专题2.1 函数的概念及其表示（6类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc12963" 【考点1：函数的概念及其构成要素】 PAGEREF _Tc12963 \h 1
\l "_Tc15336" 【考点2：判断两个函数是否为同一函数】 PAGEREF _Tc15336 \h 2
\l "_Tc28721" 【考点3：函数的定义域及其求法】 PAGEREF _Tc28721 \h 3
\l "_Tc31034" 【考点4：函数的值域】 PAGEREF _Tc31034 \h 4
\l "_Tc12090" 【考点5：函数的表示方法】 PAGEREF _Tc12090 \h 5
\l "_Tc12774" 【考点6：分段函数的解析式及图象】 PAGEREF _Tc12774 \h 7
【考点1：函数的概念及其构成要素】
【知识点：函数的概念及其构成要素】
（多选）1．（2021秋•青岛期末）下面选项中，变量y是变量x的函数的是（ ）
A．x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温
B．x表示年份，y表示对应的某地区的GDP（国内生产总值）
C．x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号
D．x表示某人的月收入，y表示对应的个税
2．（2021秋•宿州期中）函数y＝f（x）与y轴的交点个数为（ ）
A．至少1个B．至多一个
C．有且只有一个D．与f（x）有关，不能确定
3．（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．②
（多选）4．（2021秋•南海区校级月考）下列对应关系是集合M＝{﹣2，2，4}到集合N＝{0，2，4，16}的函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x+2C．y＝x2D．y＝|x|
（多选）5．（2021秋•平湖市校级月考）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{﹣1，1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A．y=1xB．y＝xC．y＝x+1D．y＝x2
6．（2021秋•宾县校级月考）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（ ）
A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1|
B．A＝B＝R，f(x)=1x
C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3
D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0
【考点2：判断两个函数是否为同一函数】
【知识点：判断两个函数是否为同一函数】
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一函数，这是判断两函数是否为同一函数的依据．
1．（2021秋•达州期末）下列函数中，与函数y＝|x|相等的是（ ）
A．y=x2B．y=(3x)3C．y=(4x)4D．y=x2x
2．（2021秋•成都期末）下列函数表示同一函数的是（ ）
A．y＝x+1与y=x2x+1B．y＝x3与y＝（x﹣1）3
C．y＝|x|与y=(x)2D．y＝x0与y=1x0
（多选）3．（2021秋•盘龙区月考）下列每组函数不是同一函数的是（ ）
A．f(x)=x-1，g(x)=(x-1)2
B．f(x)=x-1，g(x)=(x-1)2
C．f(x)=x2-4x-2，g(x)=x+2
D．f(x)=|x|，g(x)=x2
4．（2021秋•兰州期末）下列每组函数是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝1，g（x）＝x0
B．f(x)=x2-4x-2，g(x)=x+2
C．f(x)=|x-3|，g(x)=(x-3)2
D．f(x)=(x-1)(x-3)，g(x)=x-1x-3
【考点3：函数的定义域及其求法】
【知识点：函数的定义域及其求法】
①常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
②对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
1．（2022春•疏勒县校级期末）函数y=x-2x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x≥2且x≠0D．x≠0
2．（2022春•铜鼓县校级期末）函数f(x)=-x2+x+6+|x|x-1的定义域为（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）B．[﹣3，1）∪（1，2]
C．[﹣2，1）∪（1，3]D．（﹣2，1）∪（1，3）
3．（2022春•玉林期末）已知函数f（x）的定义域为（3，5），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（1，2）B．（7，11）C．（4，16）D．（3，5）
4．（2022春•商丘期末）已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数g(x)=f(x)3x-1的定义域为（ ）
A．(13，4)B．(13，2)C．(13，6)D．(13，1)
5．（2022春•渭滨区期末）若函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为R，则a的范围是（ ）
