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专题7.1 随机事件与古典概型（3类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）
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这是一份专题7.1 随机事件与古典概型（3类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册），文件包含专题71随机事件与古典概型3类必考点北师大版必修第一册原卷版docx、专题71随机事件与古典概型3类必考点北师大版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc16406" 【考点1：随机事件的频率与概率】 PAGEREF _Tc16406 \h 1
\l "_Tc5963" 【考点2：互斥事件与对立事件】 PAGEREF _Tc5963 \h 6
\l "_Tc3410" 【考点3：古典概型】 PAGEREF _Tc3410 \h 11
【考点1：随机事件的频率与概率】
【知识点：随机事件的频率与概率】
1．事件的分类
2．频率和概率
（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
（2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
（3）事件A发生的频率是利用频数nA除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率．
1．（2023秋·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期末）下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．刻舟求剑B．水中捞月C．流水不腐D．守株待兔
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性，从而选出正确答案.
【详解】A，B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象
故选：D
2．（2021秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）在1,2,3,⋯,10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．以上选项均不正确
【答案】C
【分析】根据随机事件的定义分析判断.
【详解】由于从1,2,3,⋯,10这10个数字中，任取3个数字，这3个数字的和可能小于6，可能等于6，可能大于6，
所以“这三个数字的和大于6”这一事件是随机事件，
故选：C.
3．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取x∈R，则x≥0.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数.
【详解】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取x∈R，则x≥0，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是2.
故选：B
4．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】、
由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；
对于②：任取x∉A，则x∈B是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取x∉B，则x∉A是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．
故选：C．
5．（2022·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到100°C，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为a,b的矩形，其面积为abD．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【分析】根据随机事件的概念判断即可
【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为a,b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（ ）
A．x+1<0B．x2−2x+1<0
C．x2−2x+3>0D．x>1−2x
【答案】B
【分析】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，故对错误选项使用特殊值法即可，对正确选项则需要证明.
【详解】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，则
对于A，令x=−2，则x+1=−2+1=−1<0，故选项A不是不可能事件，故A错误；
对于B，由于x2−2x+1=x−12≥0，故不存在实数x使得x2−2x+1<0，即选项B是不可能事件，故B正确；
对于C，令x=0，则x2−2x+3=02−2×0+3=3>0，故选项C不是不可能事件，故C错误；
对于D，令x=1，则x=1,1−2x=1−2×1=−1，即x>1−2x，故选项D不是不可能事件，故D错误；
故选：B.
7．（2022秋·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
【答案】①③
【分析】根据随机事件的定义分析判断即可.
【详解】对于①，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品是椭机事件，
对于②，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品是不可能事件，
对于③，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品是随机事件，
对于④，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品是必然事件，
故答案为：①③.
8．（2022·高一课时练习）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，哪些是不可能事件．
(1)某地1月1日刮西北风；
(2)当x是实数时，x2≥0；
(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；
(4)一个电影院某天的上座率超过50%．
【答案】(1)随机现象
(2)确定性现象
(3)不可能事件
(4)随机现象
【分析】结合随机事件、必然事件和不可能事件的概念即可求解.
（1）
根据随机事件的概念可知，某地1月1日刮西北风属于随机现象.
（2）
当x是实数时，x2≥0恒成立，故当x是实数时，x2≥0是确定性现象.
（3）
根据不可能事件的概念可知，手电筒的电池没电，灯泡发亮属于不可能事件.
（4）
根据随机事件的概念可知，一个电影院某天的上座率超过50%属于随机现象.
9．（2022·高一课时练习）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象．
(1)导体通电时，发热；
(2)抛一块石头，下落；
(3)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
(4)掷一枚硬币，出现正面；
(5)某人射击一次，中靶．
【答案】(1)确定性现象
(2)确定性现象
(3)确定性现象
(4)随机现象
(5)随机现象
【分析】（1）由确定性现象的定义进行判断即可；
（2）由确定性现象的定义进行判断即可；
（3）由确定性现象的定义进行判断即可；
（4）由随机现象的定义进行判断即可；
（5）由随机现象的定义进行判断即可；
（1）
导体通电时，发热；一定发生，是确定性现象；
（2）
抛一块石头，下落；一定发生，是确定性现象；
（3）
在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；一定不发生，是确定性现象；
（4）
掷一枚硬币，出现正面；可能发生，也可能不发生，是随机现象；
（5）
某人射击一次，中靶；可能发生，也可能不发生，是随机现象．
【考点2：互斥事件与对立事件】
【知识点：互斥事件与对立事件】
[方法技巧]
事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．
(3)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．
[方法技巧]
求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；
(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq \x\t(A))求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
1．（2022秋·四川达州·高二统考期末）某班学生小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛，与事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”互斥的事件是（ ）
A．小李两门学科竞赛都没有获一等奖
B．小李两门学科竞赛都获一等奖
C．小李至多有一门学科竞赛获一等奖
D．小李只有一门学科竞赛获一等奖
【答案】A
【分析】首先列出所有可能结果，再根据互斥事件的概念判断即可.
