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专题6.4 统计（能力提升卷）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）
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这是一份专题6.4 统计（能力提升卷）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册），文件包含专题64统计能力提升卷北师大版必修第一册原卷版docx、专题64统计能力提升卷北师大版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021·天津·统考高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：66,70、70,74、⋯、94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82,86内的影视作品数量是（ ）
A．20B．40C．64D．80
【答案】D
【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间82,86内的影视作品数量.
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间82,86内的影视作品数量为400×0.05×4=80.
故选：D.
2．（2022·高一课时练习）已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为x，方差为s2，则（ ）
A．x=5，s2=2B．x=5，s2=1.6
C．x=4.9，s2=1.6D．x=5.1，s2=2
【答案】B
【分析】设这10个数据分别为：x1,x2,⋯,x7,x8=4,x9=5,x10=6，进而根据题意求出x1+x2+⋯+x7和x1−52+x2−52+⋯+x7−52，进而再根据平均数和方差的定义求得答案.
【详解】设这10个数据分别为：x1,x2,⋯,x7,x8=4,x9=5,x10=6，根据题意x1+x2+⋯+x77=5⇒x1+x2+⋯+x7=35，x1−52+x2−52+⋯+x7−527=2⇒x1−52+x2−52+⋯+x7−52=14，
所以x=x1+x2+⋯+x1010=35+4+5+610=5，s2=x1−52+x2−52+⋯+x10−5210=14+4−52+5−52+⋯+6−5210=1.6.
故选：B.
3．（2022·高一课时练习）2022年国务院《政府工作报告》中指出，有序推进碳达峰碳中和工作，落实碳达峰行动方案.汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，某检测单位对甲､乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下（单位：g/km），则甲､乙两品牌汽车CO2的排放量稳定性更好的是（ ）
A．甲B．乙C．甲､乙相同D．无法确定
【答案】B
【分析】分别计算甲类、乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值和方差即可求出答案.
【详解】甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值x甲=80+110+120+140+1505=120(g/km)，
甲类品牌汽车的CO2，排放量的方差
s甲2=15×[(80−120)2+(110−120)2+(120−120)2+(140−120)2+(150−120)2]=600.乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x乙=100+120+100+120+1605=120(g/km)，
乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s乙2=15×[(100−120)2+(120−120)2+(100−120)2+
(120−120)2+(160−120)2]=480，所以s乙2故选：B.
4．（2022·高一单元测试）数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是（ ）
A．[4.5,+∞)B．[4.5,6.6)
C．(4.5,+∞)D．(4.5,6.6]
【答案】A
【分析】根据p%分位数的定义判断求解.
【详解】因为65%×8=5.2，第65百分位数是4.5，故这组数据的第65百分位数是第六个数，所以x的取值范围是[4.5,+∞)，
故选：A.
5．（2022·高一课时练习）2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）
A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.
C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.
【答案】A
【分析】根据雷达图，对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即A错误；
甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即B正确；
甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即C正确；
对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确.
故选：A.
【点睛】本题考查统计知识，涉及到雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道容易题.
6．（2022春·天津东丽·高一统考期末）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.004
B．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10
C．估计全校学生的平均成绩不低于80分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
【答案】C
【分析】由概率总和为1可得x，由百分位数定义计算80%分位数，由频率分布直方图的频率计算人数，均值判断各选项．
【详解】由(0.005+0.01+0.015+x+0.04)×10=1得x=0.03，A错；
成绩在区间[60，70）的频率为0.01×10=0.1，人数为200×0.1=20，B错；
平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=85，C正确；
低于90分的频率为1−0.4=0.6，设样本数据的80%分位数约为n分，
则n−90100−90=0.20.4，解得n=95，D错．
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：
则下列结论中不正确的是（ ）
A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上
C．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙
【答案】B
【分析】对于A：直接求出中位数；
对于B：求出乙的星期三和星期四步数，计算可得；
对于C：分别计算出甲、乙平均数，即可判断；
对于D：分别计算出甲、乙方差，即可判断；
【详解】对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位数是11600.故A正确；
对于B：乙的星期三步数7030，星期四步数12970.因为129707030≈1.84<2，所以没有增加1倍上.故B不正确；
对于C：x甲=1716000+7965+12700+2435+16800+9500+11600=11000，x乙=1714200+12300+7030+12970+5340+11600+10060=10500.
