07指数函数-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份07指数函数-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）化简：（ ）
A．1B．C．D．
2．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·江苏连云港·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·江苏南通·高一统考期末）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
7．（2020上·江苏南通·高一江苏省西亭高级中学校考期末）若函数的值域为，则a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021上·江苏泰州·高一统考期末）函数则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
9．（2020上·江苏无锡·高一统考期末）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2021上·江苏宿迁·高一统考期末）设，，，则，，大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．为上的增函数
C．的解集为D．的值域为
12．（2023上·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则函数
B．若，则函数的最大值为
C．若x，，，则的最大值为4
D．若x，，，则xy的最小值为1
13．（2023上·江苏连云港·高一统考期末）已知，是定义在上的增函数，，若对任意，，使得成立，则称是在上的“追逐函数”．已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的是（ ）．
A．B．
C．D．
14．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用，例如县索桥､双曲拱桥､架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数.这样，数学上又多了一对与有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数.则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
15．（2022下·江苏苏州·高二统考期末）已知函数同时满足条件：①；②，.请写出这样的一个函数 .
16．（2023上·江苏南京·高一统考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，若，则 .
17．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）定义在上的奇函数，当时，，当时， ．
18．（2023上·江苏常州·高一统考期末）已知函数（且）为偶函数，则实数a的值为 ．
19．（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设函数，则满足的的取值范围是 .
20．（2022上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设、，满足，则的值为 .
21．（2022上·江苏宿迁·高一统考期末）若函数是R上的奇函数，且周期为3，当时，，则＝ ．
四、解答题
22．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知函数为奇函数．
(1)求的值
(2)解不等式
(3)求的值域．
23．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知函数的定义域为，函数的值域为.
(1)若，求，；
(2)问题：已知_________，求实数的取值范围从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答
①；②；③“”是“”的必要不充分条件.
24．（2022上·江苏常州·高一统考期末）设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点.
(1)求的解析式；
(2)用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域.
25．（2023上·江苏常州·高一统考期末）已知为偶函数，为奇函数，定义域均为R，且．
(1)求，的解析式；
(2)判断在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(3)解关于x的不等式．
26．（2023上·江苏常州·高一统考期末）已知二次函数，且关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.
【详解】.
故选：A.
2．B
【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解.
【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以，，
因为，①
所以，
所以，②
①②得，，
因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在上单调递增，又，
若恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以只需，
因为，，所以（当且仅当，即时取等号），
所以（当且仅当时，取等号），
所以，
所以的取值范围为.
故选：B．
3．B
【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
所以.
设，因为，即
所以在单调递增，最小值为，
因为，，，即，
所以，
令，易得，所以，即，
显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为.
故选：B
4．A
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
时，，
时，；
则时，
时，，
时，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的值域，突破难点.
5．B
【分析】确定，，，得到大小关系.
【详解】，，，
故.
故选：B
6．A
【分析】根据指数函数的单调性可解决此题．
【详解】解：由指数函数（，且），且
根据指数函数单调性可知
所以，
故选：A
7．B
【分析】分别求出和时的的范围，然后结题意可得且，从而可求出的范围，进而可得答案
【详解】解：当时，，则，即
当时，，则，即，
因为的值域为，
所以且，解得，
所以a的最大值为，
故选：B
8．C
【解析】由分段函数定义先计算，再计算．
【详解】由题意，∴．
故选：C．
9．C
【解析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，与的大小关系，由此可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，排除B选项；
当时，，则，排除D选项；
，，则，所以，函数在上不是减函数，排除A选项.
故选：C.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
10．A
【解析】利用指数函数单调性比较大小.
【详解】由函数在上单调递增，且，得， 所以
故选：A
【点睛】方法点晴：比较大小常用方法有：
函数单调性法，化同底指数幂，构造中间量，图像法.
11．AC
【分析】由奇函数的性质求出的值，再代入检验，即可判断A，再根据指数型复合函数的单调性判断B，由及指数函数的性质求出不等式的解集，即可判断C，首先求出，即得到的取值范围，即可求出的值域，从而判断D.
【详解】解：因为函数为奇函数，
所以，即，解得，
此时，则，符合题意，
故，即A正确；
因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递减，
所以在定义域上单调递减，故B错误；
由，即，所以，即，即，解得，
所以不等式的解集为，故C正确；
因为，所以，所以，即的值域为，故D错误；
故选：AC
12．AB
【分析】利用基本不等式一一判断求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当解得时取得等号，故A正确；
因为，所以，则，
所以，
当且仅当解得时取得等号，
所以，
所以，
所以函数的最大值为，B正确；
因为，所以，
当且仅当时取得等号，
所以的最小值为4，C错误；
因为，
所以，解得，
又因为x，，所以，
所以，所以，当且仅当时取得等号
所以xy的最大值为1， D错误，
故选:AB.