【详解】解：因为小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛，
则小李的获奖情况有两门学科都获一等奖、两门学科竞赛都没有获一等奖、
数学获得一等奖而物理没有获得一等奖、物理获得一等奖而数学没有获得一等奖，
事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”包含两门学科都获一等奖、
数学获得一等奖而物理没有获得一等奖、物理获得一等奖而数学没有获得一等奖这三个基本事件，
则与其是互斥事件的为：小李两门学科竞赛都没有获一等奖.
故选：A
2．（2021秋·吉林长春·高二校考阶段练习）盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色D．2个小球至多有1个是红色
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐个分析可得答案.
【详解】对于A，“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故A不正确；
对于B，“2个小球恰有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故B不正确；
对于C，“2个小球都不是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故C不正确；
对于D，“2个小球至多有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是对立事件，故D正确.
故选：D
3．（2019秋·广西南宁·高二校考期中）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互为对立事件是（ ）．
A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】B
【分析】根据对立事件的概念逐项分析可得答案.
【详解】对于A，因为“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，所以“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，更不是对立事件，故A不正确；
对于B，“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，且必有一个发生，所以“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故B正确；
对于C，因为“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”能同时发生，所以“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”不是互斥事件，更不是对立事件，故C不正确；
对于D，因为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球” 不能同时发生，也可以都不发生，所以“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，故D不正确.
故选：B
4．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（ ）
A．至少有1名男生与全是男生；
B．至少有1名男生与全是女生；
C．恰有1名男生与恰有2名男生；
D．至少有1名男生与至少有1名女生．
【答案】C
【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案.
【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误；
对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误；
对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确；
对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误.
故选：C.
5．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲不胜的概率是（ ）
A．12B．56C．16D．23
【答案】B
【分析】分析题意甲不胜意味着乙获胜或和棋，两事件互斥，将将其概率加起来即可得到甲不胜的概率.
【详解】甲不胜的事件为乙获胜或和棋，
则甲不胜的概率为两事件概率的和，
即12+13=56，
故选：B.
6．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1-10各10张)中任取一张：①“抽出红桃”与“抽出黑桃”是对立事件；②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是互斥事件；③“抽出的牌的数字为5的倍数”与“抽出的牌的数字大于9”是互斥事件；④“抽出数字为2”与“抽出数字为9”是互斥事件；⑤“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是对立事件.其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义一一判断即可.
【详解】对于①：因为有四种花色，所以“抽出红桃”与“抽出黑桃”是互斥而不对立.故①错误；
对于②：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是互斥事件.故②正确；
对于③：如果抽出的是“10”，即是“抽出的牌的数字为5的倍数”，又“抽出的牌的数字大于9”.故③错误；
对于④：抽出的牌的数字不可能是2又是9，所以“抽出数字为2”与“抽出数字为9”是互斥事件.故④正确；
对于⑤：因为红桃、方块是属于红色牌，黑桃、、梅花是属于黑色牌，所以抽出的一张牌不是红色就是黑色，所以“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是对立事件.故⑤正确.
所以正确的说法有3个.
故选：C
7．（2023·上海·统考模拟预测）已知事件A发生的概率为P(A)=0.5，则它的对立事件A发生的概率P(A)=______________．
【答案】12
【分析】根据对立事件的知识求得正确答案.
【详解】依题意，P(A)=1−PA=1−0.5=0.5.
故答案为：12
8．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为25，且PA=2PB，则PA=______.
【答案】25
【分析】根据互斥事件概率的运算性质求解.
【详解】因为事件A、B都不发生的概率为25，
所以P(A)+P(B)=1−25=35,
又因为PA=2PB代入上式可得P(A)+12P(A)=35，
所以P(A)=25，
故答案为: 25.
9．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）已知事件A、B互斥，PA∪B=35，且PA=2PB，则PB=_______.
【答案】45
【分析】由已知事件A、B互斥，且PA=2PB，可求PB，
进而根据对立事件概率公式得到答案.
【详解】解：∵事件A、B互斥，且PA=2PB，
∵ PA∪B=PA+PB=3PB=35
∴解得PB=15,
∴PB=1−PB=1−15=45.
故答案为：45.
10．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）某人射击1次命中7～10环的概率如下表
（1）求射击1次，至少命中7环的概率为_______
（2）求射击1次，命中不足7环的概率为_______
【答案】 0.85 0.15
【分析】（1）根据互斥事件概率加法求解即可；
（2）根据对立事件概率关系求解即可；
【详解】记射击1次命中k环为事件Ak，k∈N,k≤10，则事件Ak彼此互斥.
