专题1.3 集合的基本运算（6类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc29625" 【考点1：集合的并集】 PAGEREF _Tc29625 \h 1
\l "_Tc1260" 【考点2：集合的交集】 PAGEREF _Tc1260 \h 2
\l "_Tc16238" 【考点3：全集与补集】 PAGEREF _Tc16238 \h 3
\l "_Tc3322" 【考点4：含参数的集合运算】 PAGEREF _Tc3322 \h 5
\l "_Tc9237" 【考点5：集合的实际应用】 PAGEREF _Tc9237 \h 7
\l "_Tc18908" 【考点6：集合的新定义】 PAGEREF _Tc18908 \h 10
【考点1：集合的并集】
【知识点：并集】
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称作集合A与集合B的并集，记作A∪B．
1．（2022•浙江）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（ ）
A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}
【分析】利用并集运算求解即可．
【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，
∴A∪B＝{1，2，4，6}，
故选：D．
2．（2022春•浙江期中）已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{0，1}，则A∪B＝（ ）
A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2}
【分析】根据并集概念即可求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{0，1}，
∴A∪B＝{x|0≤x≤2}．
故选：D．
3．（2022春•锡山区校级期中）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣2＜x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|0＜x＜1}
【分析】由并集的定义求解即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}．
∴A∪B＝{x|﹣2＜x≤2}．
故选：B．
4．（2022•浙江模拟）已知集合A＝{x|x2＝2x}，集合B＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，则A∪B＝（ ）
A．{0，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{x|0≤x＜2}D．{x|﹣2＜x≤2}
【分析】分别求出集合A，B中的元素，求出A，B的并集即可．
【解答】解：∵A＝{x|x2＝2x}＝{0，2}，
B＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，
∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
故选：B．
【考点2：集合的交集】
【知识点：交集】
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称作集合A与集合B的交集，记作A∩B．
1．（2022春•镇海区校级期末）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，则A∩B＝（ ）
A．∞B．{2}C．{1，2，4}D．{1，2，3，4，8}
【分析】直接利用交集运算的概念得答案．
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，
∴A∩B＝{1，2，3}∩{2，4，8}＝{2}．
故选：B．
2．（2022春•江苏期末）已知集合A＝{1，2}，B＝{a﹣1，a2+2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由已知可得a﹣1＝1，由此求得a值．
【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{a﹣1，a2+2}，且A∩B＝{1}，
又a2+2≠1，∴a﹣1＝1，即a＝2，此时B＝{1，6}，符合题意．
故选：C．
3．（2022春•开福区校级月考）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{x|x2﹣4x+a＝0，a∈M}，若M∩N≠∅，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1或2
【分析】代入a的值，解方程求出N，从而判断a的值即可．
【解答】解：∵集合M＝{1，2，3}，
a＝1时，解方程x2﹣4x+1＝0，得x＝2±3，
故N＝{2+3，2-3}，
故M∩N＝∅，故a≠1，
a＝2时，解方程x2﹣4x+2＝0，得x＝2±2
故N＝{2+2，2-2}，
故M∩N＝∅，故a≠2，
a＝3时，解方程x2﹣4x+3＝0，得x＝1或3，
故N＝{1，3}，
故M∩N＝{1，3}≠∅，故a＝3，
故选：C．
4．（2022•海淀区校级三模）已知集合A＝{x|x≥a}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{1，2}，则a的最大值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】由已知结合交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x≥a}，B＝{﹣1，0，1，2}，且A∩B＝{1，2}，
则a的最大值为1，
故选：C．
5．（2022•烟台三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用交集定义、集合的子集个数直接求解．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝{0，1}，
则A∩B的子集个数为22＝4．
故选：D．
【考点3：全集与补集】
【知识点：全集】
一般地，如果一个集合含有所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
【知识点：补集】
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集，记作．
1．（2021•大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}
【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．
【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，
∴A∪B＝{1，3，5}，
∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，
∴∁U（A∪B）＝{2，4}，
故选：C．
2．（2022•沈阳模拟）已知全集U＝{x∈N|﹣1＜x≤3}，A＝{1，2}，∁UA＝（ ）
A．{3}B．{0，3}C．{﹣1，3}D．{﹣1，0，3}
【分析】利用列举法表示U，再由补集运算得答案．
【解答】解：∵U＝{x∈N|﹣1＜x≤3}＝{0，1，2，3}，A＝{1，2}，
