.
(1)求数列，通项公式
(2)设数列中满足，求和
25．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）在等差数列中，已知公差，且 成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
26．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知等比数列的首项为2，前项和为，且.
(1)求；
(2)已知数列满足：，求数列的前项和.
参考答案：
1．B
【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得取得最值时的值.
【详解】因为数列为等比数列，，公比，
所以 ，
所以，当时，最大，
即 ，解得：，
所以当时，最大.
故选：B.
2．B
【分析】根据已知求出，然后即可根据等比数列的性质得出答案.
【详解】设等比数列公比为，
根据已知可得，，
所以，，解得，
所以，.
故选：B.
3．B
【分析】利用等差和等比的通项公式，求出，然后利用分组求和求出，即可得出结果.
【详解】依题意得：，，
，
则数列为递增数列，
其前项和
，
当时，，
当时，，
所以的最大值为.
故选：B
4．A
【分析】按照已知条件可以发现奇、偶项分别成等差和等比数列，一一列举前10项求和即可.
【详解】数列满足，，，
不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2，
所以数列的前10项和为：.
故选：.
5．D
【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可.
【详解】因为是与的等比中项，
所以，
由，有，
，
当，时，取得最大值，
，的最大值为，
故选：D
6．A
【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.
【详解】由得，因此数列为公比为5，
首项为的等比数列，故，进而根据累加法
得，
由于，又，
因此，则，故，
所以，
故选：A
【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
7．B
【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果.
【详解】由题意可得，所以，且
则，所以
所以等比数列的公比为
故选:B
8．C
【分析】利用等比数列的通项公式建立条件等式之间的关系计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由已知得，
故选：C.
9．C
【分析】利用“数列”定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，，，，数列是单调递增数列，
所以数列不是“数列”，故A错误；
对于B， ，，，数列是单调递增数列，
所以数列不是“数列”，故B错误；
对于C，对于函数，令，，
因为，所以，，所以，
在上为单调递增函数，
令，，
因为，所以，，所以，在上为单调递减函数，
所以对于，当时，有，当时，有，存在使得数列是“数列”，故C正确；
对于D，，时，因为的单调递增数列，是单调递减数列，所以不存在不小于2的正整数使得且，所以数列不是“数列”，故D错误.
故选：C.
10．ABD
【分析】画出图形依据裁剪规律可得比多了两条边，少了线段，即可得到，即A正确，比少了一个以为斜边的等腰直角三角形，可得，C错误；再分别利用A和C中的结论，由累加法计算可得BD正确.
【详解】根据题意可知，如下图所示规律：
对于A，易知比多了两条边，少了线段；
由，
可得，故A正确；
对于B，利用A中结论由累加法可得，
当时，，又，
所以
，显然当时，也符合上式，即B正确；
对于C，比少了一个以为斜边的等腰直角三角形，
所以，即C错误；
对于D，利用B中结论由累加法可得，
当时，，又，
所以，显然当时，也符合上式，即D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于由裁剪规律得出以及之间的递推规律，再利用累加法由等比数列前项和公式即可求得结果.
11．BCD
【分析】根据给定条件，求出，再逐项分析、计算即可判断得解.
【详解】由数列是公差为d的等差数列，，得，即，
对于A，，不是常数，A错误；
对于B，，显然数列是等比数列，B正确；
对于C，由选项B知，，则，因此，C正确；
对于D，，由选项A知，，D正确.
故选：BCD
12．ACD
【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A、B，进而可以求的值判断C，也易求得的前项和判断D.
【详解】由已知，当时，可得
选项A，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；
选项B，由选项A可得解得，故B错误；
选项 C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以 ，故C正确；
选项D，因为，故D正确.
故选：ACD.
13．AC
【分析】对于A：直接公式代入验证即可；对于B：当公比q=1时，可排除；对于C：公式代入，再定义证明即可；对于D：假设成立，推出可判断.
【详解】对于A：当时，，，；
当时，，故A正确；
对于B：当公比q=1时，显然不成立，故B错误；
对于C：因为{an}为等差数列，设(是常数)，令，则， ，则为等差数列. 故C正确；
对于D：假设必存在不同的三项ap，aq，ar，使得ap2=aqar .