（1）记射击1次至少命中7环为事件A，
则P(A)=P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.23+0.27+0.19+0.16=0.85.
（2）记射击1次命中不足7环为事件B，事件A，B对立，
则P(B)=1−P(A)=1−0.85=0.15.
故答案为：0.85；0.15
【考点3：古典概型】
【知识点：古典概型】
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
[方法技巧] 解决古典概型实际问题的步骤
1．（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）为弘扬文明.和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”.“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：
对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（ ）A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25
B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64
C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为45
D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为27
【答案】BC
【分析】根据极差、中位数、众数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.
【详解】A选项，“党员先锋”项目参与人数的极差为76−24=52，中位数是27，A选项错误.
B选项，“邻里互助”项目参与人数的众数为11，
平均数为11×3+13+127+132+1437=64，B选项正确.
C选项，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的是：（星期二，星期三，星期四），
（星期三，星期四，星期五），（星期四，星期五，星期六），（星期五，星期六），星期日），
所以党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为45， C选项正确.
D选项，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的是：
（星期五，星期六），（星期六，星期日），
所以“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为26=13，D选项错误.
故选：BC
2．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）老师要从3名男生和4名女生（含小红同学）中选择3位同学参加比赛，那么小红同学被选中参加比赛的概率为_______.
【答案】37
【分析】列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求得.
【详解】记小红为a，其他6位同学分别为：1，2，3，4，5，6.
从7人中任取3人有：a12, a13, a14, a15, a16, a23,a24,a25,a26, a34,a35,a36, a45,a46, a56, 123,124,125,126, 134,135,136, 145,146, 156, 234,235,236 245,246,256,345,346,356,456，一共35种.
其中含有小红同学的有：a12, a13, a14, a15, a16, a23,a24,a25,a26, a34,a35,a36, a45,a46, a56,一共15种.
所以小红同学被选中参加比赛的概率为1535=37.
故答案为：37.
3．（2021秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）在某电视台的一档演讲比赛节目中，进入最后比赛的是2名女选手和1名男选手，已知备选演讲题目2个，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为__．
【答案】12
【分析】设两道题分别用A,B表示，通过列举法列出抽取的所有情况和恰有一男一女抽到同一题目的情况，由古典概型的概率计算公式可求其概率．
【详解】设两道题分别用A,B表示，则抽取的情况共有AAA，AAB，ABA，ABB，
BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个女选手抽取的题目，
第3个表示男选手抽取的题目，一共有8种；
其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有ABA，ABB，BAA，BAB，
共4种；
故所求事件的概率为P=48=12．
故答案为：12．
4．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开．某媒体从甲、乙等6名记者中选两人参加宣传报道，则甲、乙至少有一人被人选的概率为________．
【答案】35
【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式计算作答.
【详解】记6名记者分别为：甲，乙，1，2，3，4，从6名记者中任选两人，所有可能的情况：
甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4，乙1、乙2、乙3、乙4、12、13、14、23、24、34，共15种情况，
甲、乙至少有一人被入选有：甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4、乙1、乙2、乙3、乙4，共9种情况，
所以甲、乙至少有一人被人选的概率为915=35．
故答案为：35
5．（2020春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为___________．
【答案】821
【分析】运用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】用a,b,c表示甲、乙、丙三人领到红包的钱数，
由题意得共有(1,1,6),(1,6,1),(6,1,1);(1,2,5),(1,5,2),(2,1,5),(2,5,1),(5,1,2),(5,2,1);
(1,3,4),(3,1,4),(4,3,1),(1,4,3),(3,4,1),(4,1,3); 2,3,3,3,2,3,3,3,2;2,2,4,2,4,2,4,2,2 21种，
其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有(6,1,1),(5,1,2),(5,2,1),(4,3,1),(4,1,3),(4,2,2),(3,3,2)(3,2,3)8种，所以概率为821，
故答案为：821
6．（陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测（Ⅰ）文科数学试题）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3，记样本均值为x，样本标准差为s.
(1)求x,s；
(2)将质量在区间x−s,x+s内的零件定为一等品.
①估计这台机器生产的零件的一等品率；
②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.
【答案】(1)x=10，s=0.5
(2)①12；②710
【分析】（1）由平均数、标准差的计算公式求解；
（2）由列举法结合概率公式得出①②.
【详解】（1）x=11010.5+9.9+9.4+10.7+10.0+9.6+10.8+10.1+9.7+9.3=110×100=10
s2=11010.5−102+9.9−102+9.4−102+10.7−102+10.0−102+9.6−102
+10.8−102+10.1−102+9.7−102+9.3−102=110×2.5=0.25，所以s=0.5.
