04指数与对数-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份04指数与对数-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）我们知道，任何一个正数可以用科学计数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（ ）（）
A．27B．28C．29D．30
2．（2022上·江苏南通·高一统考期末）设，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022上·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）已知，，那么2x+y的值为（ ）
A．8B．3C．1D．lg23
二、多选题
4．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）下列结果为1的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021上·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．设 ，则关于x的方程 有一根为-1的一个充要条件是 ;
B．若，则
C． 是 的必要不充分条件
D．函数的最大值
7．（2020上·江苏·高一统考期末）下列各选项中，值为1的是（ ）
A．lg26·lg62B．lg62＋lg64
C．D．
三、填空题
8．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）英国数学家泰勒（B. Taylr，1685-1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，），其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项不超过时，正整数n的最小值是 .
9．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）计算： .
10．（2023上·江苏连云港·高一统考期末）设，，则 ．（用a，b表示）
11．（2023上·江苏淮安·高一江苏省淮安中学校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的.设，则的大小关系为
12．（2022上·江苏南京·高一校考期末）若，且，则实数的值为 ．
13．（2020上·江苏南通·高一校联考期末）请先阅读下面的材料：对于等式（，且），如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果为常数e（自然对数的底），将视为自变量，则为的函数，记为，那么 ，若将表示为的函数，则 （，且）.
四、解答题
14．（2023上·江苏常州·高一统考期末）求值：
(1)；
(2)．
15．（2023上·江苏南京·高一统考期末）求下列各式的值：
(1)；
(2).
16．（2022上·江苏南京·高一校考期末）若增函数对任意，，都有，且，恒成立．
(1)求，，；
(2)求方程的解集；
(3)求不等式的解集.
17．（2022上·江苏南京·高一校考期末）计算：
(1)；
(2)．
18．（2022上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期末）求下列各式的值．
(1)；
(2)
19．（2022上·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考期末）已知集合，集合．记集合中最小元素为，集合中最大元素为．
(1)求及，的值；
(2)证明：函数在上单调递增；并用上述结论比较与的大小．
参考答案：
1．C
【分析】通过求，根据已知估值计算即可求解．
【详解】，
则的位数是是．
故选：C．
2．A
【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可.
【详解】因为，且，
所以，即，
因为函数是单调递增函数，
所以函数是单调递增函数，
所以当时，有，
因为，
所以有，
由，
因为函数是单调递减函数，
所以函数是单调递减函数，
因为，所以，
因此，
故选：A
【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键.
3．B
【分析】根据给定条件，利用指数运算求解作答.
【详解】由，得，而，因此，
所以
故选：B
4．ACD
【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解．
【详解】已知正实数，则设，所以，，，
对于A，因为
，
又，所以，所以，即，故A正确；
对于B，因为，，所以，即，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，
，
又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确，
故选：ACD．
5．BCD
【分析】由对数运算及指数运算的性质化简即可.
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D正确.
故选：BCD.
6．ABC
【分析】利用充要条件的定义结合方程根的知识即可判断；利用指数与对数的互化及对数的运算即可判断；利用必要不充分条件的定义即可判断；取即可判断．
【详解】对于，必要性证明：关于的方程有一根为，代入有，故必要性成立，
充分性证明：若，则必有，故为程的一个根，故正确；
对于，若，则，，
则，，
所以，故正确；
对于，由可得，则，而由可得，则，
故是的必要不充分条件，故正确；
对于，函数，当时，，故错误，
故选：．
7．AC
【解析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项.
【详解】对于A选项，根据可知，A选项符合题意.
对于B选项，原式，B选项不符合题意.
对于C选项，原式，C选项符合题意.
对于D选项，由于，D选项不符合题意.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题.
8．5
【分析】根据题意建立不等式，利用验证的方式求解即可．
【详解】依题意得，即，
又，，
所以的最小值是5．
故答案为：6．
9．
【分析】利用对数运算法则和指数运算法则计算出答案.
【详解】
.
故答案为：
10．
【分析】利用对数的运算即可求解.
【详解】，
故答案为：.
11．
【分析】根据题意可求出在上的单调性，
结合偶函数性质，再比较、、
的绝对值大小即可.
【详解】由题知，函数是定义在上的偶函数，
且在上是单调递增，在上单调递减，
由偶函数的性质知，
，
，
，
故答案为：.
12．
【分析】化指数式为对数式，得到，从而得到方程，求出答案.
【详解】因为，所以，，
故，
则，
所以，解得.
故答案为：
13． ．
【解析】根据定义及指数和对数的关系计算可得；
【详解】解：对于等式，
如果为常数（自然对数的底），将视为自变量，则为的函数，记为，那么，
若将表示为的函数，则，．
故答案为：；．
【点睛】本题考查函数的求法，考查函数的定义等基础知识，对数和指数的互化，考查运算求解能力，属于基础题．
14．(1)4
(2)7
【分析】（1）根据指数幂的运算求解；
（2）根据对数的运算求解.
【详解】（1）.
（2）.
15．(1)128
(2)8
【分析】（1）根据指数幂的运算求解；
（2）根据对数和指数的运算性质求解.
【详解】（1）.
（2）.
16．(1)，，，
(2)
(3)
【分析】（1）利用赋值法，令，可求出，再令，可求出，再令，可求出；
（2）由题意可得，则，再由函数的单调性可得，从而可求出方程的解；
（3）由已知可求得，所以原不等式可化为，再由其单调性得，然后解一元二次不等式可得答案.
【详解】（1）令，则，得，
令，则，所以，
因为，所以，
令，则，所以，得，
（2）由题意可知，得，
因为，所以，
所以，所以，
因为为上的增函数，所以，
所以，，
所以或，
所以或，
所以方程的解集为
（3）因为，所以，
所以，
所以由，得，
因为为上的增函数，所以，
所以，，
解得，
所以不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的性质和运用，考查函数单调性的应用，考查不等式的解法，解题的关键是利用赋值法求值，考查计算能力，属于中档题.
17．(1)7
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可，
（2）利用对数的运算性质求解即可
【详解】（1）
.
（2）
.
18．(1)
(2)
【分析】(1)利用指数幂和根式的运算即可求解；
(2)利用对数的运算法则即可求解.
【详解】（1）
；
（2）
.
19．(1)，，；
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；
（2）根据单调性的定义即可证明函数在上单调递增，再根据单调性以及对数的性质即可比较出大小．
【详解】（1）因为，所以，，即．因为，所以，．
（2）设为上任意两个实数，且，则，，
，即，所以在上单调递增．
所以，所以．