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专题7.3 概率（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）
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这是一份专题7.3 概率（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册），文件包含专题73概率基础巩固卷北师大版必修第一册原卷版docx、专题73概率基础巩固卷北师大版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·高一单元测试）下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．流水不腐D．户枢不蠹
【答案】A
【分析】判断出四个现象是随机现象还是确定性现象，从而选出正确答案.
【详解】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象.
故选：A
2．（2022·上海·高二专题练习）考虑掷硬币试验，设事件A=“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为13
B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4
C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
【答案】D
【分析】根据随机事件的性质可判断A，B；根据频率与概率的关系可判断C，D.
【详解】掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率P=12×12×2=12，A错误；
掷8次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误；
重复掷硬币，事件A发生的频率无限接近于事件A发生的概率，C错误；
当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5，D正确.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立
【答案】A
【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.
【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A与B，A与C均相互独立．而A与B，A与C均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32， 42，52，43，53，54，
用古典概型概率计算公式易得P(A)=1220=35,P(B)=1220=35,P(C)=820=25．而事件AB表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以P(AB)=35×35=925=P(A)P(B)，所以A与B相互独立：同理，事件AC表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，P(AC)=35×25=625=P(A)P(C)，所以A与C相互独立．
故选:A．
4．（2022·高一单元测试）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】C
【分析】根据红球和黑球的数量，结合互斥事件和对立事件的定义，逐一对题目中的各个选项进行判断，即可得到结果.
【详解】当两个球都为黑球时， “至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，故A中的两个事件不互斥；
当两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与 “至少有一个红球”同时发生，故B中的两个事件不互斥；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，但有可能同时不发生，故C中两个事件互斥而不对立；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故D中两个事件对立．
故选：C．
5．（2022·上海·高二专题练习）若P(AB)=19，P(A)=23，P(B)=13，则事件A与B的关系是（ ）
A．事件A与B互斥B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又相互独立
【答案】C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵P(A)=1−P(A)=1−23=13，
∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0，
∴事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立.
故选：C
6．（2022春·云南曲靖·高二统考期末）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为23，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为19，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（ ）
A．16B．14C．227D．2227
【答案】B
【分析】设徒弟加工一个零件是精品的概率为p，由独立事件概率乘法公式得p2=14，即可求得徒弟加工2个零件都是精品的概率.
【详解】设徒弟加工一个零件是精品的概率为p，由是否加工出精品均互不影响可得，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为23×23×p×p=19，
解得p2=14，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为14.
故选：B.
7．（2023·全国·高一专题练习）某人的保险箱密码由三个数字（每个数字都可以是0到9中的某一个）构成，某人随便输入三个数字，恰好能够解锁的概率为（ ）
A．1990B．31000C．11000D．以上都不对
【答案】C
【分析】用概率公式直接计算即可.
【详解】解：每个数字都是0到9中的某一个，所以每个数字都有10种可能，共有三个数字，共有10×10×10=1000种情况，
而恰好能解锁只有一种情况，所以概率为11000.
故选：C.
8．（2022春·广西南宁·高二校考阶段练习）某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A．15B．310C．25D．12
【答案】B
【分析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】记另3名同学分别为a，b，c，
所以基本事件为(a,b)，(a,c)，（a，小王），（a，小张），(b,c)，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种．
小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为(a,b)，(a,c)，(b,c)，共3种，
综上，小王和小张都没有挑出的概率为310．
故选：B.
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是（ ）
A．A⊆CB．A∩B＝∅
C．A∪B＝CD．B∩C＝∅
【答案】ABC
【分析】写出事件A,B,C，判断即可.
【详解】A={出现点数为1,3,5}，B={出现2点}，C={出现点数为1,2,3,5}.
所以A⊆C，A∩B=∅，A∪B=C，B∩C=B.
所以选项A、B、C正确，选项D不正确．
故选：ABC.
