专题01 有理数及有理数的运算之八大题型-【备考期末】2023-2024学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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相反意义的量
例题：（2023上·云南红河·七年级统考期末）一个月内，若小明体重增加记作，则小华体重减少记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：小华体重减少记作，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量．
【变式训练】
1．（2022上·安徽池州·七年级统考期末）下列各对关系中，不具有相反意义的量是（ ）
A．收入元与支出元B．气温上升与下降
C．前进与后退D．身高增加与体重减少
【答案】D
【分析】相反意义的量是指，具有意义相反，成对出现，有数量（数量可以相等，也可以不等），是同类量，由此即可求解．
【详解】解：、收入元与支出元，是具有相反意义的量，不符合题意；
、气温上升与下降，是具有相反意义的量，不符合题意；
、前进与后退，是具有相反意义的量，不符合题意；
、身高增加与体重减少，身高与体重不是同类量，不具有相反意义的量，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查具有相反意义的量的理解，掌握其概念，正确识别具有相反意义的量是解题的关键．
2．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果高于海平面260米记为米，那么低于海平面300米应记为 ．
【答案】米
【分析】根据相反意义的量进行求解即可．
【详解】解：由高于海平面260米记为米可得，
低于海平面300米记作米．
故答案：米．
【点睛】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．
有理数的分类
例题：（2023上·江苏常州·七年级统考期末）下列各数：，，3.14，0，其中有理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】根据有理数的定义解答即可．
【详解】解：在，，3.14，0，中，有理数有，3.14，0，，共4个．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的定义．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
1．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）在，，，，……中，有理数的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】根据有理数的定义，即可求解．
【详解】解：在，，，，……中，有理数有，，，有3个，，……，不是有理数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的定义，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．
2．（2023上·陕西安康·七年级统考期末）把下列各数填在相应的集合里：
，，，，，，，，，，．
负数集合：{__________…}；
整数集合：{__________…}．
【答案】负数集合：；整数集合：．
【分析】根据题目中的数据，可以将数据填入相应的集合中即可．
【详解】负数集合：；
整数集合：；
【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是明确题意，正确理解有理数的分类．
求一个数的相反数、绝对值
例题：（2022上·广东阳江·七年级统考期末）的相反数是（ ）
A．B．2023C．D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】的相反数是2023，
故选B．
【变式训练】
1．（2023上·云南楚雄·七年级统考期末）的绝对值是 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：的绝对值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2．（2022上·浙江杭州·七年级统考期末）2的相反数是 ，－3的绝对值是 ．
【答案】
【分析】根据相反数的定义，绝对值的概念进行求解即可．
【详解】解：2的相反数是，－3的绝对值是3．
故答案为：，
【点睛】本题考查了相反数的意义，求一个数的绝对值，掌握相反数的意义和绝对值的意义是解题的关键．
科学记数法
例题：（2022上·河南郑州·七年级校考期末）每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远，它距地球的距离约为15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为（ ）
A．千米B．千米C．千米D．千米
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：将15000000千米用科学记数法表示为千米．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【变式训练】
1．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）截止到12月12日16时45分，“嫦娥四号”探测器在经过约396000秒的奔月飞行后，达到月球附近，数字396000用科学计算法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）2022 年北京冬奥会开幕式的冰雪五环由 21000 个灯珠组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把开模式推向新的高度，将数据21000 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：将数据21000 用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
有理数的混合运算
例题：（2022上·云南红河·七年级统考期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）先写成省略加号的和的形式，再计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可．
【详解】（1）解：．
（2）．
【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，含乘方的有理数的混合运算，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题，如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法运算定律的应用．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解： ；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
程序流程图与有理数计算
例题：（2023上·四川眉山·七年级统考期末）下图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为时，则输出的结果为（ ）