13．AB
【分析】是在上的“追逐函数”，则在上的图像在的图像的上方，进而判断选项AB；举反例否定选项CD.
【详解】为上的增函数，，值域为
若对任意，，使得成立，
则值域为，在上的图像在的图像的上方，
选项A：在上的值域为，
，定义域上当x=1时等号成立，
则在上的图像在的图像的上方，符合要求，判断正确；
选项B：在上的值域为
，定义域上当x=1时等号成立，
则在上的图像在的图像的上方，符合要求，判断正确；
选项C：
但，即时，，
则不是在上的“追逐函数”．判断错误；
选项D：在上的值域为，
则时， 不存在，使得成立，
则不是在上的“追逐函数”．判断错误.
故选：AB
14．BCD
【分析】根据新定义，直接运算即可判断A，根据即可判断B，结合同底数幂的乘法法则，利用作差法即可判断CD.
【详解】A：
，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
，即，故C正确；
D：
，
由得，即，故D正确.
故选：BCD.
15．（答案不唯一）
【分析】根据已知函数性质，结合指数函数的单调性和运算性质写出一个符合要求的函数.
【详解】令，则满足①；
又，即递减， 也满足；
所以这样的函数可为.
故答案为：（答案不唯一）.
16．1
【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.
【详解】由可得的函数周期为4，则，
由，则，解得.
故答案为：1.
17．
【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得.
【详解】因为函数为奇函数，所以，解得.
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
即当时，.
故答案为：
18．
【分析】根据偶函数的定义即可求解.
【详解】因为函数（且）为偶函数，
所以，则有，所以，
故答案为：.
19．
【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得.
【详解】当时，，则在时无解；
当时，，在单调递增，时，则的解集为；
当时，，则在时恒成立；
综上，的解集为.
故答案为：．
20．
【分析】利用指数幂的运算可得出，根据已知条件求出、的值，即可得解.
【详解】由可得，
因为且，可得，则，
由、可知、，则或，
则或.
当时，无意义；
当时，.
综上所述，.
故答案为：.
21．
【分析】由是定义在上的奇函数得，，再利用周期和奇偶性可得答案.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，
.
故答案为：.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用奇函数的定义待定系数法计算即可；
（2）结合（1），解不等式即可；
（3）转换自变量与因变量，利用表示，结合指数函数的性质解不等式即可.
【详解】（1）由题意可得：，
所以，
因为，所以．
（2）不等式等价于，则，化简得，
所以，所以，
所以不等式的解集为．
（3）令，则，整理得，
即，
又，所以，解之得：或，
所以的值域为.
23．(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数的定义域的定义求得，再由指数函数的图象与性质求得，将代入，利用交集和并集的运算即可求解；
（2）根据交集的定义或补集的定义或必要不充分条件的定义皆可得到，从而结合子集的定义即可求解.
【详解】（1）由题意，令，解得：，所以，
又因为，所以函数，所以，
当时，，
所以，.
（2）选①：，
由（1）知：，，
因为，所以，则，
故实数的取值范围为.
选②：，
由（1）知：，，
因为，所以，则，
故实数的取值范围为.
选③：“”是“”的必要不充分条件，
由（1）知：，，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，则，
故实数的取值范围为.
24．(1)
(2)证明见解析，值域为
【分析】（1）根据，函数的图象经过点可求出可得的解析式；
（2）用定义证明为R上的增函数即可；并根据的单调性可得获胜在上的值域.
【详解】（1）因为为R上的奇函数，
所以，即，①
又因为函数的图象经过点，
所以,即，②
由①②，可得，，故，
，，
故为奇函数，
所以；
（2）任取，，且，
则
，
因为，所以，又，
所以，所以，故为R上的增函数.
当时，，即，
所以在上的值域为.
25．(1)，.
(2)函数在R上单调递增，证明见详解.
(3)
【分析】(1)根据函数的奇偶性，利用解方程组法即可求解；
(2)利用指数函数的单调性判断函数为R上的增函数，然后利用定义即可证明；
(3)结合（2）的结论，利用函数的单调性列出不等式解之即可求解.
【详解】（1）由①可得：，
又因为为偶函数，为奇函数，所以②，
①②可得：，则，
所以，.
（2）函数在R上单调递增，证明如下：
设任意的，且，
则，
因为，所以，则，所以，故函数在R上单调递增.
（3）因为，所以，
则不等式可化为，
由（2）可知：函数在R上单调递增，所以，
解得：，所以不等式为.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；
（2）换元，根据恒成立问题利用参变分离可得对时恒成立，再结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：方程的两根为，且
则，解得，
故.
（2）由（1）可得，
令，则对时恒成立，
故对时恒成立，
∵，当且仅当，即时成立，
∴，即实数m的取值范围为.