所以x甲>x乙.故C正确；
对于D：s甲2=1716000−110002+7965−110002+12700−110002+2435−110002+16800−110002+9500−110002+11600−110002≈20958636 s乙2=1714200−105002+12300−105002+7030−105002+12970−105002+5340−105002+11600−105002+10060−105002≈9014429所以s甲2>s乙2.故D正确；
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数x<4；
②平均数x<4且极差小于或等于3；
③平均数x<4且标准差s≤4；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.
【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数x=3<4．但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为10−3=7，此时数据的平均数必然大于7，
与x<4矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1，1，1，1，11，平均数x=3<4，且标准差s=4.但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.
故选：B．
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考开学考试）某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数多于男生人数B．样本中B层人数最多
C．样本中E层次男生人数为6人D．样本中D层次男生人数多于女生人数
【答案】ABC
【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】样本中女生人数为：9+24+15+9+3=60，男生数为100−60=40，A正确；
样本中A层人数为：9+40×10%=13；样本中B层人数为：24+40×30%=36；
样本中C层人数为：15+40×25%=25；样本中D层人数为：9+40×20%=17；
样本中E层人数为：3+40×15%=9；故B正确；
样本中E层次男生人数为：40×15%=6，C正确；
样本中D层次男生人数为：40×20%=8，女生人数为9，D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10．（2022·全国·高三专题练习）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生50名和女生30名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数x与总样本方差s2分别是（ ）
A．x=168B．x=169
C．s2=225D．s2=37.5
【答案】BD
【分析】由数据分别求出男生女生的样本容量，进而求出总样本的平均数，再利用样本方差公式s2=1ni=1n1yi−x2+i=1n2zi−x2，即可得到答案
【详解】设总样本量为n，由题意得男生样本量为n1=58n，女生样本量为n2=38n，假设男生的样本数据为yii=1,2,⋯,n1，女生的样本数据为zii=1,2,⋯,n2，
则总样本平均数x=1ni=1n1yi+i=1n2zi=1nn1y+n2z =58×172+38×164=169，
总样本方差s2=1ni=1n1yi−x2+i=1n2zi−x2，
∵i=1n1yi−x2=i=1n1yi−y+y−x2 =i=1n1yi−y2+2y−xi=1n1yi−y+i=1n1y−x2 =i=1n1yi−y2+n1y−x2=n1s12+y−x2，
同理i=1n2zi−x2=n2s22+z−x2，
∴总样本方差s2=1ni=1n1yi−x2+i=1n2zi−x2 =n1ns12+y−x2+n2ns22+z−x2 =58×(18+9)+38×(30+25)=37.5，
故选：BD
11．（2022·全国·高一专题练习）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．样本的众数为6712B．样本的80%分位数为7212
C．样本的平均值为66D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用频率分布直方图计算众数，判断A，求出样本的80%分位数，判断B;求出平均值，判断C;再计算出该校男生中低于60公斤的学生人数，判断D．
【详解】对于A，样本的众数为65+702=6712，故A正确;
对于B，由频率分布直方图可知样本的80%分位数为70+0.10.2×5=72.5 ，故B正确，
对于C，由直方图估计样本平均值为：
57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75，故C错误，
对于D，2000名男生中体重低于60kg的人数大约为2000×5×0.03=300，故D正确，
故选：ABD．
12．（2022·高一单元测试）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）
A．平均数x≤3
B．平均数x≤3且标准差s≤2
C．平均数x≤3且极差小于或等于2
D．众数等于1且极差小于或等于4
【答案】CD
【解析】通过举反例说明命题不符合条件，或通过平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项．
【详解】解：A错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数x=2⩽3，不符合指标.