10．（2022·高一课时练习）甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是16B．甲不输的概率是12
C．乙输的概率是23D．乙不输的概率是12
【答案】BCD
【分析】由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断.
【详解】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是1−12−13=16，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)=16+12=23，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为16，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(B)=13+12=56，故D错误；
故选：BCD
11．（2022秋·湖南永州·高二校考期中）利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”， B为“是合格品”， C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）
A．P(B)=710
B．P(A∩B)=0
C．P(B∩C)=7100
D．P(A∪B)=910
【答案】ABD
【分析】依题意可得A、B、C为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到P(A)、P(B)、P(C)，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D；
【详解】解：由题意知A、B、C为互斥事件，∴P(A∩B)=P(B∩C)=0，故B正确、C错误；
∵从100件中抽取产品符合古典概型的条件，∴P(A)=210、P(B)=710、P(C)=110，
则P(A∪B)=PA+PB=910，∴A、D正确，
故选：ABD.
12．（2023·全国·高三专题练习）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．PA=0.55B．PB=0.18
C．PC=0.27D．PB+C=0.55
【答案】ABC
【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.
【详解】依题意，P(A)=55100=0.55，P(B)=18100=0.18，
显然事件A，B互斥，P(C)=1−P(A+B)=1−P(A)−P(B)=0.27，
事件B，C互斥，则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·上海·高二专题练习）将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为__________.（结果用最简分数表示）
【答案】19
【分析】将一枚骰子先后抛两次，先计算所有可能的情况数，再分析其中向上的点数之积为12的情况数，进而求得概率即可
【详解】由题意，将一枚骰子先后抛两次，所有可能的情况有6×6=36种，其中向上的点数之积为12的情况有2×6,3×4,4×3,6×2共4种情况，故向上的点数之积为12的概率为436=19
故答案为：19
14．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】310##0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P=310.
故答案为：310.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C53=10
甲、乙都入选的方法数为C31=3，所以甲、乙都入选的概率P=310
故答案为：310
15．（2016春·安徽池州·高二统考期末）如图，A,B,C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9,0.8,0.7,如果系统中至少有1个开关能正常工作,则该系统就能正常工作，那么该系统正常工作的概率是____________
【答案】0.994
【分析】根据题意，可得开关之间是相互独立的，通过概率公式，可知用乘法，根据正难则反的做题方法，可得答案.
【详解】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，A,B,C，3种开关中至少有1个开关能正常工作的对立事件是3种开关都不能工作，分别记A,B,C开关能正常工作分别为事件A1,A2,A3，PE=1−PA1A2A3=1−0.1×0.2×0.3=0.994，
故答案为：0.994.
16．（2022·广西钦州·统考模拟预测）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为____________．
【答案】310
【分析】利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.
【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为310．
故答案为：310．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2022·上海·高二专题练习）一个学校的足球队、篮球队和乒乓球队分别有36，11，11名成员，一些成员参加了不止1支球队，具体情况如图所示，随机选取1名成员.
(1)他只属于1支球队的概率是多少？
(2)他属于不超过2支球队的概率是多少？
【答案】(1)67
(2)4749
【分析】（1）根据题干可得3支球队的总人数，及只属于1支球队的人数，利用古典概型的概率公式即可求解；
（2）根据题干可得属于3支球队的人数，利用对立事件的概率公式即可求解.
【详解】（1）解：设“随机选取1名成员，他只属于1支球队”为事件A，
由图可知，3支球队共有32+2+2+4+3+6=49（名）队员，
其中只属于1支球队的有32+4+6=42（名），
则P(A)=4249=67.
（2）设“随机选取1名成员，他属于不超过2支球队”为事件B，
则它的对立事件是“随机选取1名成员，他属于3支球队”，这样的队员只有2名，
∴P(B)=1−P(B)=1−249=4749.