（2）①x−s,x+s=9.5,10.5，质量在区间9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为510=12；
②从5件一等品中，抽取2件，分别为9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.7，共10种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P=710.
7．（2023·全国·校联考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行､第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组；0,40,140,80,80,120,120,160,160,200,200,240,240,280（观看时长均在0,280内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图
(1)求a的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用分层抽样的方法在观看时长在200,240和240,280的学生中抽取6人､现从这6人中随机抽取3人分享观看感想，求抽取的3人中恰有2人的观看时长在200,240的概率.
【答案】(1)a=0.0040；中位数为160；(2)35
【分析】（1）由频率和频率和为1，能求出a的值，利用直方图中能估计样本数据的中位数；
（2）采用分层抽样的方法能求出观看时长在200,240和240,280内应抽取人数，然后利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由频率分布直方图性质得：
(0.0005+0.0020+a+0.0060+0.0065+a+0.0020)×40=1，
解得a=0.0040．
[0,160)的频率为(0.0005+0.0020+0.0040+0.0060)×40=0.5．
∴估计样本数据的中位数为160；
（2）解：采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，
则200,240中抽取6×+0.0020=4人，分别记为a，b，c，d，
240,280中抽取6×+0.0020=2人，分别记为A，B，
现从这6人中随机抽取3人分享观看感想，包含的基本事件有：
a,b,c,a,b,d,a,b,A,a,b,B,a,c,d,a,c,A,a,c,B,a,d,A,a,d,B,b,c,d, b,c,A,b,c,B,b,d,A,b,d,B,c,d,A,c,d,B,a,A,B,b,A,B,c,A,B,d,A,B,共20个，
抽取的3人中恰有2人的观看时长在200,240”基本事件有：
a,b,A,a,b,B,a,c,A,a,c,B,a,d,A,a,d,B, b,c,A,b,c,B,b,d,A,b,d,B,c,d,A,c,d,B,共12个，
所以抽取的3人中恰有2人的观看时长在200,240的概率为1220=35．
8．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组45,55，第二组55,65，第三组65,75，第四组75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a、b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）；
(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.
【答案】(1)a=0.005，b=0.025；
(2)平均数69.5，第60百分位数71.7；
(3)35
【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得a，b；
（2）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可；
（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．
【详解】（1）解：因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以(0.045+0.020+a)×10=0.7，
解得a=0.005，
所以前两组的频率之和为1−0.7=0.3，
即(a+b)×10=0.3，
所以b=0.025；
（2）解：又频率分布直方图可得众数为70，
平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为65+0.6−×10≈71.7；
（3）解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e，
这5人中选出2人，所有情况有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)．(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为610=35．
9．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130]．
(1)求语文成绩在120,130内的学生人数．
(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．
(3)若语文成绩在80,90内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在80,90内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)5
(2)0.21
(3)35．
【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为1求出a，即可求出语文成绩在120,130内的学生人数；
（2）直接利用频率分布直方图求概率；
（3）利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知2a+0.02+0.03+0.04×10=1，解得a=0.005，
语文成绩在120,130内的学生人数为0.005×10×100=5．
（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率120−11210×0.02×10+0.005×10=0.21．
（3）由频率分布直方图，知语文成绩在80,90内的学生有0.005×10×100=5人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c.
样本空间为{AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc}，其中抽到1名男生和1名女生的情况有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc，
所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为610=35．
10．（2021春·河南周口·高一校考期中）某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：
(1)分别求出a，b，x，y的值；
(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
(3)在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
【答案】(1)a=5,b=27,x=0.9,y=0.2
(2)第2组2人，第3组3人，第4组1人
(3)15
【分析】(1)根据频数、频率、样本容量的定义求解；
(2)根据分层抽样的定义求解；
(3)利用古典概率模型求解.
【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，
再结合频率分布直方图可知n＝250.025×10＝100，
∴a=100×0.01×10×0.5=5,
b=100×0.03×10×0.9=27,
x=1820=0.9,y=315=0.2.
（2）第2，3，4组回答正确的共有54人.
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，
每组分别抽取的人数为：第2组：1854×6＝2人，第3组：2754×6＝3人，
第4组：954×6＝1人.
（3）设所抽取的人中第2组的2人为A1,A2，
第3组的3人为B1,B2,B3，第4组的1人为C1.