B错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数x=3，且标准差s=187⩽2，不符合指标C对，若极差等于0或1，在x≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且x≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指标D对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.
故选：CD.
【点睛】本题考查了数据的几个特征量，它们只表示数据的一个方面，一个或两个量不能说明这组数据的具体情况．
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2023秋·上海徐汇·高二上海中学校考期末）已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为__________万元.
【答案】6.51
【分析】将表格中各区间家庭收入的中间值乘以频率，然后加总即可.
【详解】由表格数据知：家庭的平均年收入(4.5+5.5+6.5)×0.2+7.5×0.26+(8.5+9.5)×0.07=6.51万元.
故答案为：6.51.
14．（2022·高一单元测试）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足y=15x−x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为______克．
【答案】39
【分析】利用标准差和均值的公式完成计算.
【详解】设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为xi克，香囊功效分别为yi，i=1,2,⋯,6.
草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即x1+x2+⋅⋅⋅+x6=36，y1+y2+⋅⋅⋅+y6=15x1+x2+⋅⋅⋅+x6−x12+x22+⋅⋅⋅+x62=90，
则x12+x22+⋅⋅⋅+x62=450，则这6个香囊中草药甲含量的方差
s2=16x1−62+x2−62+⋅⋅⋅+x6−62 =16x12+x22+⋅⋅⋅+x62−12x1+x2+⋅⋅⋅+x6+6×36
=16450−12×36+6×36=39，
所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为39克．
故答案为：39.
15．（2022·高二单元测试）2022年3月，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得上海学生不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）．已知学习时长在9,13的学生人数为72，则n的值为______．
【答案】120
【分析】由频率分布直方图的性质，列出方程，求出x，再由学习时长在9,13的频率，再根据频率、频数、总数之间的关系计算可得．
【详解】解：由频率分布直方图的性质，得2×(0.05+0.15+x+0.05)=1，
解得x=0.25，
∴学习时长在9,13的频率为0.25+0.05×2=0.6，
所以n=72÷0.6=120．
故答案为：120．
16．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
【答案】①③
【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．
【详解】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22、22、24、25、26，其连续5天的日平均气温均不低于22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19、20、27、27、27，可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22，如22、25、25、26、32，这组数据的平均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2023·上海·高三专题练习）某校对学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考虑该次竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为1:3:6:4:2，第五组的频数为12.
(1)该样本的容量是多少？
(2)成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率；
(3)该样本的第75百分位数在第几组中？
【答案】(1)96；
(2)第三组，38；
(3)第四组.
【分析】（1）根据给定条件，求出第五小组的频率即可计算作答.
（2）确定频率分布直方图中面积最大的小矩形，再求出频率作答.
（3）求出各小组频数，由第75百分位数的意义求解作答.
【详解】（1）在频率分布直方图中，各小组的小长方形的高的比为1:3:6:4:2，则第五组的频率为216，而第五组的频数为12，
所以样本的容量n=12216=96.
（2）由频率分布直方图知，[70.5,80.5)分段内的人数最多，该小组为第三组，该小组的频率为616=38.
（3）第一、二、三、四、五组的频数分别为6，18，36，24，12，该样本的第75百分位数位于第72名，72名位于第四组.