18．（2022·全国·高三专题练习）某市统计近几年新生儿出生数及其中的男婴数（单位：人）如下：
(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；
(2)该市男婴出生的概率约为多少？（精确到0.01）
【答案】(1)0.524，0.521，0.512，0.513
(2)0.52
【分析】（1）根据表中数据计算即可；
（2）对（1）中的四组数据取平均值.
【详解】（1）p1=11453÷21840≈0.524，
p2=12031÷23070≈0.521，
p3=10297÷20094≈0.512，
p4=10242÷19982≈0.513.
（2）由（1）中数据，该市男婴出生的概率
P=0.524+0.521+0.512+0.5134≈0.52.
19．（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）袋子里有6个大小､质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.
(1)写出样本空间；
(2)求取出两球颜色不同的概率；
(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.
【答案】(1)答案见解析；
(2)1115；
(3)45.
【分析】（1）将1个红球记为a,2个白球记为b1,b2,3个黑球记为c1,c2,c3，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；
（2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率；
（3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率.
【详解】（1）将1个红球记为a,2个白球记为b1,b2,3个黑球记为c1,c2,c3，则样本空间Ω=a,b1,a,b2,a,c1,a,c2,a,c3,b1,b2,b1,c1,b1,c2,b1,c3, b2,c1,b2,c2,b2,c3,c1,c2,c1,c3,c2,c3，共15个样本点.
（2）记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，则A=a,b1,a,b2,a,c1,a,c2,a,c3,b1,c1,b1,c2,b1,c3,b2,c1, b2,c2,b2,c3,A包含11个样本点，所以PA=1115.
（3）记B事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，则B=a,b1,a,b2,a,c1,a,c2,a,c3,b1,b2,b1,c1,b1,c2,b1,c3, b2,c1,b2,c2,b2,c3,B包含12个样本点，所以PB=1215=45.
20．（2022·高二课时练习）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a=(m,n)，b=(1,−3).
（1）求使得事件“a⊥b”发生的概率；
（2）求使得事件“a≤b”发生的概率.
【答案】（1）118 ；（2）16.
【分析】（1）由题意，得到m、n的取值集合，可得点(m，n)的总取法有36种，当a⊥b时，解得m与n的关系，即可得满足条件的(m，n)的个数，代入概率公式，即可得答案.
（2）当a≤b时，解得m与n的关系，即可得满足条件的(m，n)的个数，代入概率公式，即可得答案.
【详解】（1）由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}、n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种.
当a⊥b时，得m-3n=0，即m=3n，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，
所以事件a⊥b的概率P=236=118.
（2）当a≤b时，可得m2+n2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况，
其概率P=636=16.
【点睛】本题考查古典概型概率求法，解题的关键是列出基本事件的个数，属基础题.
21．（2022秋·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期中）A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
【答案】（1）49；（2）604729.
【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．
（2）根据对立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：（1）设Ai表示事件:一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P(A1)=2×13×23=49，P(A2)=23×23=49．P(B0)=12×12=14，
P(B1)=2×12×12=12，所求概率为：
P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
=14×49+14×49+12×49=49
（2）依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的.所以概率P=1−1−493=604729；
【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的概率计算，属于中档题.
22．（2022秋·湖南长沙·高二校考开学考试）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求a；
（2）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．
【答案】（1）a=0.02；（2）74；（3）710．
【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于1即可求解.
（2）根据频率分布直方图，由小矩形底边中点横坐标与小矩形面积乘积之和即可求解.
（3）根据频率分布直方图得出频率比，从中任选2人列出基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】解：（1）根据频率分布直方图得：(0.005+0.01+2a+0.045)×10=1
∴a=0.02
（2）根据频率分布直方图得：
x=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74，
（3）由于[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1∶2∶2，
故抽取的5人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分别为：1人，2人，2人，
记[50,60)的1人为a，[60,70)的2人为b，c，[80,90)的2人为A，B
故随机抽取2人共有(a,b)，(a,c)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,A)，
(b,B)，(c,A)，(c,B)，(A,B)10种，
其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的包含7种，
故概率P=710．投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
时间
2017
2018
2019
2020
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·高一单元测试）下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．流水不腐D．户枢不蠹
【答案】A
【分析】判断出四个现象是随机现象还是确定性现象，从而选出正确答案.
