专题1.9 预备知识（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·重庆市育才中学高一阶段练习）若集合A=x∣x≤1,x∈Z，则A的子集个数为（）
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【分析】先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.
【详解】解：A=x∥x∣≤1,x∈Z =-1,0,1，则A的子集个数为23=8个，
故选：D.
2．（2022·河南南阳·高一阶段练习）不等式-x2+3x+18<0的解集为（）
A．{xx>6或x<-3}B．x-3C．{xx>3或x<-6}D．x-6【答案】A
【分析】根据二次不等式的解法求解即可.
【详解】-x2+3x+18<0可化为x2-3x-18>0，
即x-6x+3>0，即x>6或x<-3．
所以不等式的解集为{xx>6或x<-3}.
故选：A
3．（2022·上海·高一单元测试）若集合M=a,b,c中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据集合元素的互异性即可判断.
【详解】由题可知，集合M=a,b,c中的元素是△ABC的三边长，
则a≠b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形．
故选：D．
4．（2020·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式x2-4≤0可得：A=x|-2≤x≤2，
求解一次不等式2x+a≤0可得：B=x|x≤-a2.
由于A∩B=x|-2≤x≤1，故：-a2=1，解得：a=-2.
故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．（2022·广东·东莞实验中学高一阶段练习）已知集合M=xx=2k+1,k∈Z，集合N=yy=4k+3,k∈Z，则M∪N=（）
A．xx=6k+2,k∈ZB．xx=4k+2,k∈Z
C．xx=2k+1,k∈ZD．∅
【答案】C
【分析】通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.
【详解】因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，
集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，
因为x∈N时，x∈M成立，
所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.
故选：C.
6．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．
【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：C．
7．（2022·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）某班共有学生60名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班32人不会打乒乓球，28人不会打篮球，24人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是（）
A．32B．33C．35D．36
【答案】D
【分析】设只会打乒乓球、篮球、排球的学生有x1,x2,x3人，同时会打乒乓球和篮球、排球和篮球、乒乓球和排球的学生分别为y1,y2,y3，根据题目条件列出等式，解之可得结论．
【详解】设只会打乒乓球、篮球、排球的学生有x1,x2,x3人，同时会打乒乓球和篮球、排球和篮球、乒乓球和排球的学生分别为y1,y2,y3，
由题意知：x1+x2+x3+y1+y2+y3=60，x2+x3+y2=32，x1+x3+y3=28，x1+x2+y1=24，
第一个式子乘2减去后面三个式子得：y1+y2+y3=120-32+28+24=36，
即该班会其中两项运动的学生人数是36人．
故选：D.
8．（2022·全国·高一课时练习）设实数x满足x>0，函数y=2+3x+4x+1的最小值为（）
A．43-1B．43+2C．42+1D．6
【答案】A
【解析】将函数变形为y=3x+1+4x+1-1，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：由题意x>0，所以x+1>0，
所以y=2+3x+4x+1=2+3x+1-3+4x+1
=3x+1+4x+1-1≥23x+1⋅4x+1-1=43-1，
当且仅当3x+1=4x+1，即x=233-1>0时等号成立，
所以函数y=2+3x+4x+1的最小值为43-1.
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022·辽宁·沈阳市第九中学高一开学考试）设A=a1,a2,a3,B={xx⊆A}，则（）
A．A=BB．A∈BC．∅∈BD．A⊆B
【答案】BC
【分析】根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.
【详解】依题意集合B的元素为集合A的子集，
所以B={∅,{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3}}
所以A∈B，∅∈B，
所以AD错误，BC正确.
故选：BC
10．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是（）
A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C．“a<5”是“a<3”的必要条件
D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
【答案】ABD
【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.
【详解】A：由a=b有ac=bc，当ac=bc不一定有a=b成立，必要性不成立，假命题；
B：若a=1>b=-2时a2C：a<5不一定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，真命题；
D：a+5是无理数则a是无理数，若a是无理数也有a+5是无理数，故为充要条件，假命题.
故选：ABD
11．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一开学考试）下列说法中正确的是（）
A．若a>b，则ac2+1>bc2+1
B．若-2C．若a>b>0，m>0，则maD．若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】AC
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.