∴∁UA＝{0，3}．
故选：B．
3．（2022•林州市校级开学）已知全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，则∁AB＝（ ）
A．{x|x≥5}B．{x|5＜x≤6或x＝1}
C．{x|x≤1或x≥5}D．{x|5≤x≤6}∪{1}
【分析】利用补集的定义，求解即可．
【解答】解：∵全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，
∴∁AB＝{x|5≤x≤6}∪{1}，
故选：D．
4．（2022•闵行区二模）设全集U＝{x|x3﹣x＝0}，集合A＝{0，1}，则∁UA＝ {﹣1} ．
【分析】求解一元三次方程化简U，再由补集的概念得答案．
【解答】解：全集U＝{x|x3﹣x＝0}＝{﹣1，0，1}，集合A＝{0，1}，
则∁UA＝{﹣1}．
故答案为：{﹣1}．
5．（2021•重庆）若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）＝ {2，4，8} ．
【分析】先求出满足条件的全集U，进而求出满足条件的集合A与集合B，求出A∪B后，易根据全集U求出∁U（A∪B）．
【解答】解：∵U＝{n|n是小于9的正整数}，
∴U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
则A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，
所以A∪B＝{1，3，5，6，7}，
所以∁U（A∪B）＝{2，4，8}．
【考点4：含参数的集合运算】
1．（2022•金华模拟）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x≤1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．0＜a≤1B．a＞0C．a≤0D．a≤0 或 a≥1
【分析】由集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x≤1}，A∩B＝∅，利用交集定义能求出实数a的取值范围．
【解答】解：集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x≤1}，A∩B＝∅，
∴a≤0，故选：C．
2．（2021秋•罗庄区校级月考）若集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝B，则a的取值范围为（ ）
A．a≤2B．a≤1C．a≥1D．a≥2
【分析】推导出A⊆B，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝B，
∴A⊆B，
∴a≥2，
∴a的取值范围为a≥2．
故选：D．
17．（2022春•虹口区校级月考）已知A＝{x|a≤x≤a+3}，b＝{x|﹣1＜x＜5}，A∩B＝∅，则实数a的取值范围是 ．
【分析】直接由A∩B＝∅，得到关于a的不等式，再求出a的取值范围．
【解答】解：∵A＝{x|a≤x≤a+3}，b＝{x|﹣1＜x＜5}，A∩B＝∅，
∴a≥5或a+3≤﹣1，解得a≥5或a≤﹣4，
故答案为：a≥5或a≤﹣4．
18．（2022春•鸡东县校级期中）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【分析】（1）当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；当B≠∅时，m+1≤2m-12m-1＜-2或m+1≤2m-1m+1＞5，由此能求出实数m的取值范围；
（2）A∪B＝A，B⊆A，当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，A∩B＝∅，
∴当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
当B≠∅时，m+1≤2m-12m-1＜-2或m+1≤2m-1m+1＞5，
解得m＞4，
∴实数m的取值范围是m＜2或m＞4；
（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，
当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
当B≠∅时，m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5，解得2≤m≤3．
综上，实数m的取值范围是m≤3．
19．（2021秋•沈阳期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，U＝R．
（1）若A∪∁UB＝U，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由题意得B⊆A，然后对B是否为空集进行分类讨论可求；
（2）当A∩B＝∅时，结合B是否为空集进行分类讨论可求m的范围，然后结合补集思想可求满足条件的m的范围．
【解答】解：（1）A∪∁UB＝U，
所以B⊆A，
当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，
当B≠∅时，2m-1≥m+1m+1≥-22m-1≤5，
解得2≤m≤3，
综上，m的取值范围为{m|m≤3}；
（2）当A∩B＝∅时，
当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，
当B≠∅时，2m-1≥m+12m-1＜-2或2m-1≥m+1m+1＞5，
解得，m＞4，
综上，A∩B＝∅时，m＞4或m＜2，
故当A∩B≠∅时，实数m的取值范围为．
20．（2021秋•湖北期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【分析】（1）①当B为空集时，m+1＜2m﹣1，②当B不是空集时，B⊆A，m+1≥2m-12m-1≥-3m+1＜4，由此能求出实数m的取值范围．
（2）当B为空集时，m+1＜2m﹣1，当B不是空集时，m+1≥2m-1m+1＜-3或2m-1≥4，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）①当B为空集时，m+1＜2m﹣1，m＞2成立．②当B不是空集时，
∵B⊆A，∴m+1≥2m-12m-1≥-3m+1＜4，解得﹣1≤m≤2，综上①②，m≥﹣1．
（2）①当B为空集时，m+1＜2m﹣1，m＞2，成立．
②当B不是空集时，m+1≥2m-1m+1＜-3或2m-1≥4，
解得m＜﹣4．
综上：m＞2或m＜﹣4．
【考点5：集合的实际应用】
1．（2022春•西安期中）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（ ）名．
A．62B．56C．46D．42
【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可求解．
【解答】解：由题意可得如下所示韦恩图：
60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，96名学生喜欢足球或游泳，
既喜欢足球又喜欢游泳的学生有60+82﹣96＝46，
故选：C．
2．（2022•甘肃模拟）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中a＝ 9 ；b＝ 8 ；c＝ 10 ．
【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求出结果．
