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专题7.2 事件的独立性（3类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）
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这是一份专题7.2 事件的独立性（3类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册），文件包含专题72事件的独立性3类必考点北师大版必修第一册原卷版docx、专题72事件的独立性3类必考点北师大版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc127540782" 【基础知识】 PAGEREF _Tc127540782 \h 1
\l "_Tc127540783" 【考点1：独立事件的判断】 PAGEREF _Tc127540783 \h 2
\l "_Tc127540784" 【考点2：独立事件的乘法公式】 PAGEREF _Tc127540784 \h 2
\l "_Tc127540785" 【考点3：独立事件的实际应用】 PAGEREF _Tc127540785 \h 3
【基础知识】
【知识点：事件的互相独立性】
相互独立事件概率的求法
与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：
[方法技巧]
求相互独立事件概率的步骤
第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；
第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；
第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．
此外，也可以从对立事件入手计算概率．
【考点1：独立事件的判断】
【知识点：独立事件的判断】
1．（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与A2是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B， 那么事件A与B的关系正确的是（ ）
A．A与B相互独立B．A与B互为对立
C．A与B互斥D．以上说法都不正确
3．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai=“向上的点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6，B=“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．A1与B互斥B．A2+B=ΩC．A3与B相互独立D．A4∩B=∅
4．（2022·全国·高三专题练习）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B不是相互独立事件
C．B与C是对立事件D．A与C是相互独立事件
【考点2：独立事件的乘法公式】
【知识点：独立事件的乘法公式】
1．（2023·全国·高二专题练习）若PA∩B=19，PA=23，PB=13，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．互斥但不对立B．独立
C．对立D．独立且互斥
2．（2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A=“摸出的球是红球”，事件B=“摸出的球标号为偶数”，事件C=“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）
A．事件A与事件C互斥
B．事件B与事件C互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．事件B与事件C相互独立
3．（2023·全国·高一专题练习）对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中nΩ=18，nA=9，nB=6，nA∪B=12则（ ）
A．事件A与事件B互斥B．PA∪B=23
C．事件A与事件B相互独立D．PAB=16
4．（2023·高一课时练习）一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色．现以A、B、C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问事件A、B、C是否两两相互独立？
5．（2023秋·湖北咸宁·高二统考期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚反面朝上”为事件B，“两枚硬币朝上的面相同”为事件C，则 （ ）
A．PAB=PACB．事件A与事件B互斥
C．事件AB与事件C对立D．事件A与事件C相互独立
6．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（ ）
A．A与B相互独立B．A与D相互独立
C．B与C为互斥事件D．C与D为互斥事件
【考点3：独立事件的实际应用】
【知识点：独立事件的实际应用】
1．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（ ）
A．14B．13C．23D．34
2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（ ）
A．12B．13C．14D．15
3．（2023·高一课时练习）甲、乙两种种子的栽培成功率分别是0.7、0.6，现从两种种子中随机的各取一粒，求：
(1)两粒都栽培成功的概率；
(2)其中一粒成功，另一粒失败的概率；
(3)至少有一粒成功的概率．
4．（2023秋·湖北咸宁·高二统考期末）为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为23 ，乙同学晋级的概率为12，甲、乙两人是否晋级互不影响.
(1)求甲、乙两人同时晋级的概率；
(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.
5．（山东省威海市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为45，闯第二关成功的概率为12，闯第三关成功的概率为25．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．
6．（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息，赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响．
(1)估计甲运动员一箭命中10环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率；
(2)甲乙各射出一支箭，求有人命中10环的概率；
(3)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率．
7．（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34 ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为23，12. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
8．（山东省威海市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为45，闯第二关成功的概率为12，闯第三关成功的概率为25．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．
9．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为23，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了XX≤4个球后，甲队赢得整场比赛的概率.
