09导数在研究函数中的应用（单调性）-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版

这是一份09导数在研究函数中的应用（单调性）-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏常州·高二统考期末）函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023下·江苏苏州·高二统考期末）已知定义在上的函数从x到的平均变化率为，则的单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023下·江苏无锡·高二统考期末）已知函数，在区间上任取两个不相等的实数，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义.设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知函数的导函数为，且若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
8．（2022上·江苏淮安·高二统考期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022上·江苏南通·高二海门中学校考期末）已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022上·江苏镇江·高二统考期末）若、且，则下列式子一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022上·江苏泰州·高二统考期末）已知函数满足对于恒成立，设则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
12．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．
D．的图象关于原点中心对称
13．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知 ，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022上·江苏徐州·高二统考期末）Sigmid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmid函数的导函数，则（ ）
A．B．Sigmid函数是单调减函数
C．函数的最大值是D．
三、填空题
16．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设m为实数，已知函数，则不等式的解集为
17．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等式的解集为 ．
18．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为 ．
四、解答题
19．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)试讨论函数的单调区间.
20．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知：函数.
(1)若，求的单调性；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围.
21．（2023上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）设函数（a为非零常数）
(1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性.
22．（2022上·江苏盐城·高二统考期末）设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
(2)讨论函数的单调性.
参考答案：
1．D
【分析】求出导函数，由已知得出恒成立.进而推得恒成立，由列出不等式，解不等式即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为在R上单调递增，所以恒成立.
因为，
所以恒成立，
所以，，解得.
故选：D.
2．D
【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案.
【详解】函数的定义域为，
，
由得，
所以的单调减区间为.
故选：D.
3．C
【分析】求极限可得.设，化简可得.解，根据导数的概念，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
设，
则.
由可得，，所以，
即时，有.
根据导数的概念，可知时，有.
所以，的单调增区间是.
故选：C.
4．C
【分析】根据可知在上单调递增，进而由导数即可求解.
【详解】由可知在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以，
故选：C
5．D
【分析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凹，进而判断选项.
【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，
故A不正确；
对，，且，总有，可得函数的图象是向下凹，可用如图的图象来表示，
由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，
随着的增大，的图象越来越陡峭，即切线的斜率越来越大，
所以，故B不正确；
，表示点与点连线的斜率，
由图可知，所以D正确，C不正确.
故选：D
6．B
【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，进而确定正确答案.
【详解】设，
则，
因为恒成立，
所以，
所以在单调递增，
则，，，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，
所以，
即．
故选：B
7．A
【分析】根据已知不等式和要求解的不等式特征，构造函数，将问题转化为解不等式.通过已知条件研究g(x)的奇偶性和单调性即可解该不等式.
【详解】令，
则根据题意可知，，∴g(x)是奇函数，
∵，
∴当时，，单调递减，
∵g(x)是奇函数，g(0)＝0，∴g(x)在R上单调递减，
由不等式得，
.
故选：A.
8．A
【分析】构造函数，求导判断其单调性即可．
【详解】令，
，令得，，
当时，，单调递增，
，，，
，
，
，
故选：A．
9．B
【分析】不妨设，由题意，可得，构造函数，则在上单调递增，从而有在上恒成立，分离参数转化为最值即可求解.
【详解】解：由题意，不妨设，
因为对任意两个不等的正实数，，都有，
所以，即，
构造函数，则，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为，所以，
所以，实数的最小值为.
故选：B.
10．B
【分析】构造函数，利用函数在上的单调性可判断AB选项；构造函数，利用函数在上的单调性可判断CD选项.
【详解】对于AB选项，构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
因为、且，则，即，A错B对；
对于CD选项，构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在上不单调，无法确定与的大小关系，故CD都错.
故选：B.
11．A
【分析】由条件可得函数为上的增函数，构造函数，利用函数单调性比较的大小，再根据函数的单调性确定各选项的对错.
【详解】设，则，
∵，
∴，
∴ 函数在上为增函数，
∵ ，∴，故，所以，C错，
令()，则，
当时，，当时，
∴ 函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又，∴ ，
∴ ，即，
∴ ，故，所以，D错，
，故，所以，A对，
，故，所以，B错，
故选：A.
12．ABC
【分析】根据导数的几何意义求得的值，即可判断A；根据函数单调性与导数的关系，即可判断B；由导数的定义可判断C；由函数的对称性即可判断D.
【详解】，则，
因为函数的图象在处切线的斜率为9，
所以，解得，故A正确；
，则，
令，可得，所以在上单调递减，故B正确；
由于，故C正确；
函数，则，
所以，则的图象关于点中心对称，故D不正确.
故选：ABC.
13．BC
【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x与y的关系，再根据函数的性质逐项分析.
【详解】因为 ，即 ．
令 ，则有，
则 ，令 ，则 ，
令 ，可得，
当时， ，函数单调递增，
当时， ，函数单调递减，
故，
所以总有 ，故单调递减；所以，即；
对于A，，故A错误；
对于B，设 ，则 ，
故在上单调递增，所以，
所以 ，因为，所以 ，故B正确；
对于C，，即．
设，则，
则 ，所以单调递增．
因为，所以，故C正确；
对于D，，即，
令，则，
因为，所以为偶函数，
所以即为．
则 ，令，则 ，所以单调递增．
又，
所以当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增，
当时，，故D错误；
故选：BC.
14．BC
【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数为上的增函数，则，即，所以，，A错B对；
因为，则，即，所以，，C对D错.
故选：BC.
15．ACD
【分析】求出给定函数的导数，再逐项分析、计算并判断作答.
【详解】由函数求导得：，
对于A，，A正确；
对于B，，，则Sigmid函数是单调增函数，B不正确；
对于C，，当且仅当，即时取“=”，C正确；
对于D，因，则，D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解.
16．
【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性解不等式作答.
【详解】函数的定义域为R，求导得：，
而，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，
因此，即函数在R上单调递增，则，
所以不等式的解集为.
故答案为：
17．
【分析】设，由导数法可得单调递减，可转化为，根据单调性即可求解．
【详解】设，则，故单调递减．
因为为奇函数，定义域为，所以，故．
可转化为，即．
因为单调递减，所以，解得．
故答案为：．
18．
【分析】对求导，求出 的解即可求出答案.
【详解】因为,则
令,即,且
所以,所以的单调递增区间为
故答案为：
19．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得；
（2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.
【详解】（1）当时，,则，
，又，
在点处切线的方程为；
（2）由题可得，
令，解得或，
若，，当变化时，，的变化情况如表：
的单调增区间为和,，单调减区间为；
②若，，当变化时，，的变化情况如表：
的单调增区间为和，单调减区间为；
③若，则，函数的单调增区间为；
综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为.
20．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.
【详解】（1），，
，，.
将代入得，令得或.
在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法1：在上是增函数，
在上恒成立，
，
当时，是增函数，其最小值为，
.实数的取值范围是.
方法2：在上是增函数，
在上恒成立，
，.
实数的取值范围是.
21．(1)1；
(2)分类讨论，答案见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线方程，再代入计算作答.
（2）求出函数定义域，利用导数结合分类讨论求解单调区间作答.
【详解】（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
22．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据曲线在点（2，）处与直线y=8相切，建立条件关系即可求，b的值；
（2）令，解出极值点，对参数分类讨论分别求出函数的单调区间即可.
【详解】（1）由题意知，，
又
即 ，解得；
（2）已知，令，知
当时，，此时函数在单调递增
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
,
0
0
增函数
减函数
增函数
,
0
0
增函数
减函数
增函数
3
0
0