山东省青岛平度市第九中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份山东省青岛平度市第九中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知为第二象限角，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
5．不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数B．函数有两个零点
C．在区间上单调递减D．有最大值，没有最小值
8．已知正数，满足，，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．锐角是第一象限角
B．若角的终边过点，则
C．半圆所对的圆心角是
D．“”是“角为第一或第二象限角”的充要条件
10．有关函数，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．最小值为4
C．当时，D．函数有两个零点
11．下列命题是真命题的是（ ）
A．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若是一次函数，满足，则
C．函数的图象与y轴最多有一个交点
D．函数在上是单调递减函数
12．已知，分别是函数和的零点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：________．
14．已知幂函数，若，则a的取值范围是________．
15．若函数是定义在上偶函数，，则________．
16．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．若过滤过程中废水中留存的污染物数量与时间t（小时）的关系为（为最初污染物数量，k为常数），且前4小时消除了20%的污染物，则污染物消除至最初的64%还需要过滤________小时．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知不等式的解集为，集合．
（1）求实数a，b的值；
（2）若，求实数t的取值范围．
18．（12分）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
19．（12分）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）已知函数在上单调递增，且，求m的取值范围．
20．（12分）已知函数．
（1）用定义证明函数是增函数；
（2）若，且存在实数t，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
21．（12分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．
（1）求关于x的函数表达式；
（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
22．已知函数，．
（1）求不等式的解集；
（2）若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
平度市第九中学高一上学期第二次月考（数学试题）
参考答案与评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．15．616．4
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）因为不等式的解集为，
所以，3是方程的两个根
法一：由根与系数的关系得
法二：代入得
解得
（2）由，，得
解得实数t的取值范围为．
18．【解析】法一：（1）由于，，
∴两边平方得∴
（2）由得，
又由（1）得，所以，则，∴
（3）由，解得则
法二：由，解得或
由得，所以舍去，故
（1）
（2）
（3）
19．【解析】（1）函数为上的偶函数。
证明如下：函数的定义域为，，则
法一：有，
即，故函数为上的偶函数。
法二：
即，故函数为上的偶函数。
（2）因为函数在上单调递增，又是上的偶函数，
所以在上单调递减，
又，则，
由上面不等式得，解得或
故m的取值范围是或．
20．【解析】（1）证明：函数定义域为，
设，且，对于，由，可得，
即有，则为定义域上的增函数，即函数是增函数．
（2）因为，则，
又函数定义域为，且，
所以为上的奇函数，故为上的奇函数，也为增函数，
由不等式得，，
即有，即，由知，当时，取得最小值，若存在实数t，使得不等式成立，则，即实数k的取值范围是．
21．（1）解：根据题意，可算得，．
因为，所以，所以，．
（2）解：根据题意，可知
，
当时，．综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为．
22．【解析】（1）由题，
①当时，不等式为的解集为
原不等式可化为，由，且
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
④当时，不等式的解集为
⑤当时，，不等式的解集为；
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式为的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）当时，令，
当且仅当时取等号，
（方法1）则关于x的方程可化为，
关于x的方程有四个不等实根，
即有两个不同正根，
则
因为得，再由得，
由知，
存在使不等式成立，
故，即，
解得或，
综合可得．
故实数a的取值范围是．
（方法2）关于x的方程有四个不同的实根，即
图象与有两个交点。
（1）在当时，在图象过点和，
则与在只有一个交点，不满足题意。
（2）在当时，在图象过点和，
则与在要有2个交点，
要满足
即
综合可得，故实数a的取值范围是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
A
A
A
B
B
题号
9
10
11
12
答案
AC
AD
AC
ABD