专题2.3 幂函数（5类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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\l "_Tc31268" 【考点1：幂函数的解析式或函数值】 PAGEREF _Tc31268 \h 1
\l "_Tc20963" 【考点2：幂函数的定义域、值域】 PAGEREF _Tc20963 \h 3
\l "_Tc28428" 【考点3：幂函数的图象】 PAGEREF _Tc28428 \h 6
\l "_Tc6386" 【考点4：幂函数的单调性】 PAGEREF _Tc6386 \h 9
\l "_Tc13713" 【考点5：幂函数的奇偶性】 PAGEREF _Tc13713 \h 13
【考点1：幂函数的解析式或函数值】
【知识点：幂函数的概念】
形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数．对于幂函数，只讨论α＝1，2，3，eq \f(1,2)，－1时的情形．
1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知f(x)为幂函数， 且f(8)=14， 则f(4)=（ ）
A．12B．1316C．134D．116
【答案】B
【分析】根据幂函数及f(8)=14求其解析式，进而求f(4).
【详解】因为f(x)为幂函数，
设f(x)=xα，则f(8)=14=8α=23α，
所以-2=3α，可得α=-23，则f(4)=4-23=1316.
故选：B
2．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=xα的图象经过点9,13，则f19=（ ）
A．13B．3C．9D．8
【答案】B
【分析】将9,13代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.
【详解】解：由题意知f9=13，所以9α=13，即32α=3-1，
所以α=-12，所以fx=x-12，所以f19=19-12=3.
故选：B
3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知幂函数fx的图象过点2,14，则f7=___________.
【答案】17
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.
【详解】设f(x)=xα，
由fx的图象过点2,14，可得2α=14，解得α=-2
∴fx=x-2，故f7=17.
故答案为：17.
4．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．
【答案】y=x12
【分析】设幂函数y=fx=xa，由幂函数的图象经过点4,2，知4a=2，由此能求出这个幂函数的解析式．
【详解】设幂函数y=fx=xa，
∵幂函数y=f(x)的图象经过点4,2，
∴4a=2，∴a=12，
∴这个幂函数的解析式为y=x12．
故答案为：y=x12．
5．（2021·上海市控江中学高一期中）已知m为常数，函数y=(2m2+m-2)x2m+1为幂函数，则m的值为______;
【答案】-32或1
【分析】根据幂函数的定义可得2m2+m-2=1，解方程即可.
【详解】解：因为函数y=(2m2+m-2)x2m+1为幂函数，则2m2+m-2=1，
即2m2+m-3=0，解得m=-32或m=1.
故答案为：-32或1.
【考点2：幂函数的定义域、值域】
【知识点：幂函数的定义域、值域】
1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数fx的图象过点2,2，则fx的定义域为（ ）
A．RB．0,+∞
C．0,+∞D．-∞,0∪0,+∞
【答案】C
【分析】设fx=xα，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.
【详解】设fx=xα，因为fx的图象过点2,2，
所以2α=2，解得α=12，则fx=x，
故fx的定义域为0+∞．
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为R的是（ ）
A．y=x-1B．y=x-12C．y=x13D．y=x12
【答案】C
【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0
【详解】对选项A，则有：x≠0
对选项B，则有：x>0
对选项C，定义域为：R
对选项D，则有：x≥0
故答案选：C
3．（2021·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．y=x13B．y=x12C．y=x53D．y=x23
【答案】D
【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.
【详解】由y=x13=3x可知，x∈R,y∈R，定义域、值域相同；
由y=x12=x可知x∈[0,+∞)，y∈[0,+∞)，定义域、值域相同；
由y=x53=3x5可知，x∈R,，定义域、值域相同y∈R；
由y=x23=3x2可知，x∈R，y∈[0,+∞)，定义域、值域不相同.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是R的幂函数是（ ）
A．y=x13B．y=13xC．y=x23D．y=23x
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．
【详解】由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D；
对于A：函数y=x13=3x，定义域为R，所以值域为R，满足条件；
对于C：函数y=x23=3x2，定义域为R，在第一象限内单调递增，又x2≥0，所以值域为0，+∞，不满足条件；
故选：A
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=-3xx≥ax2(x0时，y=x2的取值集合为[0,+∞)，f(x)的值域(-∞,-3a]∪[0,+∞)≠R，不符合题意，
当a≤0时，函数y=x2在(-∞,a)上单调递减，其函数值集合为(a2,+∞)，
因函数f(x)的值域为R，则有-3a≥a2，解得-1≤a≤0，
所以实数a的取值范围为[-1,0].
故选：D
6．（2022·江西·金溪一中高二期末（文））已知幂函数fx=3-2m⋅xm2的定义域为0,+∞，则实数m=______．
【答案】1
【分析】由幂函数的定义列出方程，求出m=1或m=2，通过检验定义域可知m=1满足要求.
【详解】由题意得到3-2m=1，解得：m=1或m=2，
当m=1时，fx=x，定义域为0,+∞，符合题意；
当m=2时，fx=x，定义域为R，不符合题意．
故m=1．
故答案为：1
7．（2022·全国·高一课时练习）（1）函数y=x45的定义域是________，值域是________；
（2）函数y=x-25的定义域是________，值域是________；
（3）函数y=x32的定义域是________，值域是________；
（4）函数y=x-34的定义域是________，值域是________．
【答案】 R 0,+∞ -∞,0∪0,+∞ 0,+∞ 0,+∞ 0,+∞ 0,+∞ 0,+∞
【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域
【详解】（1）幂函数y=x45图像如图所示，定义域为R，值域为0,+∞,
（2）幂函数y=x-25图像如图所示，定义域为-∞,0∪0,+∞，值域为0,+∞,
（3）幂函数y=x32图像如图所示，定义域为0,+∞，值域为0,+∞,
（4）幂函数y=x-34图像如图所示，定义域为0,+∞，值域为0,+∞,
故答案为：（1）R;0,+∞,
（2）-∞,0∪0,+∞;0,+∞,
（3）0,+∞;0,+∞,
（4）0,+∞;0,+∞.
【考点3：幂函数的图象】
【知识点：五种幂函数的图象】
幂函数图象的规律
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；
(3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
(4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称．
1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）下列关于幕函数y=xα的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点(0,0),(1,1)
B．当幂指数α=1,3,-1时，幂函数y=xα的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数α=1,3,-1时，幂函数y=xα是增函数
D．若αb>c>aC．d>c>b>aD．b>c>d>a
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】根据幂函数的性质，
在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：b>c>d>a，
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间0,1上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点A1,0，B0,1，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图像三等分，即有BM=MN=NA，那么a-1b=________.
【答案】0
【分析】根据BM=MN=NA，可的点M与N的坐标，进而可得参数值，计算可得解.
【详解】BM=MN=NA，点A1,0，B0,1，
所以M13,23，N23,13，
将两点坐标分别代入y=xa，y=xb，
得a=lg1323，b=lg2313=1lg1323=1a，
∴a-1b=a-a=0，
故答案为：0.
【考点4：幂函数的单调性】
【知识点：幂函数的单调性】
当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；当αa+1，
解得：-1≤a