，
，
，
根据对应系数相等，可得，且，
，即，即，与不同矛盾. 故D错误.
故选：AC.
14．AB
【分析】因为公比不为1，所以不能删去，，分类讨论，结合等差数列的性质及等比的通项公式，即可得到答案.
【详解】公比不为1，删去的不是与，
当删去的是时：
，，成等差数列，，即，
则，即，又，解得或（舍；
当删去的是时：
，，成等差数列，，即，
则，即，又，解得或（舍，
综上，或，
故选：AB．
15．AC
【分析】利用等比数列定义可判断A、C、，令，可判断B，取可判断D.
【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即．
因为，所以是等比数列，所以A选项正确；
因为，所以是等比数列，所以C选项正确；
当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误；
不妨取等比数列为，则，此时不是等比数列，所以D选项错误.
故选：AC
16．AB
【分析】根据题意可得：数列是以为首项，为公差的等差数列，则，，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.
【详解】由题意可知：数列的前项和，当时，；
当时，；经检验，当时也满足，所以；
又因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以.
则数列为：，
所以，故选项正确；
数列是由连续奇数组成的数列，都是偶数，所以与之间包含的奇数个数为，故选项正确；
因为，则为偶数，但为奇数，所以，故选项错误；
因为，前面相邻的一个奇数为，令，解得：，
所以数列从1到共有，也即，故选项错误，
故选：
17．
【分析】由等比数列前项和公式，将已知等式转化为基本量求解，所求式子也用基本量表示代入值可得.
【详解】由，，成等差数列，
则，
当时，，
由等比数列中，，则，故不满足题意，
则，所以，
化简得，. 解得（舍），或，
则.
故答案为：.
18．4
【分析】利用等比数列性质可得，结合条件即可得答案.
【详解】由题可得，，
所以.
故答案为：4.
19．84
【分析】由等比数列及等差数列分组求和即可.
【详解】
故答案为：84
20．(1)
(2)42，6或7
【分析】（1）由可推出数列为公差是-2的等差数列，选①或②时，结合等差数列的通项公式或者前n项和公式，求出首项，即可得答案；选③，结合等比数列性质以及等差数列的通项公式，求出首项，即可得答案；
（2）求出的表达式，结合二次函数知识，即可求得答案.
【详解】（1）选①：由于，即，
故，即数列为公差是-2的等差数列，
设首项为，则由，得，即，
故；
选②，由于，即，
故，即数列为公差是-2的等差数列，
设首项为，，得，即，
故；
选③，由于，即，
故，即数列为公差是-2的等差数列，
设首项为，由，，成等比数列，得，
即，解得，
故；
（2）由（1）可得，
由于n为正整数，故n取6或7时，取到最大值.
21．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据数列递推式，取倒数可得，结合等比数列定义即可证明结论，继而求得通项公式；
（2）结合（1）的结果可得的表达式，利用分组求和以及错位相减法求数列的和，即可得答案.
【详解】（1）证明：由题意知数列中，，
故,
故是等比数列，且首项为，公比，
故，则；
（2），
故
，
设，
则，
故
，
故，则.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；
（2）利用（1）的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则
因为，
所以，即，解得.
所以数列的通项公式为，
所以数列的通项公式及前项和为.
（2）由（1）知，，
所以，
所以数列的前项和为 .
因为，
所以，即，于是有，解得，
因为，
所以的最小值为.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由求和公式列方程组解得基本量，即可求通项公式；
（2）使用错位相减法求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，
解得，所以.
（2）设，由（1）可知
则
两式相减，得
所以
24．(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
（2）由（1）得，
.
25．(1)
(2)
【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为和的关系，解方程可求得的通项公式；
（2）根据题意利用裂项相消法求得其前n项和.
【详解】（1）∵ 成等比数列，则，
∴，解得或（舍去），
故数列的通项公式.
（2）由题意可得：，
∴，
故数列的前项和.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结果；
（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，所以，
所以，所以，所以.
（2）由（1）得，，所以，……①
所以，……②
①-②，得，
所以.