【详解】对于A，因c2+1>0，于是有1c2+1>0，而a>b，由不等式性质得ac2+1>bc2+1，A正确；
对于B，因为1对于C，因为a>b>0，所以1a<1b，又因为m>0，所以ma对于D，-1>-2且-2>-3，而(-1)⋅(-2)<(-2)(-3)，即ac>bd不一定成立，D错误.
故选：AC
12．（2022·广东·珠海市第一中学高三阶段练习）（多选）下列说法正确的有（）
A．y=x+1x的最小值为2
B．已知x＞1，则y=2x+4x-1-1的最小值为42+1
C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3
D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为2217
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.
【详解】解：对于A选项，当x=-1时，y=x+1x=0，故A选项错误，
对于B选项，当x＞1时，x﹣1＞0，
则y=2x+4x-1-1=2(x-1)+4x-1+1≥22(x-1)⋅4x-1+1=42+1，
当且仅当x=2+1时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数x、y满足x+2y＝3xy，
则3=x+2yxy=2x+1y，
2x+y=13(2x+y)(2x+1y)=13(5+2xy+2yx)≥13(5+22xy⋅2yx)=3，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项正确，
对于D选项，1=9x2+y2+xy=(9x2+6xy+y2)-5xy=(3x+y)2-53⋅3x⋅y≥(3x+y)2-53·3x+y24
，所以(3x+y)2≤127，可得-2217≤3x+y≤2217，
当且仅当y＝3x时，等号成立，故3x+y的最大值为2217，D选项正确.
故选：BCD.
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·湖南·雅礼中学高一阶段练习）已知集合A={a，b}，a，b∈R，若a+b∈A，则ab=___．
【答案】0
【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解即可.
【详解】∵集合A=a,b，a,b∈R，a+b∈A，∴a+b=a或a+b=b，∴b=0，a≠0或a=0，b≠0，∴ab=0．
故答案为：0.
14．（2022·全国·高一单元测试）已知x>54，则函数y=4x+14x-5的最小值为_______.
【答案】7
【分析】由x>54，得4x-5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.
【详解】法一：∵x>54，∴4x-5>0，
y=4x+14x-5=(4x-5)+14x-5+5≥2+5=7，
当且仅当4x-5=14x-5，即x=32时等号成立，
故答案为：7.
法二：∵x>54，令y'=4-4(4x-5)2=0得x=1或x=32，
当54当x>32时y'>0函数单调递增，
所以当x=32时函数取得最小值为：4×32+14×32-5=7，
故答案为：7.
【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.
15．（2022·上海·高一单元测试）设非空集合Q⊆M，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合M=1,2,3,4,5,6,7，则其偶子集Q的个数为___________.
【答案】63
【分析】对集合Q中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q的个数，综合可得结果.
【详解】集合Q中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：1,3、1,5、1,7、3,5、3,7、5,7，共6种，
若集合Q中只有4个奇数时，则集合Q=1,3,5,7，只有一种情况，
若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；
若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为2,4、2,6、4,6，共3种情况；
若集合Q中只含3个偶数，则集合Q=2,4,6，只有1种情况.
因为Q是M的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合Q中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q的个数为7；
若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；
若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共6×3=18种；
若集合Q中的元素为2个奇数2个偶数，共6×3=18种；
若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6×1=6种；
若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共1×3=3种；
若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共1×3=3种；
若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.
综上所述，满足条件的集合Q的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.
故答案为：63.
16．（2022·全国·高一单元测试）已知命题“存在x∈R，使ax2-x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】a>18
【分析】转化为命题“∀x∈R，使得ax2-x+2>0”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果.
【详解】因为命题“存在x∈R，使ax2-x+2≤0”是假命题，
所以命题“∀x∈R，使得ax2-x+2>0”是真命题，
当a=0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2-x+2>0”是假命题，不合题意；
当a≠0时，得a>0Δ=1-8a<0，解得a>18.
故答案为：a>18
【点睛】关键点点睛：转化为命题“∀x∈R，使得ax2-x+2>0”是真命题求解是解题关键.
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2022·浙江省定海第一中学高一开学考试）已知集合A=xx≤-3或x≥-1，B=x|2m【答案】m≤-2或m≥-1
【分析】因为A∪B=A，所以B⊆A，分别讨论B=ϕ和B≠ϕ两种情况然后求并集.
【详解】解：因为A∪B=A，所以B⊆A，
当B=ϕ时，2m≥m-1，解得：m≥-1；
当B≠ϕ时，2m所以m≤-2或m≥-1.