18．（2022·高一单元测试）“水是生命之源”，但是据科学界统计，可用淡水资源仅占地球储水总量的2.8%，全世界近80%人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：t）：一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过随机抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：t），将数据按照0,0.5，0.5,1，⋯，4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数，并说明理由；
(2)若该市政府希望使82%的居民每月的用水不按议价收费，估计x的值，并说明理由．
【答案】(1)估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数为16.2（万），理由见解析
(2)估计x的值为2.8，理由见解析
【分析】（1）先根据频率分布直方图求出月均用水量不低于2.5 t人数所占百分比，再乘以全市居民人数即可；
（2）先通过88%的居民月均用水量小于3 t得到2.5（1）
由题图可知，不低于2.5 t人数所占百分比为0.5×0.3+0.12+0.08+0.04×100%=27%，
所以估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数为60×27%=16.2（万）．
（2）
由（1）可知，月均用水量小于2.5 t的居民人数所占百分比为73%，
即73%的居民月均用水量小于2.5 t，
则73%+0.5×0.3×100%=88%
所以88%的居民月均用水量小于3 t，故2.5所以x=2.5+82%−73%0.3=2.8．
故估计x的值为2.8．
19．（2023·全国·高三专题练习）某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h）可以把这批电子元件分成六组．由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
(1)求图2中A的值；
(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于400,600内的产品中抽取5个作为样本，那么在400,500内应抽取多少个？
【答案】(1)A=0.001
(2)频率分布直方图见解析，阴影部分的面积为0.5
(3)4个
【分析】（1）根据频率除以组距等于A，结合图中的数据求解即可，
（2）根据频率分布表中的数据可补全频率分布上直方图，阴影部分的面积等于第4组和第5组的频率和，
（3）利用分层抽样的定义求解.
（1）
由题意可知0.1=A×100，所以A=0.001．
（2）
补全后的频率分布直方图如图所示，
阴影部分的面积为0.004×100+0.001×100=0.5．
（3）
由分层抽样的性质，知在400,500内应抽取5×0.40.4+0.1=4（个）．
20．（2021春·河南南阳·高一统考期中）从某企业生产的某种产品抽取100件，测量这些产品的一项指标值，由测量结果得如下频数分布表：
（1）在下图上作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的中位数（精确到0.1）、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
【答案】（1）频率分布直方图见解析；（2）中位数为：99.7，平均数为100；（3）不能.
【分析】（1）根据频数分布表可作出频率分布直方图；
（2）利用中位数左边的直方图面积之和为0.5可求得中位数的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得出样本的平均数；
（3）计算出质量指标值不低于95的产品所占比例，由此可得出结论.
【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）前2个矩形面积之和为0.06+0.26=0.32<0.5，
前3个矩形面积之和为0.32+0.38=0.7>0.5，所以中位数位于95,105，
质量指标值的样本中位数为95+×10≈99.7，
质量指标值的样本平均数为
x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100；
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68<0.8，
所以不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
21．（2019·全国·统考高考真题）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到PC的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) a=0.35，b=0.10；(2) 4.05，6.
【分析】(1)由P(C)=0.70及频率和为1可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】(1)由题得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35，由0.05+b+0.15=1−P(C)=1−0.70，解得b=0.10.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15×2+0.20×3+0.30×4+0.20×5+0.10×6+0.05×7=4.05，
乙离子残留百分比的平均值为0.05×3+0.10×4+0.15×5+0.35×6+0.20×7+0.15×8=6
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
22．（2022春·云南昆明·高一昆明市官渡区第一中学校考阶段练习）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，得到如下频率分布直方图．
（1）求出直方图中m的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．
【答案】（1）m=0.030；（2）平均数为71，中位数为73.33；（3）一等品有3个，二等品有2个．
【分析】(1)利用6组数据的频率和为1即可求出m的值；
(2)利用频率分布直方图求平均数和中位数的方法计算即得；
(3)利用分层抽样的抽样比计算即可作答.
【详解】（1）由10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，得m=0.030，
所以直方图中m的值是0.030；
（2）平均数为x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，
因为0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5，
所以中位数在第4组，设中位数为n，则0.1+0.15+0.15+0.03(n−70)=0.5，解得n=2203≈73.33，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33；
（3）由频率分布直方图知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有：5×60100=3(个)，二等品有：5−3=2(个)，
所以抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个.甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
100
120
160
性别
人数
平均数
方差
男生
50
172
18
女生
30
164
30
家庭年收入
(以万元为单位)
[4,5)
[5,6)
[6,7)
[7,8)
[8,9)
[9,10)
频率f
0.2
0.2
0.2
0.26
0.07
0.07
分组
100,200
200,300
300,400
400,500
500,600
600,700
频数
30
20
频率
0.2
0.4
质量指标值分组
75,85
85,95
95,105
105,115
115,125
频数
6
26
38
22
8
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021·天津·统考高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：66,70、70,74、⋯、94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82,86内的影视作品数量是（ ）
A．20B．40C．64D．80
【答案】D
【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间82,86内的影视作品数量.
