专题4.4 对数运算与对数函数（能力提升卷）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·全国·高一单元测试）已知5a=3，3b=2，则lg510−ab=（ ）
A．1B．2C．5D．4
【答案】A
【分析】先求得a,b，然后结合对数运算求得正确答案.
【详解】∵5a=3，3b=2，∴a=lg53，b=lg32，
lg510−ab=lg510−lg53×lg32= lg510−lg53×lg52lg53=lg510−lg52=lg55=1．
故选：A
2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=lgax−b（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．a>0，b<−1B．a>0，−1C．0【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数fx=lgax−b为减函数，所以0又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=1+b>0，即b>−1
又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以−1故选：D
3．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知4a=8，2m=9n=6，且1m+12n=b，则a+b=（ ）
A．52B．18C．116D．2
【答案】A
【分析】运用对数运算性质及换底公式即可获解.
【详解】4a=8，2m=9n=6，
∴a=lg48=lg8lg4=32，
∴m=lg26，n=lg96，
∴ 1m=lg62，1n=lg69
∴b=lg62+12lg69=1
∴a+b=52
故选：A
4．（2022·全国·高一课时练习）函数y=lga(x2−ax+2)在区间−∞,1上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．(0,1)B．[2，+∞)C．[2，3)D．(1,3)
【答案】C
【分析】先确定a>1，再转化为t=x2−ax+2在区间−∞,1上为减函数，且t>0，即可求得a的取值范围.
【详解】解：若0若a>1，则t=x2−ax+2在区间−∞,1上为减函数，且t>0,
∴a2≥11−a+2>0
∴2≤a<3
即a的取值范围是2,3.
故选：C.
【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题.
5．（2022·全国·高一课时练习）设f(x)=lg2(1x+a+1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y=x对称，则g(x)的值域为（ ）
A．(−∞,−12)∪(12,+∞)B．(−12,12)
C．(−∞,−2)∪(2,+∞)D．(−2,2)
【答案】A
【分析】先求出f(x)的定义域，然后利用奇函数的性质求出a的值，从而得到f(x)的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出g(x)的值域．
【详解】因为f(x)=lg2(1x+a+1)，
所以1x+a+1=1+x+ax+a>0可得x<−a−1或x>−a，
所以f(x)的定义域为{x|x<−a−1或x>−a}，
因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以−a−1=a，解得a=−12，
所以f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(12,+∞)，
因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y=x对称，
所以g(x)与f(x)互为反函数，
故g(x)的值域即为f(x)的定义域(−∞,−12)∪(12,+∞).
故选：A.
6．（2021·福建·上杭县第五中学高三阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg21+SN，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：lg2≈0.3010）
A．20%B．23%C．28%D．50%
【答案】B
【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.
【详解】将信噪比SN从1000提升至5000时，C大约增加了Wlg21+5000−Wlg21+1000Wlg21+1000
=lg25001−lg21001lg21001≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1−lg23≈0.23=23%.
故选：B.
7．（2022·全国·高三专题练习）若a=lg23，b=2lg434，c=2−12，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．a>b>cB．b>a>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】B
【分析】利用对数运算的性质将b=2lg434化简为32，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，即可得答案.
【详解】由题意：b=2lg434=2lg232=32，c=2−12=22，故b>c．
又22<232=22<3，即22<3，所以lg422因为a=lg23=lg43，所以c因为28=256>243=35，故lg23<85<3，即23>3，
所以lg423>lg43，所以32>lg43，
所以b>a，所以b>a>c，
故选：B.
8．（2022·全国·高一课时练习）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 12，+∞单调递增
B．是奇函数，且在 −12，12单调递增
C．是偶函数，且在−∞，−12单调递增
D．是奇函数，且在 −∞，−12单调递增
【答案】B
【分析】先求出fx的定义域结合奇偶函数的定义判断fx的奇偶性，设t＝|2x+12x−1|，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断fx的单调性，即可求出答案.
【详解】解：由2x+1≠02x−1≠0，得x≠±12．
又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝ln|2x+12x−1|，
∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．
可得内层函数t＝|2x+12x−1|的图象如图，
在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增，
又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f（x）在（−12，12）上单调递增，
在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减．
故选：B．
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（ ）
A．1x＋12y＝1zB．3x＞4y＞6zC．x＋y＞(32＋2)zD．xy＞2z2
【答案】ACD
【分析】设3x=4y=6z=t>1，则x=lg3t，y=lg4t，z=lg6t，分别代入选项中，根据对数运算法则化解，判断是否正确即可.