A．1B．5C．2D．6
【答案】B
【分析】将代入题目所给的程序图进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了程序图，有理数的混合运算，解题的关键是理解根据题目所给程序图的运算顺序．
【变式训练】
1．（2023上·山东威海·六年级统考期末）按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ．
【答案】5
【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可．
【详解】解：把代入得：，
由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将输入，得：
，满足大于3的要求；
则输出结果是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
2．（2022上·广东梅州·七年级校考期末）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ．

【答案】
【分析】根据程序进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．
新定义型有理数的运算
例题：（2022上·七年级课时练习）对于有理数、，定义一种新运算，规定，则 ．
【答案】7
【分析】根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可．
【详解】解：，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂新定义运算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）对于任意有理数，定义一种新运算：规定，如，则 ．
【答案】40
【分析】根据定义，先计算，再计算即可求解．
【详解】解：由题意得：
故
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算．掌握相关定义是解题关键．
2．（2023上·湖南郴州·七年级统考期末）对非零有理数a，b，定义运算：，则 ．
【答案】
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
有理数运算的实际应用
例题：（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）在近期疫情防控战役中，某志愿者驾驶汽车沿东西方向的大街巡逻，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行程记录如下（单位：千米）：
，，，，，，，，，．
(1)在巡逻过程中，B地离出发点A有多远？B地在A地的什么方向？
(2)若汽车每千米耗油升，油箱容量为29升，求油箱中还余多少升油？
【答案】(1)B地在A地的东方，且B地距离A地3千米远
(2)油箱里还有升的油
【分析】（1）把所有行程记录相加，然后根据正负数的意义解答；
（2）用乘以行程记录的绝对值的和，然后计算余油即可得解．
【详解】（1）解：；
∴B地在A地的东方，且B地距离A地3千米远．
（2）∵，
∴，
∴油箱里还有升的油．
【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加法运算的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划每日生产量相比情况如下表(增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数)：
(1)本周产量最多的一日生产了 个口罩；
(2)本周产量最少的一日生产了 个口罩；
(3)请你根据记录求出本周实际共生产多少个口罩？
【答案】(1)
(2)
(3)个
【分析】（1）根据正负数的意义，可知星期六产量最多，用即可求解．
（2）根据正负数的意义，可知星期二产量最少，用即可求解．
（3）用乘以再加上表格中的数据，即可求解．
【详解】（1）解：星期六产量最多，
故答案为：．
（2）解：星期二产量最少，
故答案为：．
（3）解：(个)
答：本周实际共生产个口罩．
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算的应用，有理数的乘法的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
2．（2023上·河南南阳·七年级校考期末）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
(1)8筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？
【答案】(1)千克
(2)不足千克
(3)元
【分析】（1）用最重一筐与标准质量的差值减去最轻一筐与标准质量的差值即可；
（2）将筐白菜与标准质量的差值全部相加即可；
（3）计算出筐白菜的总重量，进而求其总价格．
【详解】（1）解：（千克）．
答：筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重千克．
（2）解：（千克）．
答：与标准质量比较，筐白菜总计不足千克．
（3）解：这筐白菜的总重量为：（千克），
若白菜每千克售价元，则这筐白菜总共可卖（元）．
答：若白菜每千克售价元，则这筐白菜总共可卖元．
【点睛】本题考查了有理数的加减及其应用，熟练掌握相关计算规则是解题的关键．
一、单选题
1．（2022上·广东阳江·七年级统考期末）的相反数是（ ）
A．2023B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握“只有符合不同的两个数互为相反数”．
【详解】解：的相反数是2023．
故选：A．
2．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）若一个人体重增加5千克时体重变化记作+5千克，则这个人体重减少3千克时体重变化记作（ ）
A．8千克B．2千克C．3千克D．千克
【答案】D
【分析】主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：体重增加记为正，则体重减少就记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：体重增加5千克，记作：+5千克，那么减少3千克，记作千克；
故选：D．
【点睛】本题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）在，，，，……中，有理数的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】根据有理数的定义，即可求解．
【详解】解：在，，，，……中，有理数有，，，有3个，，……，不是有理数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的定义，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．
4．（2023下·北京朝阳·七年级校考期末）下列各组运算中，运算后结果相等的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方的法则计算即可．
【详解】解：、，，运算后结果不相等，故本选项不符合题意；