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间82,86内的影视作品数量为400×0.05×4=80.
故选：D.
2．（2022·高一课时练习）已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为x，方差为s2，则（ ）
A．x=5，s2=2B．x=5，s2=1.6
C．x=4.9，s2=1.6D．x=5.1，s2=2
【答案】B
【分析】设这10个数据分别为：x1,x2,⋯,x7,x8=4,x9=5,x10=6，进而根据题意求出x1+x2+⋯+x7和x1−52+x2−52+⋯+x7−52，进而再根据平均数和方差的定义求得答案.
【详解】设这10个数据分别为：x1,x2,⋯,x7,x8=4,x9=5,x10=6，根据题意x1+x2+⋯+x77=5⇒x1+x2+⋯+x7=35，x1−52+x2−52+⋯+x7−527=2⇒x1−52+x2−52+⋯+x7−52=14，
所以x=x1+x2+⋯+x1010=35+4+5+610=5，s2=x1−52+x2−52+⋯+x10−5210=14+4−52+5−52+⋯+6−5210=1.6.
故选：B.
3．（2022·高一课时练习）2022年国务院《政府工作报告》中指出，有序推进碳达峰碳中和工作，落实碳达峰行动方案.汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，某检测单位对甲､乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下（单位：g/km），则甲､乙两品牌汽车CO2的排放量稳定性更好的是（ ）
A．甲B．乙C．甲､乙相同D．无法确定
【答案】B
【分析】分别计算甲类、乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值和方差即可求出答案.
【详解】甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值x甲=80+110+120+140+1505=120(g/km)，
甲类品牌汽车的CO2，排放量的方差
s甲2=15×[(80−120)2+(110−120)2+(120−120)2+(140−120)2+(150−120)2]=600.乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x乙=100+120+100+120+1605=120(g/km)，
乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s乙2=15×[(100−120)2+(120−120)2+(100−120)2+
(120−120)2+(160−120)2]=480，所以s乙2
4．（2022·高一单元测试）数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是（ ）
A．[4.5,+∞)B．[4.5,6.6)
C．(4.5,+∞)D．(4.5,6.6]
【答案】A
【分析】根据p%分位数的定义判断求解.
【详解】因为65%×8=5.2，第65百分位数是4.5，故这组数据的第65百分位数是第六个数，所以x的取值范围是[4.5,+∞)，
故选：A.
5．（2022·高一课时练习）2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）
A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.
C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.
【答案】A
【分析】根据雷达图，对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即A错误；
甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即B正确；
甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即C正确；
对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确.
故选：A.
【点睛】本题考查统计知识，涉及到雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道容易题.
6．（2022春·天津东丽·高一统考期末）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.004
B．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10
C．估计全校学生的平均成绩不低于80分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
【答案】C
【分析】由概率总和为1可得x，由百分位数定义计算80%分位数，由频率分布直方图的频率计算人数，均值判断各选项．
【详解】由(0.005+0.01+0.015+x+0.04)×10=1得x=0.03，A错；
成绩在区间[60，70）的频率为0.01×10=0.1，人数为200×0.1=20，B错；
平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=85，C正确；
低于90分的频率为1−0.4=0.6，设样本数据的80%分位数约为n分，
则n−90100−90=0.20.4，解得n=95，D错．
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：
则下列结论中不正确的是（ ）
A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上
C．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙
【答案】B
【分析】对于A：直接求出中位数；
对于B：求出乙的星期三和星期四步数，计算可得；
对于C：分别计算出甲、乙平均数，即可判断；
对于D：分别计算出甲、乙方差，即可判断；
【详解】对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位数是11600.故A正确；
对于B：乙的星期三步数7030，星期四步数12970.因为129707030≈1.84<2，所以没有增加1倍上.故B不正确；
对于C：x甲=1716000+7965+12700+2435+16800+9500+11600=11000，x乙=1714200+12300+7030+12970+5340+11600+10060=10500.