18．（2021·全国·高一专题练习）（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，最短篱笆的长度为40m；（2）当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，最大面积是81m2.
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm、ym，篱笆的长度为2x+ym.
（1）由题意得出xy=100，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；
（2）由题意得出x+y=18，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm、ym，篱笆的长度为2x+ym.
（1）由已知得xy=100，由x+y2≥xy，可得x+y≥2xy=20，所以2x+y≥40，
当且仅当x=y=10时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m；
（2）由已知得2x+y=36，则x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.
由xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，
当且仅当x=y=9时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
19．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）已知集合A=x|x2-8x+m=0,m∈R,B={x|ax-1=0,a∈R}，且A∪B=A．
（1）若∁AB=3，求m，a的值．
（2）若m=12，求实数a组成的集合．
【答案】（1）m=15，a=15；）（2）0,12,16
【分析】（1）依题意可得3∈A，3∉B，即可求出m，从而求出集合A，则5∈B，即可求出a；
（2）首先求出集合A，依题意可得B⊆A，对集合B分类讨论，即可求出参数的取值；
【详解】解：（1）因为A=x|x2-8x+m=0,m∈R,B={x|ax-1=0,a∈R}，且A∪B=A．∁AB=3，所以3∈A，3∉B，所以32-8×3+m=0解得m=15，所以A=3,5，所以5∈B，所以5a-1=0，解得a=15
（2）若m=12，所以A=2,6，因为A∪B=A，所以B⊆A
当B=∅，则a=0；
当B=2，则a=12；
当B=6，则a=16；
综上可得a∈0,12,16
20．（2022·辽宁·沈阳市第九中学高一开学考试）已知集合A=xx2-ax+b=0,a∈R,b∈R.
(1)若A=1，求a，b的值；
(2)若B=x∈Z-3【答案】(1)a=2b=1
(2)a=-3b=2
【分析】（1）根据题意可得1-a+b=0Δ=0，解方程组即可得出答案；
（2）易得B=-2,-1，再根据A=B，列出方程组，解之即可得解.
（1）解：若A=1，
则有1-a+b=0Δ=a2-4b=0，解得a=2b=1；
（2）
解：B=x∈Z-3因为A=B，
所以4+2a+b=01+a+b=0，解得a=-3b=2.
21．（2022·全国·高一单元测试）（1）已知x>1，求4x+1x-1的最小值．
（2）求关于x的不等式的解集：ax2+(2a-1)x-2<0(a∈R)．
【答案】（1）8 ；（2）a=0时，解集为{x|x>-2}；a>0时，解集为{x|-21a}；-12-2}.
【分析】（1）整理可得4x+1x-1=4(x-1)+1x-1+4，结合基本不等式分析计算；（2）不等式分类讨论问题，结合本题，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．
【详解】解：（1）因为x>1，所以x-1>0，
所以4x+1x-1=4(x-1)+1x-1+4≥24(x-1)⋅1x-1+4=8，
当且仅当4(x-1)=1x-1，即x=32时等号成立，
所以4x+1x-1的最小值为8．
（2）ax2+(2a-1)x-2<0，
当a=0时，不等式为-x-2<0，解集为{x|x>-2}，
a≠0时，不等式分解因式可得(ax-1)(x+2)<0，
当a>0时，故x-1a(x+2)<0，此时解集为{x|-2当a=-12时，-12x-1(x+2)<0，故此时解集为{x∣x≠-2}，
当a<-12时，(ax-1)(x+2)<0可化为x-1a(x+2)>0，又1a>-2，
解集为{x|x<-2或x>1a}．
当-120，
又1a<-2，解集为{x|x<1a或x>-2}．
22．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）（1）已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集为x|-120的解集；
（2）若不等式x2-mx+(m+7)>0在实数集R上恒成立，求m的范围.
【答案】（1）{x|-2【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出p,q的值，然后就可以解不等式了；
（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.
【详解】（1）因为x2+px+q<0的解集为x|-12所以x1=-12与x2=13是方程x2+px+q=0的两个实数根，
由根与系数的关系得13-12=-p,13×-12=q,解得p=16,q=-16.
不等式qx2+px+1>0，
即-16x2+16x+1>0，整理得x2-x-6<0，解得-2即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2（2）由题意可得，Δ<0，即m2-4×1×(m+7)<0，整理得m2-4m-28<0，
解得2-42