【详解】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象.
故选：A
2．（2022·上海·高二专题练习）考虑掷硬币试验，设事件A=“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为13
B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4
C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
【答案】D
【分析】根据随机事件的性质可判断A，B；根据频率与概率的关系可判断C，D.
【详解】掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率P=12×12×2=12，A错误；
掷8次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误；
重复掷硬币，事件A发生的频率无限接近于事件A发生的概率，C错误；
当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5，D正确.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立
【答案】A
【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.
【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A与B，A与C均相互独立．而A与B，A与C均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32， 42，52，43，53，54，
用古典概型概率计算公式易得P(A)=1220=35,P(B)=1220=35,P(C)=820=25．而事件AB表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以P(AB)=35×35=925=P(A)P(B)，所以A与B相互独立：同理，事件AC表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，P(AC)=35×25=625=P(A)P(C)，所以A与C相互独立．
故选:A．
4．（2022·高一单元测试）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】C
【分析】根据红球和黑球的数量，结合互斥事件和对立事件的定义，逐一对题目中的各个选项进行判断，即可得到结果.
【详解】当两个球都为黑球时， “至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，故A中的两个事件不互斥；
当两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与 “至少有一个红球”同时发生，故B中的两个事件不互斥；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，但有可能同时不发生，故C中两个事件互斥而不对立；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故D中两个事件对立．
故选：C．
5．（2022·上海·高二专题练习）若P(AB)=19，P(A)=23，P(B)=13，则事件A与B的关系是（ ）
A．事件A与B互斥B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又相互独立
【答案】C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵P(A)=1−P(A)=1−23=13，
∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0，
∴事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立.
故选：C
6．（2022春·云南曲靖·高二统考期末）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为23，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为19，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（ ）
A．16B．14C．227D．2227
【答案】B
【分析】设徒弟加工一个零件是精品的概率为p，由独立事件概率乘法公式得p2=14，即可求得徒弟加工2个零件都是精品的概率.
【详解】设徒弟加工一个零件是精品的概率为p，由是否加工出精品均互不影响可得，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为23×23×p×p=19，
解得p2=14，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为14.
故选：B.
7．（2023·全国·高一专题练习）某人的保险箱密码由三个数字（每个数字都可以是0到9中的某一个）构成，某人随便输入三个数字，恰好能够解锁的概率为（ ）
A．1990B．31000C．11000D．以上都不对
【答案】C
【分析】用概率公式直接计算即可.
【详解】解：每个数字都是0到9中的某一个，所以每个数字都有10种可能，共有三个数字，共有10×10×10=1000种情况，
而恰好能解锁只有一种情况，所以概率为11000.
故选：C.
8．（2022春·广西南宁·高二校考阶段练习）某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A．15B．310C．25D．12
【答案】B
【分析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】记另3名同学分别为a，b，c，
所以基本事件为(a,b)，(a,c)，（a，小王），（a，小张），(b,c)，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种．
小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为(a,b)，(a,c)，(b,c)，共3种，
综上，小王和小张都没有挑出的概率为310．
故选：B.
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是（ ）
A．A⊆CB．A∩B＝∅
C．A∪B＝CD．B∩C＝∅
【答案】ABC
【分析】写出事件A,B,C，判断即可.
【详解】A={出现点数为1,3,5}，B={出现2点}，C={出现点数为1,2,3,5}.
所以A⊆C，A∩B=∅，A∪B=C，B∩C=B.
所以选项A、B、C正确，选项D不正确．
故选：ABC.
10．（2022·高一课时练习）甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是16B．甲不输的概率是12
C．乙输的概率是23D．乙不输的概率是12
【答案】BCD
【分析】由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断.