【详解】设3x=4y=6z=t>1，
则x=lg3t，y=lg4t，z=lg6t，
则1x+12y=lgt3+12lgt4=lgt6=1z，故A正确；
由3x=lg313t，4y=lg414t，6z=lg616t，
又313>414>616，t>1，
则3x<4y<6z，故B错误；
x+yz=lg3t+lg4tlg6t=lg36+lg46=lg32+lg33+lg42+lg43
=lg32+1+12lg23+12=32+lg32+12lg23>32+2，
因此x+y>(32+2)z，故C正确；
xyz2=lg3t⋅lg4tlg6t⋅lg6t=lg36⋅lg46=(lg32+lg33)⋅(lg42+lg43)
=12(lg32+1)⋅(lg23+1)=12(2+lg32+lg23)>2，
因此xy>2z2，故D正确；
故选：ACD
10．（2021·江西省新干中学高一期中）已知函数f(x)=lga(x2−6x+5)，则（ ）
A．当a>1时，f(x)的单调递减区间为(−∞,3]
B．当0C．当a>1时，f(x)的值域为R
D．当0【答案】BC
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可判断.
【详解】令x2−6x+5>0，解得x<1或x>5，
故f(x)的定义域为(−∞,1)∪(5,+∞).
因为函数y=x2−6x+5在(−∞,1)上单调递减，在(5,+∞)上单调递增，
由复合函数的单调性可知：
当a>1时，f(x)的单调递减区间为(−∞,1)，f(x)的值域为R；
当0故选：BC．
11．（2022·贵州·凯里一中高二期中）已知函数fx=x+2,x≤0lg2x,x>0，若fx1=fx2=fx3（x1,x2,x3互不相等），则x1+x2+x3的值可以是（ ）
A．−3B．−1C．0D．1
【答案】BC
【分析】根据函数变换的知识作出分段函数fx的图像，结合图像可判断得x1+x2+x3的取值范围，由此可得答案.
【详解】因为y=x+2的图像是由y=x+2的图像保留x轴上方的图像，再把x轴下方的图像沿着x轴往上翻折得到的图像，所以分段函数fx的图象如图，
不妨设x1所以由y=x+2关于x=−2对称可得x1+x2=−4，
又1故x1+x2+x3的值可以是−1,0，
故选：BC.
.
12．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）已知函数f(x)=lg3x，0A．1a>bB．a+2b>22
C．2a+b>3D．a+12+b+12>8
【答案】BCD
【分析】利用函数f(x)=lg3x的图象，得0利用题目条件所得结论，结合函数y=x+2x0利用题目条件所得结论，结合不等式性质，对C进行判断，
利用题目条件所得结论，结合基本不等式求最值，对D进行判断，从而得结论．
【详解】因为0对于A，fa=fb，
即lg3a=lg3b，−lg3a=lg3b,lg3a+lg3b=lg3ab=0,可得ab=1，
即b=1a，所以A不正确；
对于B，因为0因为函数y=x+2x0所以函数y=x+2x0因此a+2a>3，即a+2b>3>22，所以B正确；
对于C，因为03，因此C正确；
对于D，因为0所以a+12+b+12=a2+b2+2a+b+2≥2ab+4ab+2=8,
当且仅当a=b时，等号成立，
而08，所以D正确．
故选：BCD．
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·全国·高一单元测试）已知lga13>1，则实数a的取值范围为______．
【答案】(13,1).
【分析】分01两种情况求解即可.
【详解】解：当01，可得lga13>lgaa，解得13当a>1时，lga13>1，可得lga13>lgaa，得a<13，不满足a>1，故无解.
综上所述a的取值范围为：(13,1).
故答案为：(13,1).
14．（2021·全国·高一课时练习）函数y=lg0.4−x2+3x+4的值域是________.
【答案】−2,+∞
【解析】先求出函数的定义域为−1,4，设fx=−x2+3x+4=−x−322+254，x∈−1,4，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y=lg0.4−x2+3x+4的单调性，从而可求出值域.
【详解】解：由题可知，函数y=lg0.4−x2+3x+4，
则−x2+3x+4>0，解得：−1所以函数的定义域为−1,4，
设fx=−x2+3x+4=−x−322+254，x∈−1,4，
则x∈−1,32时，fx为增函数，x∈32,4时，fx为减函数，
可知当x=32时，fx有最大值为254，
而f−1=f4=0，所以0而对数函数y=lg0.4x在定义域内为减函数，
由复合函数的单调性可知，
函数y=lg0.4−x2+3x+4在区间−1,32上为减函数，在32,4上为增函数，
∴y≥lg0.4254=−2，
∴函数y=lg0.4−x2+3x+4的值域为−2,+∞.
