江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．一元二次方程的解是（ ）
A．0B．3C．0和3D．0和－3
2．下列各组线段中成比例的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
3．二次函数的图象的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
（第4题）
A．B．C．D．
5．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，与相交于点，则下列式子不正确的是（ ）
（第5题）
A．B．C．D．
6．如图，二次函数与正比例函数的图象相交于点，，点的横坐标为－1，点B的横坐标为5．下列结论：①；②；③关于的方程的两根为，；④，其中所有正确结论的序号是（ ）
（第6题）
A．②③B．①③C．①②④D．②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．若，则＝______
8．若，相似比为3：1，则与的面积的比为______．
9．已知的半径为4，则30°的圆周角所对的弦长为______
10．如图，的中线，交于点，则的值为______
（第10题）
11．已知是线段的黄金分割点，若且，则的长度是______
12．已知点，在函数的图象上，且，则______．（填“<”或“>”或“＝”）
13．根据下表信息，估计一元二次方程（）的一个解是______．（精确到0.01）
14．如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______
（第14题）
15．如图，与相切于点，交于点，点在上，且与相切．若，，则的长为______
（第15题）
16．已知二次函数和（是常数）的图象与轴都有两个交点，且这几个交点中相邻两点之间的距离都相等，则的值为______．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程：
（1）；（2）．
18．（8分）根据下列条件，分别求出相应的二次函数表达式．
（1）二次函数图象的顶点为，图象经过；
（2）二次函数图象经过、、．
19．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若是方程的一个根，用两种不同方法求的值．
20．（8分）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．
（第20题）
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
21．（8分）某店销售某款童装，每件售价60元，每周可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每周可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．
（1）该店每周要想获得6480元的利润，同时让顾客得到更多实惠，每件童装降价多少元？
（2）当每件售价定为多少元时，每周的销售利润最大，最大利润是多少？
22．（8分）某喷水头喷出的水柱呈抛物线形状，测得喷水头距地面2.4m，水柱在距喷水头水平距离4m处达到最高，最高点距地面3.2m．建立如图所示的平面直角坐标系，设当水柱距喷水头的水平距离为时，水柱距地面的高度为．
（第22题）
（1）求与之间的函数表达式；
（2）求水柱的最大喷射距离．
23．（8分）已知二次函数．
（1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
（2）已知该函数的图象在轴上截出的线段长为8，且原点位于该图象的上方，求的值．
24．（8分）如图，在中，是边上的动点，连接，作，，得．
（第24题）
（1）求证；
（2）若在边上运动，用尺规作出点的运动轨迹，并简要说明理由．
25．（7分）证明“眼球定理”．
如图，，的半径分别为，且。的切线，交于点，；的切线，交于点，．连接，，则总有．
（1）以下结论中所有正确结论的序号是______．
①；②连接，；
③垂直平分和；④的长只与，有关，与无关．
（2）在（1）中正确结论的基础上，证明．
26．（7分）已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数的图象经过点，则
①的值为______；
②当时，的取值范围为______．
（2）当时（其中，为实数，），的取值范围为．直接写出，的值或取值范围．
（3）当时，的最小值为－5，求的值．
27．（10分）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．
一分为二
（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______．
（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______．
一分为多
（3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．
一分为三
将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值．
2023—2024学年第一学期九年级期末模拟
数学参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．12．<
8．9：113．
9．414．或
10．15．
11．16．或
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题8分）
（1）解：，
即．
∴．
∴，．
（2）解：，
∴或
∴，
18．（本题8分）
（1）解：设函数表达式为，其中．
由图象经过，得．
解得．
∴该二次函数表达式为或．
（2）设函数表达式为，其中．
由图象经过，得．
解得．
∴．
∴所求二次函数表达式为．
19．（本题8分）
（1）解：∵该方程有两个不相等的实数根，
∴．
∴．
（2）解：方法1：把代入方程得，解得．
法2：设方程另一根为，则，解得，∴．
20．（本题8分）
（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴，即．
又点在上，
∴是的切线．
（第20题）
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
∵，
∴，
即的半径长为．
21．（本题8分）
解：设每件童装降价元，获得利润元．
根据题意，得
．
（1）当时，．
即
解得，．
∵让顾客得到更多实惠，
∴．
答：每件童装降价8元
（2）∵，为正整数，
∴当时，有最大值，且．
∴售价为60－5＝55．
答：当每件售价定为55元时，每周的销售利润最大，最大利润是6750元
22．（本题8分）
（1）解：由题可知，抛物线顶点为
设与之间的表达式为：．
将代入得：．
解得．
∴．
（2）令
．
解得，（不合题意，舍去）
答：水柱的最大喷射距离为12m．
23．（本题8分）
（1）证明（方法1）：当时，，
∵
∴该方程总有实数根．
∴无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点．
证明（方法2）：当时，．
∴无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点．
（2）解：令，．
解得，．
∴该函数图象与轴有两个交点，．
∵该函数图象在轴上截出的线段长为8，
∴．
∴或－5．
∵原点位于该图象的上方，
∴当时，，
即．
∴．
24．（本题8分）
（1）证明：∵，
∴，
即．
又，
∴．
（2）解：如图，作，，设与交于点，则点的运动轨迹为线段．
理由：易证，所以是定值，所以的轨迹在射线上；当点运动到点时，点在射线上，所以点的运动轨迹为线段．
25．（本题7分）
（1）①②③；
（2）证明：设与分别与交于点，，连接，．设．
由（1）可知，，，，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
同理．
∴．
26．（本题7分）
（1）①－2；
②或．
（2；．
（3）解：的图象的对称轴为直线．结合图象可知：
若，即：当时最小，则，解得（舍去）；
若，即：当时最小，则，解得；
若－，即：当时最小，则，其中（舍去）；
∴或．
27．（本题10分）
（1）．
（2）．
（3）解：同意．
理由：如图，按图中方案将矩形分割为4个小矩形（它们两两全等），无论a为何值，每个小矩形都与原矩形相似
（4）如图，共有下列4种情形．


…
1.63
1.64
1.645
1.65
1.66
…
…
5.9169
5.9696
5.9996
6.0225
6.0756
…
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
A
C
D
A