【详解】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是1−12−13=16，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)=16+12=23，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为16，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(B)=13+12=56，故D错误；
故选：BCD
11．（2022秋·湖南永州·高二校考期中）利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”， B为“是合格品”， C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）
A．P(B)=710
B．P(A∩B)=0
C．P(B∩C)=7100
D．P(A∪B)=910
【答案】ABD
【分析】依题意可得A、B、C为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到P(A)、P(B)、P(C)，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D；
【详解】解：由题意知A、B、C为互斥事件，∴P(A∩B)=P(B∩C)=0，故B正确、C错误；
∵从100件中抽取产品符合古典概型的条件，∴P(A)=210、P(B)=710、P(C)=110，
则P(A∪B)=PA+PB=910，∴A、D正确，
故选：ABD.
12．（2023·全国·高三专题练习）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．PA=0.55B．PB=0.18
C．PC=0.27D．PB+C=0.55
【答案】ABC
【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.
【详解】依题意，P(A)=55100=0.55，P(B)=18100=0.18，
显然事件A，B互斥，P(C)=1−P(A+B)=1−P(A)−P(B)=0.27，
事件B，C互斥，则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·上海·高二专题练习）将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为__________.（结果用最简分数表示）
【答案】19
【分析】将一枚骰子先后抛两次，先计算所有可能的情况数，再分析其中向上的点数之积为12的情况数，进而求得概率即可
【详解】由题意，将一枚骰子先后抛两次，所有可能的情况有6×6=36种，其中向上的点数之积为12的情况有2×6,3×4,4×3,6×2共4种情况，故向上的点数之积为12的概率为436=19
故答案为：19
14．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】310##0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P=310.
故答案为：310.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C53=10
甲、乙都入选的方法数为C31=3，所以甲、乙都入选的概率P=310
故答案为：310
15．（2016春·安徽池州·高二统考期末）如图，A,B,C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9,0.8,0.7,如果系统中至少有1个开关能正常工作,则该系统就能正常工作，那么该系统正常工作的概率是____________
【答案】0.994
【分析】根据题意，可得开关之间是相互独立的，通过概率公式，可知用乘法，根据正难则反的做题方法，可得答案.
【详解】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，A,B,C，3种开关中至少有1个开关能正常工作的对立事件是3种开关都不能工作，分别记A,B,C开关能正常工作分别为事件A1,A2,A3，PE=1−PA1A2A3=1−0.1×0.2×0.3=0.994，
故答案为：0.994.
16．（2022·广西钦州·统考模拟预测）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为____________．
【答案】310
【分析】利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.
【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为310．
故答案为：310．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2022·上海·高二专题练习）一个学校的足球队、篮球队和乒乓球队分别有36，11，11名成员，一些成员参加了不止1支球队，具体情况如图所示，随机选取1名成员.
(1)他只属于1支球队的概率是多少？
(2)他属于不超过2支球队的概率是多少？
【答案】(1)67
(2)4749
【分析】（1）根据题干可得3支球队的总人数，及只属于1支球队的人数，利用古典概型的概率公式即可求解；
（2）根据题干可得属于3支球队的人数，利用对立事件的概率公式即可求解.
【详解】（1）解：设“随机选取1名成员，他只属于1支球队”为事件A，
由图可知，3支球队共有32+2+2+4+3+6=49（名）队员，
其中只属于1支球队的有32+4+6=42（名），
则P(A)=4249=67.
（2）设“随机选取1名成员，他属于不超过2支球队”为事件B，
则它的对立事件是“随机选取1名成员，他属于3支球队”，这样的队员只有2名，
∴P(B)=1−P(B)=1−249=4749.
18．（2022·全国·高三专题练习）某市统计近几年新生儿出生数及其中的男婴数（单位：人）如下：
(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；
(2)该市男婴出生的概率约为多少？（精确到0.01）
【答案】(1)0.524，0.521，0.512，0.513
(2)0.52
【分析】（1）根据表中数据计算即可；
（2）对（1）中的四组数据取平均值.
