专题5.1 函数的应用（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

这是一份专题5.1 函数的应用（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册），文件包含专题51函数的应用基础巩固卷北师大版必修第一册原卷版docx、专题51函数的应用基础巩固卷北师大版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2023·全国·高三专题练习）函数fx=lg3x−1−2的零点为（ ）
A．10B．9C．（10，0）D．（9，0）
【答案】A
【分析】令fx=0，解对数方程，求出x＝10.
【详解】令fx=lg3x−1−2=0，即lg3x−1=2=lg332，所以x−1=32，因此x＝10，所以函数fx=lg3x−1−2的零点为10，
故选：A.
2．（2021·全国·高一专题练习）在下列区间中，方程ex+4x−3=0的解所在的区间为（ ）
A．−14,0B．14,12C．0,14D．12,34
【答案】B
【解析】设函数f(x)=ex+4x−3，结合导函数判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间.
【详解】设函数f(x)=ex+4x−3,f'(x)=ex+4>0，
所以f(x)是增函数，
f(12)=e−1>0，f(14)=e14−2=e14−1614<0，
方程ex+4x−3=0的解所在的区间为(14,12).
故选：B
3．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件B．80件C．100件D．120件
【答案】B
【解析】确定生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+x·x8=800+18x2
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)=800+18x2x=800x+x8 （x为正整数）
由基本不等式，得800x+x8⩾2800x·x8=20
当且仅当800x=x8，即x=80时，f(x)取得最小值，
∴x=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B
【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．
4．（2023·全国·高三专题练习）在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.
【详解】根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图像上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x上方，
结合选项只有A选项能够较好的达到目的，
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是（参考数据：lg2≈0.3，lg3.8≈0.6）（ ）
A．40B．41C．42D．43
【答案】C
【分析】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），则由题意可得y=0.1×2n，然后解不等式y=0.1×2n≥38×104×106可求得结果.
【详解】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），
由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，则y=0.1×2n.
令y=0.1×2n≥38×104×106，即2n≥3.8×1012，
所以lg2n≥lg3.8+12，即n≥，
所以至少对折的次数n是42.
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=at，关于下列说法不正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过80m2
D．若浮萍蔓延到2m2,4m2,8m2所经过的时间分别是t1，t2、t3，则2t2=t1+t3
【答案】B
【分析】先利用特殊点求出函数解析式为y=3t，再利用指数函数的性质即可判断出正误．
【详解】解：图象可知，函数过点(1,3)，
∴a=3，
∴函数解析式为y=3t，
∴浮萍每月的增长率为3t+1−3t3t=2×3t3t=2，故选项A正确，
∵函数y=3t是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当t=4时，y=34=81>80，故选项C正确，
对于D选项，∵ 3t1=2,3t2=4,3t3=8，∴t1=lg32，t2=lg34，t3=lg38，
又∵2lg34=lg316=lg32+lg38，∴2t2=t1+t3，故选项D正确，
故选：B．
7．（2022·广东·广州市南武中学高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn=nlg(1+p)+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
(参考数据：100.2≈1.585，10−0.2≈0.631)
A．0.369B．0.415C．0.585D．0.631
【答案】C
【分析】由题意Xn=100X0，代入，解方程即可.
【详解】由题意知，lg(100X0)=10lg(1+p)+lgX0，
即2+lgX0=10lg(1+p)+lgX0，
所以1+p=100.2≈1.585，解得p≈0.585.
故选：C.
8．（2022·江苏·仪征市精诚高级中学高一期中）某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)（元）满足关系f(x)={C,0A.已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：
若五月份该家庭使用了22m3的煤气，则其煤气费为（ ）A．12.5元B．12元C．11.5元D．11元
【答案】A
【分析】根据表格数据列方程组解出未知数，即可求得f(22)=12.5.
【详解】根据表格可得：C=4，
根据三月和四月的数据可得：{4+B(25−A)=144+B(35−A)=19，解得：A=5,B=0.5
所以f(x)={4,05，f(22)=12.5.
故选：A
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022·全国·高一）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A．甲、乙都亏损B．甲盈利，乙亏损C．甲亏损，乙盈利D．甲、乙亏损的一样多
【答案】AD
【分析】设投资总额为a元，分别求出甲、乙经历一次涨停与一次跌停后的资金数，即可判断；
【详解】解：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：a1+10%(1−10%)=0.99a元，
乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：a(1−10%)1+10%=0.99a元，
故选：AD.
