专题1.7 基本不等式（4类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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\l "_Tc24404" 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 PAGEREF _Tc24404 \h 1
\l "_Tc3482" 【考点2：由基本不等式证明不等式】 PAGEREF _Tc3482 \h 1
\l "_Tc28925" 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 PAGEREF _Tc28925 \h 9
\l "_Tc18045" 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc18045 \h 14
【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】
【知识点：基本不等式】
一．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
二．几个重要的不等式：
（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
（2）ba+ab≥2，ab>0，当且仅当a＝b时取等号；
（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
（4）a2+b22≥a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
三. 利用基本不等式求最值问题：
已知x>0，y>0，则：
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).（简记：积定和最小）
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).（简记：和定积最大）
1．（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)​的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，则a+2b的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（ ）
A．8B．82C．9D．92
5．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1b)(b+1a)的最小值为（ ）
A．22+2B．4C．254D．22+1
6．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．{2}B．[2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）
7．（2022春•温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（ ）
A．6B．42C．3+22D．2+22
8．（2022春•朝阳区校级期末）已知x＞53，求y=x2+x+1x-1的最小值 ．
9．（2022春•丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为 ．
10．（2022春•台州期末）已知非负实数x，y满足13x+y+12y+2=1，则x+y的最小值为 ．
11．（2022春•石家庄期末）已知ab＞0，a+b＝1，则a+4bab的最小值为 ．
12．（2022春•长春期末）已知a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则1a2+1b2的最小值为 ．
13．（2022春•岚山区校级月考）已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，则12x-1+4y-3的最小值为 ．
14．（2022•烟台三模）当x＞0时，3xx2+4的最大值为 ．
15．（2022春•西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则4x+x+3y3y的最小值为 ．
16．（2022春•温州期中）已知a＞b＞0，当2a+4a+b+1a-b取到最小值时，则a＝ ．
17．（2022•南京模拟）（1）已知x＞3，求4x-3+x的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x+3y的最小值．
18．（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．
（1）求1a+2b的最小值；
（2）求a2+4b2+5ab的最大值．
【方法技巧1】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【方法技巧2】
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
（2）把确定的定值(常数)变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
【考点2：由基本不等式证明不等式】
1．（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥2C．x2+y2≥1D．x2+y2≤2
2．（2022春•尖山区校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（ ）
A．ab≥1B．a+b≥2C．a2+b2≥2D．1a+1b≤2
3．（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2（x≠0），③a2+b2≥22(a+b)(a、b∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．①③正确，②错误B．②③正确，①错误
C．①②错误，③正确D．①③错误，②正确
【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】
1．（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜6}
2．（2021秋•兰山区校级期中）已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
3．（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式mx+1y≥2恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．2≤m＜2B．m≥1C．0＜m≤1D．1＜m≤2
4．（2022春•合肥期末）若两个正实数x，y满足4x+1y=1，且不等式x+4y＞m2-6m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
5．（2021秋•河南月考）已知x、y为两个正实数，且不等式ax+y≤12x+2y恒成立，则实数a的取值范围是 ．
6．（2021秋•黑龙江期末）已知x＞0，y＞0且1x+9y=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．
7．（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．
（1）求xy的最大值；
（2）若不等式4x+1y≥a2+5a恒成立，求实数a的取值范围．
8．（2021秋•玄武区校级月考）已知正数x，y满足2x+y﹣xy＝0．
（1）求2x+y的最小值；
（2）若x(y+2)-42＞m2+5m恒成立，求实数m的取值范围．
9．（2021秋•华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．
（1）求1x+9y的最小值；
（2）若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．
【考点4：利用基本不等式解决实际问题】
【知识点：利用基本不等式解决实际问题】
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.
1．（2022春•浦东新区校级月考）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在P1+P2为定值的情况下，P的最大值为 （用P1、P1表示）．
2．（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
3．（2021秋•信阳校级期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求1x+2y的最小值．