10．（2023·全国·高三专题练习）若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组有1个一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍的概率为45，二档队伍胜三档队伍的概率为34，一档队伍胜二档队伍的概率为23，同档队伍之间比赛胜对方的概率为12．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是对阵三档球队．
(1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率；
(2)已知A1进决赛的概率约为13，B1进决赛的概率约为17，求一档球队夺冠的概率．
定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立
性质
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立
事件A，B相互独立
概率计算公式
A，B同时发生
P(AB)＝P(A)P(B)
A，B同时不发生
P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一个不发生
P＝1－P(AB)
＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生
P＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))
＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))
＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰有一个发生
P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)
＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)
＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
箭靶区域
环外
黑环
蓝环
红环
黄圈
区域颜色
白色
黑色
蓝色
红色
黄色
环数
1-2环|
3-4环
5环
6环
7环
8环
9环
10环
甲成绩（频数）
0
0
1
2
3
6
36
24
乙成绩（频数）
0
1
2
4
6
11
36
12
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc127540782" 【基础知识】 PAGEREF _Tc127540782 \h 1
\l "_Tc127540783" 【考点1：独立事件的判断】 PAGEREF _Tc127540783 \h 2
\l "_Tc127540784" 【考点2：独立事件的乘法公式】 PAGEREF _Tc127540784 \h 2
\l "_Tc127540785" 【考点3：独立事件的实际应用】 PAGEREF _Tc127540785 \h 3
【基础知识】
【知识点：事件的互相独立性】
相互独立事件概率的求法
与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：
[方法技巧]
求相互独立事件概率的步骤
第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；
第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；
第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．
此外，也可以从对立事件入手计算概率．
【考点1：独立事件的判断】
【知识点：独立事件的判断】
1．（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与A2是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B， 那么事件A与B的关系正确的是（ ）
A．A与B相互独立B．A与B互为对立
C．A与B互斥D．以上说法都不正确
3．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai=“向上的点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6，B=“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．A1与B互斥B．A2+B=ΩC．A3与B相互独立D．A4∩B=∅
4．（2022·全国·高三专题练习）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B不是相互独立事件
C．B与C是对立事件D．A与C是相互独立事件
【考点2：独立事件的乘法公式】
【知识点：独立事件的乘法公式】
1．（2023·全国·高二专题练习）若PA∩B=19，PA=23，PB=13，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．互斥但不对立B．独立
C．对立D．独立且互斥
2．（2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A=“摸出的球是红球”，事件B=“摸出的球标号为偶数”，事件C=“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）
A．事件A与事件C互斥
B．事件B与事件C互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．事件B与事件C相互独立
3．（2023·全国·高一专题练习）对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中nΩ=18，nA=9，nB=6，nA∪B=12则（ ）
A．事件A与事件B互斥B．PA∪B=23
C．事件A与事件B相互独立D．PAB=16
4．（2023·高一课时练习）一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色．现以A、B、C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问事件A、B、C是否两两相互独立？
5．（2023秋·湖北咸宁·高二统考期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚反面朝上”为事件B，“两枚硬币朝上的面相同”为事件C，则 （ ）
A．PAB=PACB．事件A与事件B互斥
C．事件AB与事件C对立D．事件A与事件C相互独立
6．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（ ）
A．A与B相互独立B．A与D相互独立
C．B与C为互斥事件D．C与D为互斥事件
【考点3：独立事件的实际应用】
【知识点：独立事件的实际应用】
1．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（ ）
A．14B．13C．23D．34
2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（ ）
A．12B．13C．14D．15
3．（2023·高一课时练习）甲、乙两种种子的栽培成功率分别是0.7、0.6，现从两种种子中随机的各取一粒，求：
(1)两粒都栽培成功的概率；
(2)其中一粒成功，另一粒失败的概率；
(3)至少有一粒成功的概率．
4．（2023秋·湖北咸宁·高二统考期末）为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为23 ，乙同学晋级的概率为12，甲、乙两人是否晋级互不影响.
(1)求甲、乙两人同时晋级的概率；
(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.
5．（山东省威海市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为45，闯第二关成功的概率为12，闯第三关成功的概率为25．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．
6．（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息，赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响．
(1)估计甲运动员一箭命中10环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率；
(2)甲乙各射出一支箭，求有人命中10环的概率；
(3)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率．
7．（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34 ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为23，12. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
8．（山东省威海市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为45，闯第二关成功的概率为12，闯第三关成功的概率为25．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．
9．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为23，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了XX≤4个球后，甲队赢得整场比赛的概率.
10．（2023·全国·高三专题练习）若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组有1个一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍的概率为45，二档队伍胜三档队伍的概率为34，一档队伍胜二档队伍的概率为23，同档队伍之间比赛胜对方的概率为12．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是对阵三档球队．
(1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率；
(2)已知A1进决赛的概率约为13，B1进决赛的概率约为17，求一档球队夺冠的概率．
定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立
性质
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立
事件A，B相互独立
概率计算公式
A，B同时发生
P(AB)＝P(A)P(B)
A，B同时不发生
P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一个不发生
P＝1－P(AB)
＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生
P＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))
＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))
＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰有一个发生
P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)
＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)
＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
箭靶区域
环外
黑环
蓝环
红环
黄圈
区域颜色
白色
黑色
蓝色
红色
黄色
环数
1-2环|
3-4环
5环
6环
7环
8环
9环
10环
甲成绩（频数）
0
0
1
2
3
6
36
24
乙成绩（频数）
0
1
2
4
6
11
36
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