所以x甲>x乙.故C正确；
对于D：s甲2=1716000−110002+7965−110002+12700−110002+2435−110002+16800−110002+9500−110002+11600−110002≈20958636 s乙2=1714200−105002+12300−105002+7030−105002+12970−105002+5340−105002+11600−105002+10060−105002≈9014429所以s甲2>s乙2.故D正确；
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数x<4；
②平均数x<4且极差小于或等于3；
③平均数x<4且标准差s≤4；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.
【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数x=3<4．但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为10−3=7，此时数据的平均数必然大于7，
与x<4矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1，1，1，1，11，平均数x=3<4，且标准差s=4.但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.
故选：B．
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考开学考试）某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数多于男生人数B．样本中B层人数最多
C．样本中E层次男生人数为6人D．样本中D层次男生人数多于女生人数
【答案】ABC
【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】样本中女生人数为：9+24+15+9+3=60，男生数为100−60=40，A正确；
样本中A层人数为：9+40×10%=13；样本中B层人数为：24+40×30%=36；
样本中C层人数为：15+40×25%=25；样本中D层人数为：9+40×20%=17；
样本中E层人数为：3+40×15%=9；故B正确；
样本中E层次男生人数为：40×15%=6，C正确；
样本中D层次男生人数为：40×20%=8，女生人数为9，D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10．（2022·全国·高三专题练习）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生50名和女生30名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数x与总样本方差s2分别是（ ）
A．x=168B．x=169
C．s2=225D．s2=37.5
【答案】BD
【分析】由数据分别求出男生女生的样本容量，进而求出总样本的平均数，再利用样本方差公式s2=1ni=1n1yi−x2+i=1n2zi−x2，即可得到答案
【详解】设总样本量为n，由题意得男生样本量为n1=58n，女生样本量为n2=38n，假设男生的样本数据为yii=1,2,⋯,n1，女生的样本数据为zii=1,2,⋯,n2，
则总样本平均数x=1ni=1n1yi+i=1n2zi=1nn1y+n2z =58×172+38×164=169，
总样本方差s2=1ni=1n1yi−x2+i=1n2zi−x2，
∵i=1n1yi−x2=i=1n1yi−y+y−x2 =i=1n1yi−y2+2y−xi=1n1yi−y+i=1n1y−x2 =i=1n1yi−y2+n1y−x2=n1s12+y−x2，
同理i=1n2zi−x2=n2s22+z−x2，
∴总样本方差s2=1ni=1n1yi−x2+i=1n2zi−x2 =n1ns12+y−x2+n2ns22+z−x2 =58×(18+9)+38×(30+25)=37.5，
故选：BD
11．（2022·全国·高一专题练习）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．样本的众数为6712B．样本的80%分位数为7212
C．样本的平均值为66D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用频率分布直方图计算众数，判断A，求出样本的80%分位数，判断B;求出平均值，判断C;再计算出该校男生中低于60公斤的学生人数，判断D．
【详解】对于A，样本的众数为65+702=6712，故A正确;
对于B，由频率分布直方图可知样本的80%分位数为70+0.10.2×5=72.5 ，故B正确，
对于C，由直方图估计样本平均值为：
57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75，故C错误，
对于D，2000名男生中体重低于60kg的人数大约为2000×5×0.03=300，故D正确，
故选：ABD．
12．（2022·高一单元测试）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）
A．平均数x≤3
B．平均数x≤3且标准差s≤2
C．平均数x≤3且极差小于或等于2
D．众数等于1且极差小于或等于4
【答案】CD
【解析】通过举反例说明命题不符合条件，或通过平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项．
【详解】解：A错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数x=2⩽3，不符合指标.