故答案为：−2,+∞.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.
15．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数g(x)为一次函数，若∀m,n∈R，有g(m+n)=g(m)+g(n)−3，当x∈[−2,2]时，函数f(x)=lg2(2x+4x2+1)+g(x)的最大值与最小值之和是_____________．
【答案】6
【分析】设gx=kx+bk≠0，根据已知条件求得b的值，求得fx表达式，构造函数Fx=lg22x+4x2+1+kxx∈−2,2，判断Fx的奇偶性，由此求得fx的最大值与最小值之和.
【详解】设gx=kx+bk≠0，依题意km+n+b=km+b+kn+b−3，所以b=3，
gx=kx+3.
fx=lg22x+4x2+1+kx+3，
构造函数Fx=lg22x+4x2+1+kxx∈−2,2，
F−x=lg24x2+1−2x−kx=lg24x2+1−2x4x2+1+2x4x2+1+2x−kx
=lg24x2+1+2x−1−kx=−lg24x2+1+2x−kx=−Fx，
所以Fx为奇函数，图象关于原点对称，在区间−2,2上的最大值和最小值的和为0.
所以fx=lg22x+4x2+1+kx+3在区间−2,2上的最大值和最小值的和为6.
故答案为：6
16．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））设函数f(x)=2x+1,x≤0lgx,x>0，若关于x的方程f2x−afx+2=0恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．
【答案】22,3
【分析】作出函数f(x)的图象，令f(x)=t，结合图象可得，方程t2−at+2=0在1,2内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；
【详解】作出函数f(x)=2x+1,x≤0lgx,x>0的大致图象，
令fx=t，因为f2x−afx+2=0恰有6个不同的实数解，
所以gt=t2−at+2=0在区间1,2上有2个不同的实数解，
∴ Δ=a2−8>010g2=6−2a≥0，
解得22∴实数a的取值范围为22,3．
故答案为：22,3．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021·江苏·高一单元测试）已知a，b，c均为正数，且3a=4b=6c，求证：2a+1b=2c；
【答案】证明见解析
【分析】设3a=4b=6c=k，则k>1，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证.
【详解】设3a=4b=6c=k，则k>1.
∴a=lg3k, b=lg4k, c=lg6k，
∴2a+1b=2lg3k+1lg4k=2lgk3+lgk4=lgk9+lgk4=lgk36=2lgk6，
而2c=2lg6k=2lgk6，
∴2a+1b=2c，得证.
18．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合A=lg52 ,lg425,2，集合B=lg25,lg319．记集合A中最小元素为a，集合B中最大元素为b．
(1)求A∩B及a，b的值；
(2)证明：函数fx=x+1x在2,+∞上单调递增；并用上述结论比较a+b与52的大小．
【答案】(1)A∩B=lg25，a=lg52，b=lg25；(2)证明见解析，a+b>52
【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；
（2）根据单调性的定义即可证明函数fx=x+1x在2,+∞上单调递增，再根据单调性以及对数的性质lgab=1lgba即可比较出大小．
（1）因为lg425=lg25，所以A=lg52 ,lg25,2，B=lg25,−2，即A∩B=lg25．因为lg52（2）设x1,x2为2,+∞上任意两个实数，且2≤x11，
fx1−fx2=x1+1x1−x2+1x2=x1−x2+1x1−1x2=x1−x2×x1x2−1x1x2<0，即fx1所以fx>f2=52，所以lg52+lg25=1lg25+lg25=flg25>52．
19．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=lg(x+8)−lg(−x+8)．
（1）求f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式f(x)>1的解集．
【答案】（1）(−8,8)；（2）奇函数；证明见解析；（3）(7211,8)．
【分析】（1）利用对数的性质可得{x+8>08−x>0，解不等式即可得函数的定义域.
（2）根据奇偶性的定义证明f(x)的奇偶性即可.
（3）由f(x)的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）要使f(x)有意义，则{x+8>08−x>0，解得：−8∴f(x)的定义域为(−8,8).