则从6人中抽2人所有可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)
共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为315＝15.事件
定义
概率公式
互斥
事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
对立
事件
在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和eq \x\t(A)称为对立事件
P(eq \x\t(A))＝1－P(A)
命中环数
7
8
9
10
命中概率
0. 23
0. 27
0.19
0.16
项目 日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
党员先锋
24
27
26
25
37
76
72
邻里互助
11
13
11
11
127
132
143
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25，35)
18
x
第3组
[35，45)
b
0.9
第4组
[45，55)
9
0.36
第5组
[55，65)
3
y
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc16406" 【考点1：随机事件的频率与概率】 PAGEREF _Tc16406 \h 1
\l "_Tc5963" 【考点2：互斥事件与对立事件】 PAGEREF _Tc5963 \h 6
\l "_Tc3410" 【考点3：古典概型】 PAGEREF _Tc3410 \h 11
【考点1：随机事件的频率与概率】
【知识点：随机事件的频率与概率】
1．事件的分类
2．频率和概率
（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
（2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
（3）事件A发生的频率是利用频数nA除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率．
1．（2023秋·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期末）下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．刻舟求剑B．水中捞月C．流水不腐D．守株待兔
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性，从而选出正确答案.
【详解】A，B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象
故选：D
2．（2021秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）在1,2,3,⋯,10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．以上选项均不正确
【答案】C
【分析】根据随机事件的定义分析判断.
【详解】由于从1,2,3,⋯,10这10个数字中，任取3个数字，这3个数字的和可能小于6，可能等于6，可能大于6，
所以“这三个数字的和大于6”这一事件是随机事件，
故选：C.
3．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取x∈R，则x≥0.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数.
【详解】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取x∈R，则x≥0，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是2.
故选：B
4．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】、
由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；
对于②：任取x∉A，则x∈B是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取x∉B，则x∉A是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．
故选：C．
5．（2022·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到100°C，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为a,b的矩形，其面积为abD．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【分析】根据随机事件的概念判断即可
【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为a,b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（ ）
A．x+1<0B．x2−2x+1<0
C．x2−2x+3>0D．x>1−2x
【答案】B
【分析】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，故对错误选项使用特殊值法即可，对正确选项则需要证明.
【详解】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，则
对于A，令x=−2，则x+1=−2+1=−1<0，故选项A不是不可能事件，故A错误；
对于B，由于x2−2x+1=x−12≥0，故不存在实数x使得x2−2x+1<0，即选项B是不可能事件，故B正确；
对于C，令x=0，则x2−2x+3=02−2×0+3=3>0，故选项C不是不可能事件，故C错误；
对于D，令x=1，则x=1,1−2x=1−2×1=−1，即x>1−2x，故选项D不是不可能事件，故D错误；
故选：B.
7．（2022秋·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
【答案】①③
【分析】根据随机事件的定义分析判断即可.
【详解】对于①，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品是椭机事件，
对于②，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品是不可能事件，
对于③，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品是随机事件，
对于④，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品是必然事件，
故答案为：①③.
8．（2022·高一课时练习）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，哪些是不可能事件．
(1)某地1月1日刮西北风；
(2)当x是实数时，x2≥0；
(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；
(4)一个电影院某天的上座率超过50%．
【答案】(1)随机现象
(2)确定性现象
(3)不可能事件
(4)随机现象
【分析】结合随机事件、必然事件和不可能事件的概念即可求解.
（1）
根据随机事件的概念可知，某地1月1日刮西北风属于随机现象.
（2）
当x是实数时，x2≥0恒成立，故当x是实数时，x2≥0是确定性现象.
（3）
根据不可能事件的概念可知，手电筒的电池没电，灯泡发亮属于不可能事件.
（4）
根据随机事件的概念可知，一个电影院某天的上座率超过50%属于随机现象.
9．（2022·高一课时练习）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象．
(1)导体通电时，发热；
(2)抛一块石头，下落；
(3)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
(4)掷一枚硬币，出现正面；
(5)某人射击一次，中靶．
【答案】(1)确定性现象
(2)确定性现象
(3)确定性现象
(4)随机现象
(5)随机现象
【分析】（1）由确定性现象的定义进行判断即可；
（2）由确定性现象的定义进行判断即可；
（3）由确定性现象的定义进行判断即可；
（4）由随机现象的定义进行判断即可；
（5）由随机现象的定义进行判断即可；
（1）
导体通电时，发热；一定发生，是确定性现象；
（2）
抛一块石头，下落；一定发生，是确定性现象；
（3）
在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；一定不发生，是确定性现象；
（4）
掷一枚硬币，出现正面；可能发生，也可能不发生，是随机现象；
（5）
某人射击一次，中靶；可能发生，也可能不发生，是随机现象．
【考点2：互斥事件与对立事件】
【知识点：互斥事件与对立事件】
[方法技巧]
事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．
(3)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．
[方法技巧]
求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；
(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq \x\t(A))求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
1．（2022秋·四川达州·高二统考期末）某班学生小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛，与事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”互斥的事件是（ ）
A．小李两门学科竞赛都没有获一等奖
B．小李两门学科竞赛都获一等奖
C．小李至多有一门学科竞赛获一等奖
D．小李只有一门学科竞赛获一等奖
【答案】A
【分析】首先列出所有可能结果，再根据互斥事件的概念判断即可.