B错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数x=3，且标准差s=187⩽2，不符合指标C对，若极差等于0或1，在x≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且x≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指标D对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.
故选：CD.
【点睛】本题考查了数据的几个特征量，它们只表示数据的一个方面，一个或两个量不能说明这组数据的具体情况．
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2023秋·上海徐汇·高二上海中学校考期末）已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为__________万元.
【答案】6.51
【分析】将表格中各区间家庭收入的中间值乘以频率，然后加总即可.
【详解】由表格数据知：家庭的平均年收入(4.5+5.5+6.5)×0.2+7.5×0.26+(8.5+9.5)×0.07=6.51万元.
故答案为：6.51.
14．（2022·高一单元测试）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足y=15x−x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为______克．
【答案】39
【分析】利用标准差和均值的公式完成计算.
【详解】设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为xi克，香囊功效分别为yi，i=1,2,⋯,6.
草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即x1+x2+⋅⋅⋅+x6=36，y1+y2+⋅⋅⋅+y6=15x1+x2+⋅⋅⋅+x6−x12+x22+⋅⋅⋅+x62=90，
则x12+x22+⋅⋅⋅+x62=450，则这6个香囊中草药甲含量的方差
s2=16x1−62+x2−62+⋅⋅⋅+x6−62 =16x12+x22+⋅⋅⋅+x62−12x1+x2+⋅⋅⋅+x6+6×36
=16450−12×36+6×36=39，
所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为39克．
故答案为：39.
15．（2022·高二单元测试）2022年3月，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得上海学生不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）．已知学习时长在9,13的学生人数为72，则n的值为______．
【答案】120
【分析】由频率分布直方图的性质，列出方程，求出x，再由学习时长在9,13的频率，再根据频率、频数、总数之间的关系计算可得．
【详解】解：由频率分布直方图的性质，得2×(0.05+0.15+x+0.05)=1，
解得x=0.25，
∴学习时长在9,13的频率为0.25+0.05×2=0.6，
所以n=72÷0.6=120．
故答案为：120．
16．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
【答案】①③
【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．
【详解】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22、22、24、25、26，其连续5天的日平均气温均不低于22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19、20、27、27、27，可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22，如22、25、25、26、32，这组数据的平均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2023·上海·高三专题练习）某校对学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考虑该次竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为1:3:6:4:2，第五组的频数为12.
(1)该样本的容量是多少？
(2)成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率；
(3)该样本的第75百分位数在第几组中？
【答案】(1)96；
(2)第三组，38；
(3)第四组.
【分析】（1）根据给定条件，求出第五小组的频率即可计算作答.
（2）确定频率分布直方图中面积最大的小矩形，再求出频率作答.
（3）求出各小组频数，由第75百分位数的意义求解作答.
【详解】（1）在频率分布直方图中，各小组的小长方形的高的比为1:3:6:4:2，则第五组的频率为216，而第五组的频数为12，
所以样本的容量n=12216=96.
（2）由频率分布直方图知，[70.5,80.5)分段内的人数最多，该小组为第三组，该小组的频率为616=38.
（3）第一、二、三、四、五组的频数分别为6，18，36，24，12，该样本的第75百分位数位于第72名，72名位于第四组.
