专题2.4 函数（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·全国·高一课时练习）函数fx=1x-2-x-30的定义域是（ ）
A．2,+∞B．2,+∞C．2,3∪3,+∞D．3,+∞
【答案】C
【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．
【详解】由x-2>0x-3≠0，解得x>2且x≠3．
∴函数f(x)=1x-2-(x-3)0的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．
故选：C．
2．（2022·全国·高一单元测试）现有下列函数：①y=x3；②y=12x；③y=4x2；④y=x5+1；⑤y=x-12；⑥y=x；⑦y=ax(a>1)，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足y=xa形式，故y=x3，y=x满足条件，共2个
故选：B
3．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在区间1,+∞上为增函数的是（ ）
A．y=-3x+1B．y=2x
C．y=x2-4x+5D．y=x-1+2
【答案】D
【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果.
【详解】对于A，y=-3x+1为R上的减函数，A错误；
对于B，y=2x在-∞,0，0,+∞上单调递减，B错误；
对于C，y=x2-4x+5在-∞,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，C错误；
对于D，y=x-1+2=x+1,x≥13-x,x<1，则y=x-1+2在1,+∞上为增函数，D正确.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=m2-2m-2⋅xm-2是幂函数，且在0,+∞上递增，则实数m=（ ）
A．－1B．－1或3C．3D．2
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.
【详解】由题意知：m2-2m-2=1，即m+1m-3=0，解得m=-1或m=3，
∴当m=-1时，m-2=-3，则fx=x-3在0,+∞上单调递减，不合题意;
当m=3时，m-2=1，则fx=x在0,+∞上单调递增，符合题意,
∴m=3,
故选：C
5．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=x2x-1x+a为奇函数，则a=（ ）
A．12B．23C．34D．1
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义可得-x-2x-1-x+a=-x2x-1x+a，整理化简可求得a的值，即得答案.
【详解】由函数fx=x2x-1x+a为奇函数，可得f-x=-fx，
所以-x-2x-1-x+a=-x2x-1x+a，
所以-x2x-1x+a=-x-2x-1-x+a，化简得22a-1⋅x2=0恒成立，
所以2a-1=0，即a=12,
经验证fx=x2x-1x+12=2x4x2-1，定义域关于原点对称，且满足f-x=-fx，故a=12；
故选:A．
6．（2022·广东·东莞市东华高级中学高一阶段练习）若函数fx+1x=x2+1x2，且fm=4，则实数m的值为（ ）
A．6B．6或-6C．-6D．3
【答案】B
【分析】令x+1x=t，配凑可得ft=t2-2，再根据fm=4求解即可
【详解】令x+1x=t（t≥2或t≤-2），x2+1x2=x+1x2-2=t2-2，∴ft=t2-2，fm=m2-2=4，∴m=±6.
故选；B
7．（2022·全国·高三专题练习）若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞，则a的取值范围为（ ）
A．0,4B．4,+∞C．0,4D．4,+∞
【答案】C
【分析】当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据fx的值域包含0,+∞，结合二次函数性质可得结果.
【详解】当a=0时，y=4x+1≥0，即值域为0,+∞，满足题意；
若a≠0，设fx=ax2+4x+1，则需fx的值域包含0,+∞，
∴a>0Δ=16-4a≥0，解得：0综上所述：a的取值范围为0,4.
故选：C.
8．（2022·全国·高一单元测试）已知偶函数fx的定义域为R，当x∈0,+∞时，fx=2-xx+1，则fx-1<1的解集为（ ）
A．12,32B．-∞,12
C．32,+∞D．-∞,12∪32,+∞
【答案】D
【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定fx的单调性，结合f12=1可构造不等式求得结果.
【详解】∵fx=2-xx+1=-x+1+3x+1=-1+3x+1，∴fx在0,+∞上单调递减，又fx为偶函数，
f12=1，fx-1<1，∴f(|x-1|)12，解得：x<12或x>32，
∴fx-1<1的解集为-∞,12∪32,+∞.
故选：D.
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）已知函数f(x),g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则（ ）
A．f(x)⋅|g(x)|是奇函数B．|f(x)|⋅g(x)是奇函数
C．f(x)⋅g(x)是偶函数D．|f(x)⋅g(x)|是偶函数
【答案】AD
【分析】由奇偶性的定义逐一证明即可.