B、，，运算后结相等，故本选项符合题意；
C、，，运算后结果不相等，故本选项不符合题意；
D、，，运算后结果不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记法则是解题的关键．
5．（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）设a，b为自然数，定义，则的值（ ）
A．34B．58C．74D．98
【答案】C
【分析】由，可知，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于理解题中新运算法则．
二、填空题
6．（2022上·广东江门·七年级统考期末）计算： ．
【答案】2023
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【详解】解：的相反数是2023，
故，
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
7．（2023上·四川眉山·七年级统考期末）汽车向东行驶3.5千米记作千米，那么汽车向西行驶千米记作 千米．
【答案】
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：∵汽车向东行驶3.5千米记作千米，
∴汽车向西行驶千米记作千米，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正数和负数的应用，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量．
8．（2023下·黑龙江绥化·七年级统考期末）2023年五一假日期间，某地累计接待游客242万人次，其中242万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：242万．
故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法表示绝对值较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
9．（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考期末）在，，，，0，，2，，中，非负数有 个．
【答案】6/六
【分析】根据利用符号对有理数分类求解即可．
【详解】解：非负数有，，0，，2，共有6个，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了利用符号对有理数进行分类的能力，关键是能准确理解以上知识，并能对有理数的符号进行正确判断．
10．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）规定：，请计算：＝ ．
【答案】2022
【分析】根据新定义规定的运算公式列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了去括号法则、有理数的运算，掌握新定义规定的运算公式是解决问题的关键．
三、解答题
11．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）计算：．
【答案】5
【分析】先计算乘方，同时把除法转化为乘法，然后利用乘法的分配律计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算和有理数乘法运算律，熟知有理数乘法分配律是解题的关键．
12．（2023上·河北廊坊·七年级统考期末）把下列各数填在相应的括号内：
，，，，0，
负有理数：
整数：
非负数：
【答案】；；
【分析】先化简绝对值，多重符号，有理数的乘方，根据负有理数、整数、非负数、选出即可．
【详解】解：，，，
负有理数：；
整数：；
非负数：
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了有理数分类，解题的关键能掌握有理数的分类．
13．（2022上·海南海口·七年级统考期末）计算
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)75
【分析】（1）先算乘法，再算加减即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）先算小括号里面的，再算中括号里面的，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，正确掌握有理数的乘方运算法则，乘法分配律，及四则混合运算的计算法则是解题的关键．
14．（2023上·广西河池·七年级统考期末）规定:.
(1)求的值；
(2)若，求x的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据原式将、代入即可求解；
（2）将，代入等式，即可求解x的值．
【详解】（1）原式；
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．
15．（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，问：
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？
(3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小李这天上午接第一、二位乘客共得车费多少元？
【答案】(1)小李在起始的西的位置
(2)升
(3)19元
【分析】（1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方；
（2）将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案；
（3）不超过的按元计算，超过的在元的基础上，再加上超过部分乘以元，即可．
【详解】（1）解：，
答：小李在起始的西的位置．
（2）解：，
，
答：出租车共耗油升．
（3）解：（元），
答：小李这天上午接第一、二位乘客共得车费元．
【点睛】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，正负数的实际应用是重点又是难点．
16．（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）某县质量技术监督局对本县某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正，不足的部分记为负，记录如下表：
(1)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？
(2)这批样品平均每箱质量比标准质量多或少几千克？
【答案】(1)这20箱样品的合格率是；
(2)这批样品平均每箱质量比标准质量多千克．
【分析】（1）求出与标准质量差的绝对值与比较即可；
（2）箱数乘以与标准质量差，然后累计相加即可．
【详解】（1）解：；，，，，，
合格的有，
，
答：这20箱样品的合格率是；
（2）解：
（千克），
（千克）
答：这批样品平均每箱质量比标准质量多千克．
【点睛】本题考查了正负数、绝对值的应用以及有理数运算的应用，弄清题意，正确列出算式是解题的关键．
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减(单位：个)
编号
与标准质量的差值（单位：千克）
与标准质量的差（千克）
0
箱数
2
5
1
4
6
2