18．（2022·高一单元测试）“水是生命之源”，但是据科学界统计，可用淡水资源仅占地球储水总量的2.8%，全世界近80%人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：t）：一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过随机抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：t），将数据按照0,0.5，0.5,1，⋯，4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数，并说明理由；
(2)若该市政府希望使82%的居民每月的用水不按议价收费，估计x的值，并说明理由．
【答案】(1)估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数为16.2（万），理由见解析
(2)估计x的值为2.8，理由见解析
【分析】（1）先根据频率分布直方图求出月均用水量不低于2.5 t人数所占百分比，再乘以全市居民人数即可；
（2）先通过88%的居民月均用水量小于3 t得到2.5
由题图可知，不低于2.5 t人数所占百分比为0.5×0.3+0.12+0.08+0.04×100%=27%，
所以估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数为60×27%=16.2（万）．
（2）
由（1）可知，月均用水量小于2.5 t的居民人数所占百分比为73%，
即73%的居民月均用水量小于2.5 t，
则73%+0.5×0.3×100%=88%
所以88%的居民月均用水量小于3 t，故2.5
故估计x的值为2.8．
19．（2023·全国·高三专题练习）某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h）可以把这批电子元件分成六组．由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
(1)求图2中A的值；
(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于400,600内的产品中抽取5个作为样本，那么在400,500内应抽取多少个？
【答案】(1)A=0.001
(2)频率分布直方图见解析，阴影部分的面积为0.5
(3)4个
【分析】（1）根据频率除以组距等于A，结合图中的数据求解即可，
（2）根据频率分布表中的数据可补全频率分布上直方图，阴影部分的面积等于第4组和第5组的频率和，
（3）利用分层抽样的定义求解.
（1）
由题意可知0.1=A×100，所以A=0.001．
（2）
补全后的频率分布直方图如图所示，
阴影部分的面积为0.004×100+0.001×100=0.5．
（3）
由分层抽样的性质，知在400,500内应抽取5×0.40.4+0.1=4（个）．
20．（2021春·河南南阳·高一统考期中）从某企业生产的某种产品抽取100件，测量这些产品的一项指标值，由测量结果得如下频数分布表：
（1）在下图上作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的中位数（精确到0.1）、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
【答案】（1）频率分布直方图见解析；（2）中位数为：99.7，平均数为100；（3）不能.
【分析】（1）根据频数分布表可作出频率分布直方图；
（2）利用中位数左边的直方图面积之和为0.5可求得中位数的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得出样本的平均数；
（3）计算出质量指标值不低于95的产品所占比例，由此可得出结论.
【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）前2个矩形面积之和为0.06+0.26=0.32<0.5，
前3个矩形面积之和为0.32+0.38=0.7>0.5，所以中位数位于95,105，
质量指标值的样本中位数为95+×10≈99.7，
质量指标值的样本平均数为
x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100；
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68<0.8，
所以不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
21．（2019·全国·统考高考真题）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到PC的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) a=0.35，b=0.10；(2) 4.05，6.
【分析】(1)由P(C)=0.70及频率和为1可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】(1)由题得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35，由0.05+b+0.15=1−P(C)=1−0.70，解得b=0.10.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15×2+0.20×3+0.30×4+0.20×5+0.10×6+0.05×7=4.05，
乙离子残留百分比的平均值为0.05×3+0.10×4+0.15×5+0.35×6+0.20×7+0.15×8=6
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
22．（2022春·云南昆明·高一昆明市官渡区第一中学校考阶段练习）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，得到如下频率分布直方图．
（1）求出直方图中m的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．
【答案】（1）m=0.030；（2）平均数为71，中位数为73.33；（3）一等品有3个，二等品有2个．
【分析】(1)利用6组数据的频率和为1即可求出m的值；
(2)利用频率分布直方图求平均数和中位数的方法计算即得；
(3)利用分层抽样的抽样比计算即可作答.
【详解】（1）由10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，得m=0.030，
所以直方图中m的值是0.030；
（2）平均数为x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，
因为0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5，
所以中位数在第4组，设中位数为n，则0.1+0.15+0.15+0.03(n−70)=0.5，解得n=2203≈73.33，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33；
（3）由频率分布直方图知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有：5×60100=3(个)，二等品有：5−3=2(个)，
所以抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个.甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
100
120
160
性别
人数
平均数
方差
男生
50
172
18
女生
30
164
30
家庭年收入
(以万元为单位)
[4,5)
[5,6)
[6,7)
[7,8)
[8,9)
[9,10)
频率f
0.2
0.2
0.2
0.26
0.07
0.07
分组
100,200
200,300
300,400
400,500
500,600
600,700
频数
30
20
频率
0.2
0.4
质量指标值分组
75,85
85,95
95,105
105,115
115,125
频数
6
26
38
22
8
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