10．（2022·全国·高一课时练习）某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．2.5元B．3元
C．3.2元D．3.5元
【答案】BC
【分析】设每册杂志定价为x (x>2)元，根据题意由10−x−20.2×0.5x ≥22.4，解得x的范围，可得答案.
【详解】依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为x (x>2)元，则发行量为10−x−20.2×0.5万册，
则该杂志销售收入为10−x−20.2×0.5x万元，
所以10−x−20.2×0.5x ≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，
故选：BC
【点睛】关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x>2)元时的发行量是解题关键.
11．（2021·全国·高一课时练习）用二分法求函数fx=2x+3x−2在区间0,2上的零点近似值取区间中点1，则（ ）
A．下一个存在零点的区间为0,1B．下一个存在零点的区间为1,2
C．要达到精确度1的要求，应该接着计算f12D．要达到精确度1的要求，应该接着计算f32
【答案】AC
【分析】根据二分法求零点的步骤，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】因为f0=20+0−2=−1<0，f2=22+6−2>0，f1=21+3−2>0，
所以f0f1<0，所以下一个存在零点的区间为0,1，故A正确，B错误；
要达到精确度1的要求，应该接着计算f12，故C正确，D错误.
故选：AC．
12．（2022·全国·高一单元测试）函数fx=x−2x−5−1有两个零点x1,x2，且x1A．x1<2且25C．25D．x1+x2=7
【答案】AC
【分析】函数y=fx的零点就是函数gx=x−2x−5的图象与直线y=1交点的横坐标，利用数形结合的方法求解即可．
【详解】令gx=x−2x−5，则fx=gx−1，
∴函数y=fx的零点就是函数gx=x−2x−5的图象与直线y=1交点的横坐标．
在同一平面直角坐标系中作出函数gx=x−2x−5的图象与直线y=1，
如图所示，数形结合可得x1<2且x2>5.
所以A，C错误；B正确；
又gx=x−2x−5的对称轴为x=3.5，所以x1+x2=7，故D正确．
故选：AC．
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021·全国·高一单元测试）一种药在病人血液中的量保持在2000mg以上时才有疗效，而低于1280mg时病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟必须在注射后______小时前向病人的血液补充这种药.
【答案】3
【分析】设注射后n小时前向病人的血液补充这种药，由题设可得关于n的不等式，从而可求n的范围，故可得正确的答案.
【详解】设注射后n小时前向病人的血液补充这种药，则2500×1−0.2n≥1280，故n≤3.
故答案为：3.
14．（2023·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精确到0.1h）
【答案】6.6
【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.
【详解】设xh后血液中的药物量为ymg，
则有y=20001−1000x，
令y≥1000得：x≤lg21−2lg3≈0.30101−2×0.4771≈6.6
故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
故答案为：6.6
15．（2022·全国·高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩nn∈N∗,16【答案】58
【分析】设红豆有x粒，白豆有y粒，由两轮的结果可构造方程组，根据n的范围可计算求得x,y，加和即可得到结果.
【详解】设红豆有x粒，白豆有y粒，
由第一轮结果可知：x4=y−102，整理可得：x=2y−20；
由第二轮结果可知：y2=x−n，整理可得：y=2x−2n；
当n=17时，由x=2y−20y=2x−34得：x=883y=743（舍）；
当n=18时，由x=2y−20y=2x−36得：x=923y=763（舍）；
当n=19时，由x=2y−20y=2x−38得：x=32y=26，∴x+y=32+26=58，
即红豆和白豆共有58粒.
故答案为：58.
16．（2022·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
【答案】188
【分析】根据题意列出不等式计算即可.
【详解】设经过x个周期后细菌含量超标，
即3000×2x>2000000，即2x>20003，
所以x>lg220003=lg2000−lg3lg2=lg2+3−lg3lg2≈9.4，
而20×9.4=188，因此经过188分钟就不宜再饮用．
故答案为：188.
