名校教研联盟2023-2024学年高三上学期12月联考（全国卷）文科数学【含答案解析】

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1. 已知复数是实数，则（ ）
A. 0B. －1C. 2D. －2
2. 设全集，集合A，B满足，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知一个三棱锥的主视图、左视图和俯视图均为斜边长为4的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
5. 已知是定义域为的偶函数，且其图像关于点对称，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面直角坐标系内的动点满足，则P满足的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线：，：，若直线l：与交于点A，B，且与交于点P，Q，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的面积（ ）
A. 1B. C. D.
9. 已知函数在最小值为－1，则（ ）
A. 2eB. 3C. eD. 1
10. 如图，已知圆柱斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
11. 已知A，B是圆C：的两点，且是正三角形，则直线AB的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数，过坐标原点O作曲线的切线l，切点为A，过A且与l垂直的直线交x轴于点B，则面积的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为______.
14. 已知某圆台的上底面圆心为，半径为r，下底面圆心为，半径为2r，高为h.若该圆台的外接球球心为O，且，则______.
15. 若双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是其右支上的动点，与其左支交于点Q.若存在P，使得，则C的离心率的取值范围为______.
16. 已知O为坐标原点，点，P为圆上一点，则的最大值为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 某酒店为了调查入住宾客对该酒店服务的满意率，对一个月来曾入住过的顾客进行电话回访，回访结果显示，顾客的满意率为80%.在不满意的顾客中，对住宿环境不满意的占60%，对服务员的服务态度不满意的占40%.
（1）若在电话回访的所有顾客中，对住宿环境不满意的顾客共有240人，求此次电话回访的顾客总数；
（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顾客中，随机选择两名进行回访，求甲、乙两人中至少一人被选中的概率.
18. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
19. 已知等比数列的公比，且，首项，前n项和为.
（1）若，且为定值，求q值；
（2）若对任意恒成立，求q的取值范围.
20. 已知椭圆C：的右焦点为，左顶点为A.过点F且不与x轴重合的直线l与C交于P，Q两点（P在x轴上方），直线AP交直线：于点M.当P的横坐标为时，.
（1）求C的标准方程；
（2）若，求的值.
21. 已知.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，设，且不等式的解集为，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为.
（1）以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，求圆C直角坐标方程；
（2）求圆C上的点到直线距离的最小值.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知正数满足.
（1）若，求的最小值；
（2）证明：.