【详解】解：因为小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛，
则小李的获奖情况有两门学科都获一等奖、两门学科竞赛都没有获一等奖、
数学获得一等奖而物理没有获得一等奖、物理获得一等奖而数学没有获得一等奖，
事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”包含两门学科都获一等奖、
数学获得一等奖而物理没有获得一等奖、物理获得一等奖而数学没有获得一等奖这三个基本事件，
则与其是互斥事件的为：小李两门学科竞赛都没有获一等奖.
故选：A
2．（2021秋·吉林长春·高二校考阶段练习）盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色D．2个小球至多有1个是红色
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐个分析可得答案.
【详解】对于A，“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故A不正确；
对于B，“2个小球恰有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故B不正确；
对于C，“2个小球都不是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故C不正确；
对于D，“2个小球至多有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是对立事件，故D正确.
故选：D
3．（2019秋·广西南宁·高二校考期中）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互为对立事件是（ ）．
A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】B
【分析】根据对立事件的概念逐项分析可得答案.
【详解】对于A，因为“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，所以“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，更不是对立事件，故A不正确；
对于B，“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，且必有一个发生，所以“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故B正确；
对于C，因为“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”能同时发生，所以“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”不是互斥事件，更不是对立事件，故C不正确；
对于D，因为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球” 不能同时发生，也可以都不发生，所以“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，故D不正确.
故选：B
4．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（ ）
A．至少有1名男生与全是男生；
B．至少有1名男生与全是女生；
C．恰有1名男生与恰有2名男生；
D．至少有1名男生与至少有1名女生．
【答案】C
【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案.
【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误；
对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误；
对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确；
对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误.
故选：C.
5．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲不胜的概率是（ ）
A．12B．56C．16D．23
【答案】B
【分析】分析题意甲不胜意味着乙获胜或和棋，两事件互斥，将将其概率加起来即可得到甲不胜的概率.
【详解】甲不胜的事件为乙获胜或和棋，
则甲不胜的概率为两事件概率的和，
即12+13=56，
故选：B.
6．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1-10各10张)中任取一张：①“抽出红桃”与“抽出黑桃”是对立事件；②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是互斥事件；③“抽出的牌的数字为5的倍数”与“抽出的牌的数字大于9”是互斥事件；④“抽出数字为2”与“抽出数字为9”是互斥事件；⑤“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是对立事件.其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义一一判断即可.
【详解】对于①：因为有四种花色，所以“抽出红桃”与“抽出黑桃”是互斥而不对立.故①错误；
对于②：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是互斥事件.故②正确；
对于③：如果抽出的是“10”，即是“抽出的牌的数字为5的倍数”，又“抽出的牌的数字大于9”.故③错误；
对于④：抽出的牌的数字不可能是2又是9，所以“抽出数字为2”与“抽出数字为9”是互斥事件.故④正确；
对于⑤：因为红桃、方块是属于红色牌，黑桃、、梅花是属于黑色牌，所以抽出的一张牌不是红色就是黑色，所以“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是对立事件.故⑤正确.
所以正确的说法有3个.
故选：C
7．（2023·上海·统考模拟预测）已知事件A发生的概率为P(A)=0.5，则它的对立事件A发生的概率P(A)=______________．
【答案】12
【分析】根据对立事件的知识求得正确答案.
【详解】依题意，P(A)=1−PA=1−0.5=0.5.
故答案为：12
8．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为25，且PA=2PB，则PA=______.
【答案】25
【分析】根据互斥事件概率的运算性质求解.
【详解】因为事件A、B都不发生的概率为25，
所以P(A)+P(B)=1−25=35,
又因为PA=2PB代入上式可得P(A)+12P(A)=35，
所以P(A)=25，
故答案为: 25.
9．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）已知事件A、B互斥，PA∪B=35，且PA=2PB，则PB=_______.
【答案】45
【分析】由已知事件A、B互斥，且PA=2PB，可求PB，
进而根据对立事件概率公式得到答案.
【详解】解：∵事件A、B互斥，且PA=2PB，
∵ PA∪B=PA+PB=3PB=35
∴解得PB=15,
∴PB=1−PB=1−15=45.
故答案为：45.
10．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）某人射击1次命中7～10环的概率如下表
（1）求射击1次，至少命中7环的概率为_______
（2）求射击1次，命中不足7环的概率为_______
【答案】 0.85 0.15
【分析】（1）根据互斥事件概率加法求解即可；
（2）根据对立事件概率关系求解即可；
【详解】记射击1次命中k环为事件Ak，k∈N,k≤10，则事件Ak彼此互斥.