（2）f(x)为奇函数，证明如下：
由（1）知： x∈(−8,8)且f(−x)=lg(8−x)−lg(x+8)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，得证．
（3）∵f(x)=lgx+88−x=lg(168−x−1)在(−8,8)内是增函数，由f(x)>1，
∴8+x8−x>10，解得x>7211，
∴不等式f(x)>1的解集是(7211,8).
20．（2017·广东湛江·高一期末）已知f(x)=lga1+x1−x(a>0,且a≠1)．
（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；
（Ⅱ）证明函数f(x)为奇函数；
（Ⅲ）求使f(x)＞0成立的x的取值范围．
【答案】（Ⅰ）(−1,1)； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当00的x的取值范围为（－1，0）；当a＞1时，使f(x)>0的x的取值范围为（0，1）．
【详解】试题分析：（1）有对数的性质，可得1+x1−x>0，即可求得函数的定义域；
（2）由（1）可知函数的定义域关于原点对称，化简的f(−x)=−f(x)，即可证得函数为奇函数；
（3）由f(x)>0，根据对数函数的性质，可分a>1和0试题解析：（Ⅰ）解：∵1+x1−x>0，∴ x+1x−1<0,即(x+1)(x−1)<0. 解得−1∴函数f(x)的定义域为(−1,1).
（Ⅱ）证明：∵f(x)=lga1+x1−x，且定义域为（－1，1）关于原点对称
∴ f(−x)=lga1−x1+x=lga(1+x1−x)−1=−lga1+x1−x=−f(x)．
∴ 函数f(x)为奇函数．
（Ⅲ）解：当a>1时， 由f(x)＞0，得1+x1−x>1，则1+xx−1+1<0,2xx−1<0，
∴2x(x−1)<0，∴0当00,则0<1+x1−x<1．即{1+x1−x>01+x1−x<1，解得{−11，
∴−1综上可知，当00的x的取值范围为（－1，0）；
当a＞1时，使f(x)>0的x的取值范围为（0，1）．
点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质，其中解答涉及到对数函数的定义域与值域、函数的奇偶性的判定与证明、对数函数的单调性等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记对数函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键.
21．（2022·浙江·宁波中学高一期中）已知函数f(x)=lg2(x+1)，g(x)=lg2(1−x)．
(1)求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的定义域；
(2)若不等式ℎ(x)>lg2m(1−x)x在13,12上恒成立，求实数m取值范围．
【答案】(1)−1,1；(2)0【分析】（1）利用对数的函数的性质可求得函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的定义域；
（2）利用对数的函数的性质去掉对数符号，转化为含参不等式恒成立问题，参变分离后求最值可得答案．
【详解】（1）解：ℎ(x)=lg2(x+1)−lg2(1−x)=lg2x+11−x，
函数定义域满足x+1>01−x>0，解得−1∴函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的定义域为−1,1；
（2）解：ℎ(x)=lg2x+11−x，所以ℎ(x)>lg2m(1−x)x，即lg2x+11−x>lg2m(1−x)x
因为函数y=lg2x在0,+∞上单调递增
所以x+11−x>m(1−x)x在13,12上恒成立，又(1−x)x>0，所以0又函数y=x2+x=x+122−14在13,12上单调递增，所以x2+xmin=49
则022．（2021·全国·高一专题练习）设函数fx=lg39x⋅lg33x，且19≤x≤9．
（1）求f（3）的值；
（2）若令t=lg3x，求实数t的取值范围；
（3）将y=fx表示成以tt=lg3x为自变量的函数，并由此求函数y=fx的最大值与最小值及与之对应的x的值．
【答案】（1）6；（2）−2，2；（3）f(x)min=−14，此时x=−39；f(x)max=12，此时x=9．
【分析】（1）根据题目函数的解析式，代入x=3计算函数值；
（2）因为t=lg3x，根据对数函数的单调性求出实数t的取值范围；
（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x的值.
【详解】（1）f（3）=lg327⋅lg39=3×2=6；
（2）t=lg3x，又∵19≤x≤9，∴−2≤lg3x≤2，∴−2≤t≤2，所以t的取值范围为−2，2；
（3）由fx=lg3x+2lg3x+1=(lg3x)2+2lg3x+2=t2+3t+2，
令gt=t2+3t+2=(t+32)2−14，t∈−2，2，
①当t=−32时，g(t)min=−14，即lg3x=−32，解得x=39，
所以
f(x)min=−14，此时x=−39；
②当t=2时，g(t)max=g（2）=12，即lg3x=2⇒x=9，
∴f(x)max=12，此时x=9．
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．