【详解】对于A，F(x)=f(x)⋅|g(x)|，F(-x)=f(-x)⋅|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-F(x)，即f(x)⋅|g(x)|是奇函数，故A正确；
对于B，F(x)=|f(x)|⋅g(x)，F(-x)=|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x)=F(x)，即|f(x)|⋅g(x)是偶函数，故B错误；
对于C，F(x)=f(x)⋅g(x)，F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x)，即f(x)⋅g(x)是奇函数，故C错误；
对于D，F(x)=|f(x)⋅g(x)|，F(-x)=|f(-x)⋅g(-x)|=|-f(x)⋅g(x)|=|f(x)⋅g(x)|=F(x)，即|f(x)⋅g(x)|是偶函数，故D正确；
故选：AD
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性.
10．（2022·全国·高一单元测试）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．fx=x与gx=3x3B．fx=x+1与gx=x2-1x-1
C．fx=xx与gx=1,x>0-1,x<0D．ft=t-1与gx=x-1
【答案】ACD
【分析】根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】对于A，f(x)=x，g(x)=3x3=x，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；
对于B，f(x)=x+1，g(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；
对于C，f(x)=1,x>0-1,x<0，gx=1,x>0-1,x<0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；
对于D，ft=t-1与gx=x-1的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.
故选：ACD
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx是一次函数，满足ffx=9x+8，则fx的解析式可能为（ ）
A．fx=3x+2B．fx=3x-2
C．fx=-3x+4D．fx=-3x-4
【答案】AD
【分析】设fx=kx+b，代入ffx=9x+8列方程组求解即可.
【详解】设fx=kx+b，
由题意可知ffx=kkx+b+b=k2x+kb+b=9x+8，
所以k2=9kb+b=8，解得k=3b=2或k=-3b=-4，
所以fx=3x+2或fx=-3x-4.
故选：AD.
12．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高一期中）函数y=x+2x-1 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （ ）
A．最小值为74B．最大值为4
C．无最大值D．无最小值
【答案】BD
【分析】先对函数分离常数，再判断单调性即可求最值．
【详解】函数y=x+2x-1=1+3x-1在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，
由于x=5取不到，则最小值取不到．
故选：BD
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=2x2+1，x≤0fx-3,x>0，则f4=___________.
【答案】9
【分析】根据函数解析式直接求解即可.
【详解】解：根据题意，f4=f4-3=f1=f1-3=f-2=2×-22+1=9
故答案为：9
14．（2022·浙江省嘉善中学高一阶段练习）若函数y=2x+3x+2的值域是____.
【答案】(－∞，2)∪(2，+∞)
【分析】利用分离常数法去求函数y=2x+3x+2的值域即可
【详解】∵y=2-1x+2， ∴y≠2，∴函数的值域是：(－∞，2)∪(2，+∞).
故答案为：(－∞，2)∪(2，+∞)
15．（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=kx+7kx2+4kx+3的定义域为R，则实数k的取值范围是__________ .
【答案】0,34
【分析】分析可知，对任意的x∈R，kx2+4kx+3≠0恒成立，分k=0、k≠0两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k的取值范围.
【详解】因为函数fx=kx+7kx2+4kx+3的定义域为R，
所以，对任意的x∈R，kx2+4kx+3≠0恒成立.
①当k=0时，则有3≠0，合乎题意；
②当k≠0时，由题意可得Δ=16k2-12k<0，解得0综上所述，实数k的取值范围是0,34.
故答案为：0,34.
16．（2021·江苏·高一单元测试）若fx是奇函数，当1≤x≤4时的解析式是fx=x2-4x+5，则当-4≤x≤-1时，fx的最大值是______．
【答案】-1
【分析】先利用奇函数的定义求出-4≤x≤-1时的解析式，再结合二次函数的性质求解即可
【详解】当-4≤x≤-1时，1≤-x≤4，
∵1≤x≤4时，fx=x2-4x+5，
∴f-x=x2+4x+5，又fx为奇函数，
∴f-x=-fx，
∴fx=-x2-4x-5=-x+22-1，
因为-4≤x≤-1时，fx=-x2-4x-5=-x+22-1，
所以当x=-2时，fx取得最大值-1.
故答案为：-1
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2022·江苏·海安县实验中学高一阶段练习）在①fx+1=fx+2x-1，②fx+1=f1-x，且f0=3，③fx≥2恒成立，且f0=3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数fx的图像经过点（1，2），______.
(1)求fx的解析式；
(2)求fx在-1,+∞上的值域.
【答案】(1)fx=x2-2x+3；(2)2,+∞
【分析】（1）若选条件①，设fx=ax2+bx+ca≠0，用待定系数法求得a,b,c即可；若选条件②,设fx=ax2+bx+ca≠0，根据对称轴是x=1，结合条件列方程求得a,b,c即可；若选条件③，设fx=ax2+bx+ca≠0.，根据条件fxmin=f1=2，列方程求得a,b,c即可.
（2）直接由（1）中解析式，求二次函数在-1,+∞上的值域即可.
（1）选条件①.