（1）记射击1次至少命中7环为事件A，
则P(A)=P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.23+0.27+0.19+0.16=0.85.
（2）记射击1次命中不足7环为事件B，事件A，B对立，
则P(B)=1−P(A)=1−0.85=0.15.
故答案为：0.85；0.15
【考点3：古典概型】
【知识点：古典概型】
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
[方法技巧] 解决古典概型实际问题的步骤
1．（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）为弘扬文明.和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”.“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：
对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（ ）A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25
B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64
C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为45
D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为27
【答案】BC
【分析】根据极差、中位数、众数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.
【详解】A选项，“党员先锋”项目参与人数的极差为76−24=52，中位数是27，A选项错误.
B选项，“邻里互助”项目参与人数的众数为11，
平均数为11×3+13+127+132+1437=64，B选项正确.
C选项，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的是：（星期二，星期三，星期四），
（星期三，星期四，星期五），（星期四，星期五，星期六），（星期五，星期六），星期日），
所以党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为45， C选项正确.
D选项，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的是：
（星期五，星期六），（星期六，星期日），
所以“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为26=13，D选项错误.
故选：BC
2．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）老师要从3名男生和4名女生（含小红同学）中选择3位同学参加比赛，那么小红同学被选中参加比赛的概率为_______.
【答案】37
【分析】列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求得.
【详解】记小红为a，其他6位同学分别为：1，2，3，4，5，6.
从7人中任取3人有：a12, a13, a14, a15, a16, a23,a24,a25,a26, a34,a35,a36, a45,a46, a56, 123,124,125,126, 134,135,136, 145,146, 156, 234,235,236 245,246,256,345,346,356,456，一共35种.
其中含有小红同学的有：a12, a13, a14, a15, a16, a23,a24,a25,a26, a34,a35,a36, a45,a46, a56,一共15种.
所以小红同学被选中参加比赛的概率为1535=37.
故答案为：37.
3．（2021秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）在某电视台的一档演讲比赛节目中，进入最后比赛的是2名女选手和1名男选手，已知备选演讲题目2个，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为__．
【答案】12
【分析】设两道题分别用A,B表示，通过列举法列出抽取的所有情况和恰有一男一女抽到同一题目的情况，由古典概型的概率计算公式可求其概率．
【详解】设两道题分别用A,B表示，则抽取的情况共有AAA，AAB，ABA，ABB，
BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个女选手抽取的题目，
第3个表示男选手抽取的题目，一共有8种；
其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有ABA，ABB，BAA，BAB，
共4种；
故所求事件的概率为P=48=12．
故答案为：12．
4．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开．某媒体从甲、乙等6名记者中选两人参加宣传报道，则甲、乙至少有一人被人选的概率为________．
【答案】35
【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式计算作答.
【详解】记6名记者分别为：甲，乙，1，2，3，4，从6名记者中任选两人，所有可能的情况：
甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4，乙1、乙2、乙3、乙4、12、13、14、23、24、34，共15种情况，
甲、乙至少有一人被入选有：甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4、乙1、乙2、乙3、乙4，共9种情况，
所以甲、乙至少有一人被人选的概率为915=35．
故答案为：35
5．（2020春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为___________．
【答案】821
【分析】运用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】用a,b,c表示甲、乙、丙三人领到红包的钱数，
由题意得共有(1,1,6),(1,6,1),(6,1,1);(1,2,5),(1,5,2),(2,1,5),(2,5,1),(5,1,2),(5,2,1);
(1,3,4),(3,1,4),(4,3,1),(1,4,3),(3,4,1),(4,1,3); 2,3,3,3,2,3,3,3,2;2,2,4,2,4,2,4,2,2 21种，
其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有(6,1,1),(5,1,2),(5,2,1),(4,3,1),(4,1,3),(4,2,2),(3,3,2)(3,2,3)8种，所以概率为821，
故答案为：821
6．（陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测（Ⅰ）文科数学试题）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3，记样本均值为x，样本标准差为s.
(1)求x,s；
(2)将质量在区间x−s,x+s内的零件定为一等品.
①估计这台机器生产的零件的一等品率；
②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.
【答案】(1)x=10，s=0.5
(2)①12；②710
【分析】（1）由平均数、标准差的计算公式求解；
（2）由列举法结合概率公式得出①②.
【详解】（1）x=11010.5+9.9+9.4+10.7+10.0+9.6+10.8+10.1+9.7+9.3=110×100=10
s2=11010.5−102+9.9−102+9.4−102+10.7−102+10.0−102+9.6−102
+10.8−102+10.1−102+9.7−102+9.3−102=110×2.5=0.25，所以s=0.5.
（2）①x−s,x+s=9.5,10.5，质量在区间9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为510=12；
②从5件一等品中，抽取2件，分别为9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.7，共10种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P=710.