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021·广西柳州·高一阶段练习）一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的75%，大约经过多少年，该物质的剩留量是原来的13？
（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
【答案】4
【分析】设这种放射性物质的最初质量为1，经过x年后，剩留量为y，则有y=0.75x，然后根据题意可列方程进行求解即可
【详解】设这种放射性物质的最初质量为1，经过x年后，剩留量为y，则有y=0.75x，
由题意得0.75x=13，
即x=lg13lg0.75=−lg3lg3−lg4=lg32lg2−lg3≈0.482×0.30−0.48=4，
所以大约经过4年，该物质的剩留量是原来的13
18．（2022·全国·高一专题练习）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
【答案】矩形的长、宽都为8m时，菜园的最大面积为64m2.
【分析】根据给定信息，设出矩形的长xm、宽ym，再建立x与y的关系，借助均值不等式求解作答.
【详解】设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=32，即x+y=16，矩形菜园的面积为xym2，
而x>0,y>0，由xy≤x+y2=162=8，可得xy≤64，当且仅当x=y=8时取“=”，
所以，这个矩形的长、宽都为8m时，菜园的面积最大，最大面积为64m2.
19．（2021·浙江·高一单元测试）某疫苗公司生产某种型号的疫苗，2016年平均每箱疫苗的成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价.2017年开始，公司更新设备､加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低2020年平均每箱疫苗出厂价仅是2016年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.
（1）求2020年的每箱疫苗成本；
（2）以2016年的生产成本为基数，求2016年至2020年生产成本平均每年降低的百分率(精确到0.01).(参考数据：2=1.414，5=2.236，lg2=0.301，lg3=0.477).
【答案】（1）3200元；（2）11%.
【解析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意设出2016年至2020年生产成本平均每年降低的百分率，列出式子即可求解.
【详解】解：（1）5000×(1+20%)×80%÷(1+50%)=3200元；
（2）设2016年至2020年生产成本平均每年降低的百分率为x，
50000×(1−x)4=3200，
x=1−4320050000=1−25≈11%.
20．（2022·河南·杞县第二高级中学高一阶段练习）2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本g(x)（万元）与年产品产量x（万件）的关系为g(x)={12x2+6x,0(1)求年利润f(x)（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)求当年产量x为多少万件时年利润f(x)最大？最大值是多少？
【答案】(1)f(x)={6x−12x2−6,0(2)x=16万件时最大利润为18万元.
【分析】（1）由题意f(x)=12x−g(x)−6，结合已知函数g(x)写出f(x)解析式；
（2）根据二次函数、对勾函数分别求出0（1）由题设，f(x)=12x−g(x)−6，
所以f(x)={6x−12x2−6,0（2）当0故x=6时最大利润为12万元；
当x≥8时y=50−x−256x≤50−2x⋅256x=18，
当且仅当x=16时等号成立，此时最大利润为18万元；
综上，当x=16万件时最大利润为18万元.
21．（2022·四川·遂宁中学高一期中）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎx万元，当产量小于或等于50万盒时ℎx=180x+100；当产量大于50万盒时ℎx=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【答案】(1)y=20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N
(2)70万盒
【分析】（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，
当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，
故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为
y=20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N
（2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；
当x>50时，y=−x2+140x−3700，
当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．
因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
22．（2022·全国·高三专题练习）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数fx，假定函数fx=2ax+b，a,b为实数，fx的定义域为0,+∞，值域为0,1.
(1)求a,b的值；
(2)现有tt>0单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.
【答案】(1)a=−1，b=0
(2)两种方案残留农药量一样多，理由见解析
【分析】（1）由fx=2ax+b单调递减可得a<0，结合f0=1f1=12可求得a,b；
（2）分别计算出两种方案清洗后的残留农药量，对比可得结果.
(1)由题意知：fx=2ax+b单调递减，∴y=ax+b单调递减，即a<0；
又f0=2b=1f1=2a+b=12，解得：a=−1b=0；
(2)由（1）知：设未清洗前的农药量为1，
第一种方案：tt>0单位量的水清洗1次，残留农药量为fx=2−t，
第二种方案：把水平均分成2份后清洗2次，则第1次残留农药量为ft2=2−t2，第2次残留农药量为f2t2=2−t2⋅2−t2=2−t，
综上所述：两种方案残留农药量一样多.月份
一月份
二月份
三月份
四月份
用气量/m3
4
5
25
35
煤气费/元
4
4
14
19