A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）
6．（2022春•兴庆区校级期末）若函数y=ax+1ax2-4ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0，12]B．(0，12)C．[0，12)D．[0，12]
【考点4：函数的值域】
【知识点：函数的值域】
求函数值域的常用方法
1．（2021秋•阳春市校级月考）函数f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域为（ ）
A．[﹣6，2]B．[﹣6，1]C．[0，2]D．[0，1]
2．（2022春•兴庆区校级期末）函数f(x)=x+x-2的值域是（ ）
A．[2，+∞）B．[74，+∞)C．[0，+∞）D．（2，+∞）
3．（2022春•定南县校级月考）函数y=2x-x-1的值域为（ ）
A．(-∞，-158]B．(-∞，-158)C．(158，+∞)D．[158，+∞)
4．（2022•3月份模拟）函数f(x)=2x-33x+1的值域（ ）
A．(-∞，13)∪(13，+∞)B．(-∞，32)∪(32，+∞)
C．(-∞，-13)∪(-13，+∞)D．(-∞，23)∪(23，+∞)
5．（2021秋•凉州区期末）函数y=x2+1x(x＞0)的值域为（ ）
A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）
6．（2022春•湖北期中）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（ ）
A．y=x2-2x+1B．y=x+2x+1（x∈（0，+∞））
C．y=2x2+2x+1（x∈N）D．y=1|x+1|
（多选）7．（2021秋•黄梅县校级期末）下列函数中，值域为[1，+∞）的是（ ）
A．f(x)=x2+1B．f(x)=2x+1x+1
C．f(x)=x+1-2x-1D．f（x）＝x3+1
8．（2022•虹口区二模）函数f(x)=x+9x(x＞0)的值域为 ．
9．（2018秋•溧阳市期末）函数f（x）＝x2﹣4x（﹣1≤x≤a）的值域为[﹣4，5]，则实数a的取值范围为
10．（2021秋•黄梅县校级期末）若函数f(x)=12x2-x+a的定义域和值域均为[1，b]（b＞1），则a+b的值为 ．
【考点5：函数的表示方法】
【知识点：求函数解析式的四种方法】
1．已知f（1+1x）=1x-1，则f（x）＝ ．
2．（2021秋•太湖县月考）已知f（x+1）＝2x2+1，则f（x﹣1）＝ ．
3．（2010•郓城县校级一模）如果f[f（x）]＝2x﹣1，则一次函数f（x）＝ ．
4．（2022春•盐城校级期中）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．
【考点6：分段函数的解析式及图象】
【知识点：分段函数的解析式及图象】
①分段函数求值的解题思路：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
②求分段函数自变量的值或范围的方法：求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围.
1．（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f(x)={x+1-x+3(x≤1)(x＞1)，则f[f(52)]的值为（ ）
A．52B．32C．12D．-12
2．（2021秋•广州期中）函数f（x）＝x+|x|x的图像是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020春•祥云县期末）已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（a）＝10，则a的值是（ ）
A．3或﹣3B．﹣3或5C．﹣3D．3或﹣3或5
4．（2021秋•翠屏区校级月考）设f（x）=(x+1)2(x＜1)4-x-1(x≥1)则使得f（m）＝1成立的m值是（ ）
A．10B．0，10C．0，﹣2，10D．1，﹣1，11
5．（2021春•河东区期末）已知f（x）=12x+1，x≤0-(x-1)2，x＞0使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是（ ）
A．[﹣4，2）B．[﹣4，2]C．（0，2]D．（﹣4，2]
6．（2021秋•东莞市校级月考）已知函数f(x)=2x，x＜0-x，0≤x＜212x-3，x≥2．
（1）求f（0），f（f（2））；
（2）若f（m）＝﹣1，求m的值；
（3）在给定的坐标系中，作出函数f（x）的图象．
函数
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
方法
步骤
观察法
第一步 观察函数中的特殊函数；
第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
分离常数法
第一步 观察函数类型，型如；
第二步 对函数变形成形式；
第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.
配方法
第一步 将二次函数配方成；
第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.
换元法
第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
基本不等式法
第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.