7．（2023·全国·校联考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行､第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组；0,40,140,80,80,120,120,160,160,200,200,240,240,280（观看时长均在0,280内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图
(1)求a的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用分层抽样的方法在观看时长在200,240和240,280的学生中抽取6人､现从这6人中随机抽取3人分享观看感想，求抽取的3人中恰有2人的观看时长在200,240的概率.
【答案】(1)a=0.0040；中位数为160；(2)35
【分析】（1）由频率和频率和为1，能求出a的值，利用直方图中能估计样本数据的中位数；
（2）采用分层抽样的方法能求出观看时长在200,240和240,280内应抽取人数，然后利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由频率分布直方图性质得：
(0.0005+0.0020+a+0.0060+0.0065+a+0.0020)×40=1，
解得a=0.0040．
[0,160)的频率为(0.0005+0.0020+0.0040+0.0060)×40=0.5．
∴估计样本数据的中位数为160；
（2）解：采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，
则200,240中抽取6×+0.0020=4人，分别记为a，b，c，d，
240,280中抽取6×+0.0020=2人，分别记为A，B，
现从这6人中随机抽取3人分享观看感想，包含的基本事件有：
a,b,c,a,b,d,a,b,A,a,b,B,a,c,d,a,c,A,a,c,B,a,d,A,a,d,B,b,c,d, b,c,A,b,c,B,b,d,A,b,d,B,c,d,A,c,d,B,a,A,B,b,A,B,c,A,B,d,A,B,共20个，
抽取的3人中恰有2人的观看时长在200,240”基本事件有：
a,b,A,a,b,B,a,c,A,a,c,B,a,d,A,a,d,B, b,c,A,b,c,B,b,d,A,b,d,B,c,d,A,c,d,B,共12个，
所以抽取的3人中恰有2人的观看时长在200,240的概率为1220=35．
8．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组45,55，第二组55,65，第三组65,75，第四组75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a、b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）；
(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.
【答案】(1)a=0.005，b=0.025；
(2)平均数69.5，第60百分位数71.7；
(3)35
【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得a，b；
（2）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可；
（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．
【详解】（1）解：因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以(0.045+0.020+a)×10=0.7，
解得a=0.005，
所以前两组的频率之和为1−0.7=0.3，
即(a+b)×10=0.3，
所以b=0.025；
（2）解：又频率分布直方图可得众数为70，
平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为65+0.6−×10≈71.7；
（3）解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e，
这5人中选出2人，所有情况有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)．(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为610=35．
9．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130]．
(1)求语文成绩在120,130内的学生人数．
(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．
(3)若语文成绩在80,90内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在80,90内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)5
(2)0.21
(3)35．
【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为1求出a，即可求出语文成绩在120,130内的学生人数；
（2）直接利用频率分布直方图求概率；
（3）利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知2a+0.02+0.03+0.04×10=1，解得a=0.005，
语文成绩在120,130内的学生人数为0.005×10×100=5．
（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率120−11210×0.02×10+0.005×10=0.21．
（3）由频率分布直方图，知语文成绩在80,90内的学生有0.005×10×100=5人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c.
样本空间为{AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc}，其中抽到1名男生和1名女生的情况有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc，
所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为610=35．
10．（2021春·河南周口·高一校考期中）某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：
(1)分别求出a，b，x，y的值；
(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
(3)在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
【答案】(1)a=5,b=27,x=0.9,y=0.2
(2)第2组2人，第3组3人，第4组1人
(3)15
【分析】(1)根据频数、频率、样本容量的定义求解；
(2)根据分层抽样的定义求解；
(3)利用古典概率模型求解.
【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，
再结合频率分布直方图可知n＝250.025×10＝100，
∴a=100×0.01×10×0.5=5,
b=100×0.03×10×0.9=27,
x=1820=0.9,y=315=0.2.
（2）第2，3，4组回答正确的共有54人.
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，
每组分别抽取的人数为：第2组：1854×6＝2人，第3组：2754×6＝3人，
第4组：954×6＝1人.
（3）设所抽取的人中第2组的2人为A1,A2，
第3组的3人为B1,B2,B3，第4组的1人为C1.
则从6人中抽2人所有可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)
共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为315＝15.事件
定义
概率公式
互斥
事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
对立
事件
在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和eq \x\t(A)称为对立事件
P(eq \x\t(A))＝1－P(A)
命中环数
7
8
9
10
命中概率
0. 23
0. 27
0.19
0.16
项目 日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
党员先锋
24
27
26
25
37
76
72
邻里互助
11
13
11
11
127
132
143
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25，35)
18
x
第3组
[35，45)
b
0.9
第4组
[45，55)
9
0.36
第5组
[55，65)
3
y
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