2023-2024学年内蒙古自治区优质高中联考高二上学期11月期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区优质高中联考高二上学期11月期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x+y-3=0倾斜角是
( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.直线x-y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为
( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
3.若平面α的一个法向量为u1=-3,y,2，平面β的一个法向量为u2=6,-2,z，且α//β，则y+z的值是
( )
A. -3B. -4C. 3D. 4
4.设x,y∈R，a=1,1,1，b=1,y,z，c=x,-4,2且a⊥c,b//c，则a+b=( )
A. 2 2B. 10C. 3D. 4
5.若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=( )
A. 21B. 19C. 9D. -11
6.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，AA1=3，且∠A1AD=∠A1AB=60∘，则线段AC1的长为
( )
A. 9B. 29C. 47D. 4 3
7.直线y=x+b与曲线y=1- 4-x2有两个不同的交点，则实数b的取值范围是
( )
A. 1-2 2,1+2 2B. 1-2 2,-1
C. -1,1+2 2D. 3,1+2 2
8.过椭圆C：x216+y24=1上一点M作圆x2+y2=3的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则△OPQ(O为坐标原点)面积的最小值为
( )
A. 916B. 98C. 34D. 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于椭圆3x2+4y2=12有以下结论，其中正确的有
( )
A. 离心率为12B. 长轴长是2 3
C. 焦距2D. 焦点坐标为-1,0,(1,0)
10.下列说法正确的是( )
A. 直线xsinθ+y+2=0θ∈R的倾斜角范围是0,π4∪34π,π
B. 若直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直，则a=1
C. 过两点x1,y1，x2,y2的直线方程为y-y1x2-x1=x-x1y2-y1
D. 经过点1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
11.下列结论正确的是( )
A. 已知点Px,y在圆C:(x-1)2+(y-1)2=2上，则y+2x的最小值是-7
B. 已知直线kx-y-k-1=0和以M-3,1,N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为-12≤k≤32
C. 已知点Pa,b是圆x2+y2=r2外一点，直线l的方程是ax+by=r2，则l与圆相交
D. 若圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N1,0的距离为1，则r的取值范围是4,6
12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC1，B1C1的中点分别为E，F，则
( )
A. OE⋅BC=12
B. S▵FOE= 68
C. 异面直线OD1与EF所成角的余弦值为 336
D. 点F到直线OD1的距离为 144
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆x225+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________．
14.已知直线l1:(m+3)x+5y=5-3m，l2:2x+(m+6)y=8，若l1//l2，则m的值是___________．
15.已知圆C:x-12+y-12=16，直线l:2m-1x+m-1y-3m+1=0.当直线l被圆C截得弦长取得最小值时，直线l的方程为__________．
16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A-2,0、B2,0，点P满足PAPB=3，则PA⋅PB的最小值为___________．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知▵ABC的三个顶点为A4,0,B0,2,C2,6．
(1)求AC边上的高BD所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线AE所在直线的方程．
18.(本小题12分)
经过椭圆x24+y23=1的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A,B两点，F2是椭圆的右焦点．
(1)求△ABF2的周长．
(2)求AB的长．
19.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2,BD1和B1D交于点E,F为AB的中点．
(1)求证：EF/​/平面ADD1A1；
(2)已知B1D与平面BCC1B1所成角为π4，求平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；
20.(本小题12分)
如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形(长、宽分别为8m、4m)和圆弧构成，截面总高度为6m，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度AB=6m．

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE/​/CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．

(1)求点A到平面PCD的距离；
(2)求直线PE与平面PBC所成角的余弦值；
(3)在线段PE上是否存在点M，使得DM//平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
22.(本小题12分)
设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 33，上、下顶点分别为A，B，AB=4，过点E(0,1)且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于点C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若FC=DE，求k的值；
(3)是否存在实数k，使直线AC平行于直线BD？证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可．
解： 3x+y-3=0 ⇒y=- 3x+3 ，
设该直线的倾斜角为 α ，
因为直线的斜率为 k=tanα=- 3 ，
因数 0≤αr2，
圆心到直线l的d=r2 a2+b20)，圆N:(x-1)2+y2=1，
圆心距为d=MN=5，
因为圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N1,0的距离为1，
所以两圆相交，则r-1