【详解】（1）p1=11453÷21840≈0.524，
p2=12031÷23070≈0.521，
p3=10297÷20094≈0.512，
p4=10242÷19982≈0.513.
（2）由（1）中数据，该市男婴出生的概率
P=0.524+0.521+0.512+0.5134≈0.52.
19．（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）袋子里有6个大小､质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.
(1)写出样本空间；
(2)求取出两球颜色不同的概率；
(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.
【答案】(1)答案见解析；
(2)1115；
(3)45.
【分析】（1）将1个红球记为a,2个白球记为b1,b2,3个黑球记为c1,c2,c3，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；
（2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率；
（3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率.
【详解】（1）将1个红球记为a,2个白球记为b1,b2,3个黑球记为c1,c2,c3，则样本空间Ω=a,b1,a,b2,a,c1,a,c2,a,c3,b1,b2,b1,c1,b1,c2,b1,c3, b2,c1,b2,c2,b2,c3,c1,c2,c1,c3,c2,c3，共15个样本点.
（2）记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，则A=a,b1,a,b2,a,c1,a,c2,a,c3,b1,c1,b1,c2,b1,c3,b2,c1, b2,c2,b2,c3,A包含11个样本点，所以PA=1115.
（3）记B事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，则B=a,b1,a,b2,a,c1,a,c2,a,c3,b1,b2,b1,c1,b1,c2,b1,c3, b2,c1,b2,c2,b2,c3,B包含12个样本点，所以PB=1215=45.
20．（2022·高二课时练习）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a=(m,n)，b=(1,−3).
（1）求使得事件“a⊥b”发生的概率；
（2）求使得事件“a≤b”发生的概率.
【答案】（1）118 ；（2）16.
【分析】（1）由题意，得到m、n的取值集合，可得点(m，n)的总取法有36种，当a⊥b时，解得m与n的关系，即可得满足条件的(m，n)的个数，代入概率公式，即可得答案.
（2）当a≤b时，解得m与n的关系，即可得满足条件的(m，n)的个数，代入概率公式，即可得答案.
【详解】（1）由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}、n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种.
当a⊥b时，得m-3n=0，即m=3n，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，
所以事件a⊥b的概率P=236=118.
（2）当a≤b时，可得m2+n2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况，
其概率P=636=16.
【点睛】本题考查古典概型概率求法，解题的关键是列出基本事件的个数，属基础题.
21．（2022秋·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期中）A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
【答案】（1）49；（2）604729.
【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．
（2）根据对立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：（1）设Ai表示事件:一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P(A1)=2×13×23=49，P(A2)=23×23=49．P(B0)=12×12=14，
P(B1)=2×12×12=12，所求概率为：
P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
=14×49+14×49+12×49=49
（2）依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的.所以概率P=1−1−493=604729；
【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的概率计算，属于中档题.
22．（2022秋·湖南长沙·高二校考开学考试）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求a；
（2）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．
【答案】（1）a=0.02；（2）74；（3）710．
【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于1即可求解.
（2）根据频率分布直方图，由小矩形底边中点横坐标与小矩形面积乘积之和即可求解.
（3）根据频率分布直方图得出频率比，从中任选2人列出基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】解：（1）根据频率分布直方图得：(0.005+0.01+2a+0.045)×10=1
∴a=0.02
（2）根据频率分布直方图得：
x=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74，
（3）由于[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1∶2∶2，
故抽取的5人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分别为：1人，2人，2人，
记[50,60)的1人为a，[60,70)的2人为b，c，[80,90)的2人为A，B
故随机抽取2人共有(a,b)，(a,c)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,A)，
(b,B)，(c,A)，(c,B)，(A,B)10种，
其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的包含7种，
故概率P=710．投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
时间
2017
2018
2019
2020
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
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