设fx=ax2+bx+ca≠0，
则fx+1=ax+12+bx+1+c=ax2+2a+bx+a+b+c.
因为fx+1=fx+2x-1，所以ax2+2a+bx+a+b+c=ax2+bx+c+2x-1，
所以2a=2a+b=-1，解得a=1b=-2.因为函数fx的图像经过点（1，2），
所以f1=a+b+c=1-2+c=2，得c=3.故fx=x2-2x+3.
选条件②.
设fx=ax2+bx+ca≠0，
则函数fx图像的对称轴为直线x=-b2a.
由题意可得-b2a=1f0=c=3f1=a+b+c=2，解得a=1b=-2c=3.故fx=x2-2x+3.
选条件③
设fx=ax2+bx+ca≠0.
因为f0=3，所以c=3.
因为fx≥2=f1恒成立，所以f1=a+b+3=2-b2a=1，解得a=1b=-2，
故fx=x2-2x+3.
（2）由（1）可知fx=x2-2x+3=x-12+2.因为x≥-1，所以x-12≥0，
所以x-12+2≥2.所以fx在-1,+∞上的值域为2,+∞.
18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=x+3+1x+2.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(-23)的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值．
【答案】(1){x|x≥-3且x≠-2}
(2)213+34
(3)a+3+1a+2，a+2+1a+1
【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解；
（2）直接取x=-23代入得答案；
（3）分别取x=a及x=a-1代入求解．
（1）由题意x+3≥0x+2≠0，解得x≥-3且x≠-2,
∴函数fx的定义域为{x|x≥-3且x≠-2}.
（2）f-23=3-23+12-23=213+34.
（3）fa=a+3+1a+2，fa-1=a-1+3+1a-1+2=a+2+1a+1．
19．（2022·辽宁·黑山县黑山中学高三阶段练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时x<0时，f(x)=x2+2x-1
（1）求f(x)解析式
（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）
【答案】（1）f(x)=x2+2x-1,x<00,x=0-x2+2x+1,x>0；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：(-1,0)，(0,1)，单调递减区间为：(-∞,1)，(1,+∞).
【分析】（1）根据奇函数的性质，当x=0时，f(0)=0，当x>0时，f(x)=-f(-x)=-x2+2x+1，即可得解；
（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.
【详解】（1）当x=0时，f(0)=0，
当x>0时，-x<0，f(x)=-f(-x)=-x2+2x+1，
所以f(x)=x2+2x-1,x<00,x=0-x2+2x+1,x>0，
（2）f(x)的图像为：
单调递增区间为：(-1,0)，(0,1)，
单调递减区间为：(-∞,1)，(1,+∞).
20．（2022·全国·高一课时练习）若幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在其定义域上是增函数.
（1）求f(x)的解析式；
（2）若f(2-a)【答案】（1）f(x)=x3；（2）aa>2或a<-3.
【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出m，即可得出解析式；
（2）根据函数单调性，将不等式化为2-a【详解】（1）因为f(x)=(2m2+m-2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m-2=1，解得m=-32或m=1，
又f(x)是增函数，2m+1>0即m>-12，∴m=1，则f(x)=x3；
（2）因为f(x)为增函数，所以由f(2-a)2或a<-3
∴a的取值范围是aa>2或a<-3.
21．（2022·全国·高一单元测试）函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x．
（1）求函数f(x)在x∈(-∞,0)的解析式；
（2）当m>0时，若|f(m)|=1，求实数m的值．
【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）1或1+2.
【分析】（1）根据偶函数的性质，令x∈(-∞,0)，由f(x)=f(-x)即可得解；
（2）m>0，有m2-2m=1，解方程即可得解.
【详解】（1）令x∈(-∞,0)，则-x∈(0,+∞)，
由f(x)=f(-x)，此时f(x)=x2+2x；
（2）由m>0，|f(m)|=m2-2m=1，
所以m2-2m=±1，
解得m=1或m=1+2或m=1-2（舍）.
22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=x+mx，且f1=5．
（1）求m；
（2）判断并证明fx的奇偶性；
（3）判断函数fx在2,+∞，上是单调递增还是单调递减？并证明．
【答案】（1）m=4；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据题意，将x=1代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】（1）根据题意，函数fx=x+mx，且f1=5，
则f1=1+m=5，解得m=4；
（2）由（1）可知fx=x+4x，其定义域为xx≠0，关于原点对称，
又由f-x=-x-4x=-x+4x=-fx，
所以fx是奇函数；
（3）fx在2,+∞上是单调递增函数．
证明如下：
设2因为2所以x1x2>4，x1-x2<0，则fx1-fx2<0，即fx1所以fx在2,+∞上是单调递增函数．