【解答】解：由题意得28+a+b+6=5135+a+c+6=6026+b+c+6=50，
解得a＝9，b＝8，c＝10．
故答案为：9，8，10．
3．（2021秋•廊坊期末）某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 12 人．
【分析】利用集合中元素个数、交集性质直接求解．
【解答】解：某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．
该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，
则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有：
31+26﹣45＝12．
故答案为：12．
4．（2021秋•宿迁期末）立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”若答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，则第一、二题都没答对的有 5 人．
【分析】设两题都没有答对的有x人，作出韦恩图，数形结合列出方程，能求出一、二两题都没答对的人数．
【解答】解：某班有35人参加了“学党史知识竞赛”．
答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，
设两题都没有答对的有x人，
则作出韦恩图，得：
由题意得x+14+6+10＝35，
解得x＝5．
∴一、二两题都没答对的有5人．
故答案为：5．
5．（2021•涿鹿县校级开学）某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，求该班既爱好体育又爱好音乐的有人数．
【分析】根据条件设该班既爱好体育又爱好音乐的有人数为x人，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：设该班既爱好体育又爱好音乐的有人数为x人，
则（43﹣x）+x+（34﹣x）＝55﹣4，得x＝26．
答：该班既爱好体育又爱好音乐的有人数为26人．
6．（2021秋•宜兴市校级期末）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
【分析】首先画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系，然后分别对赞成和不赞成的人进行分析，最后判断都赞成的人和都不赞成的人．
【解答】解：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系．
赞成A的人数为50×35=30，赞成B的人数为30+3＝33，
如图，记50名学生组成的集合为U，
赞成事件A的学生全体为集合A；
赞成事件B的学生全体为集合B．
设对事件A、B都赞成的学生人数为x，
则对A、B都不赞成的学生人数为x3+1，
赞成A而不赞成B的人数为30﹣x，
赞成B而不赞成A的人数为33﹣x．
依题意（30﹣x）+（33﹣x）+x+（x3+1）＝50，解得x＝21．
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．
【考点6：集合的新定义】
【解决集合新定义问题的着手点】
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．
1．（2021秋•赣县校级月考）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【分析】由题意知，子集A和B不可以互换，即视为不同选法，从而对子集A分类讨论，当A是二元集或三元集或是四元集，B相应的有4种：二元集或三元集或是四元集，根据计数原理得到结论．
【解答】解：对子集A分类讨论：
当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；
当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果，
根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．
故选：C．
2．（2021秋•宁德期中）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：
①集合A＝{0}为闭集合；
②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；
③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】根据新定义和集合知识综合的问题，分别判断a+b∈A，且a﹣b∈A是否满足即可得到结论．
【解答】解：①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正确；
②当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6∉A，故不是闭集合，∴②错误；
当a＝﹣3，b＝﹣1时，a+b＝﹣3+（﹣1）＝﹣4∉A，故不是闭集合，∴②错误；
③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确；
④假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，∴④错误．
正确结论的序号是①③．
故答案为：①③
3．（2021•东海县校级模拟）非空集合M关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈M，都有a⊕b∈M；（2）存在e∈M，使得对一切a∈M，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称M关于运算⊕为“理想集”．现给出下列集合与运算：
①M＝{非负整数}，⊕为整数的加法；
②M＝{偶数}，⊕为整数的乘法；
③M＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法；
④M＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；
其中M关于运算⊕为“理想集”的是 ①④ ．（只需填出相应的序号）
【分析】逐一检验给出的集合与运算是否满足“理想集”的定义中的两个条件，把满足“理想集”的定义的找出来．
【解答】解：对于①M＝{非负整数}，⊕为整数的加法，由于任意两个整数的和仍是整数，M中存在0，满足
a+0＝0+a＝a，故满足“理想集”的定义．
对于②M＝{偶数}，⊕为整数的乘法，由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1），但不存在偶数e，使得
一个偶数与e的积仍是此偶数，故不满足条件（2），故不满足“理想集”的定义．
对于③M＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法，由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如 ax2+bx+c
与﹣ax2﹣bx+c 的和为2c，不满足条件（1），故不满足“理想集”的定义．
对于④M＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法，由于任意两个平面向量的和仍是平面向量，M 中存在0→，
使得a→+0→=a→ 成立，故满足“理想集”的定义．
故答案为：①④．