专题10 利用数学思想方法解决线段与角的计算问题之四大题型-【备考期末】2023-2024学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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分类讨论思想在线段的计算中的应用
例题：（2023上·广东肇庆·七年级统考期末）点A，B，C在同一条直线上，，，则长为 ．
【答案】或
【分析】分类讨论，当点C在线段的延长线上时，；当点C在线段的延长线上时，，然后把，代入计算即可．
【详解】解：当点C在线段的延长线上时，；
当点C在线段的延长线上，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，分类讨论是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知点C是线段AB的一个三等分点，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，，则AB= ．
【答案】或/12或6
【分析】根据点C是线段AB上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可．
【详解】解：如图1，
∵点C是线段上的三等分点，
∴，
∵M，N是线段，的中点，
∴，，
∴，
∴；
如图2，
∵点C是线段上的三等分点，
∴，
∵M，N是线段，的中点，
∴，，
∴，
∴；
故答案为或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画图计算．
2．（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）点和点都在直线上，若且，．则 ．
【答案】4或8或16
【分析】分4种情况讨论：①当点C在点B左侧，点D在点C右侧时，②当点C在点B左侧，点D在点C左侧时，③当点C在点B右侧，点D在点C右侧时，④当点C在点B右侧，点D在点C左侧时，画出图形，结合图形，分别求解即可．
【详解】解：∵且，
∴，
①当点C在点B左侧，点D在点C右侧时，如图1，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当点C在点B左侧，点D在点C左侧时，如图2，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当点C在点B右侧，点D在点C右侧时，如图3，
∴，
∵，
∴，
∴，
④当点C在点B右侧，点D在点C左侧时，如图3，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4或8或16．
【点睛】本题考查线段和差倍分的计算，解题的关键是分类讨论思想的运用．
分类讨论思想在角的计算中的应用
例题：（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）是从的顶点O引出的一条射线，若，，则的度数是 ．
【答案】35或105/105或35
【分析】分两种情况，在内部，在外部，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：在内部，如图所示：

∵，，
∴，
∴；
②在外部，如图所示：

∵，，
∴，
∴；
故答案为：35或105．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的有关计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
【变式训练】
1．（2023上·山西晋中·七年级统考期末）已知，平分，，平分，则 ．
【答案】或
【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再分两种情况求出．
【详解】解： ∵，平分，
∴，
∵，平分，
∴，
当在内部时，如图，
；
当在外部时，如图，
，
故答案为：或
【点睛】此题考查了角平分线的定义，几何图形中求角的度数，正确掌握角平分线的定义是解题的关键．
2．（2023上·江西宜春·七年级统考期末）如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”．若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 ．
【答案】或或
【分析】分①，②，③，④四种情况，再根据角的和差进行计算即可得．
【详解】解：由题意，分以下四种情况：
①当时，射线是的“平衡线”，
，
；
②当时，射线是的“平衡线”，
，
，
；
③当时，射线是的“平衡线”，
，，
，
解得；
④当时，射线是的“平衡线”，
，，
，
解得；
综上，的度数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．
整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题
例题：（2023上·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．
(1)若点恰好是中点，则____________；
(2)若，求的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变．
【答案】(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，结合图形即可求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法进行求解即可．
【详解】（1）解： ，点为的中点，
．
点、分别是和的中点，
，
．
故答案为：6；
（2）解：，，
．
点、分别是和的中点，
，，
；
（3）解：设，则，
点、分别是和的中点，
∴，
，
不论取何值（不超过），的长不变；
【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．

(1)若，求线段的长；
(2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．
(3)若C在线段的延长线上，且满足，M 、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，图及理由见解析
【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；
（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；
（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵M、N分别是的中点，
∴，
∴
∴线段的长为．
（2）解∶ ∵M、N分别是的中点，
∴，
∵，
∴；
（3）解∶ ，理由如下∶
如图:

∵M、N分别是的中点，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键．
整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题
例题：（2023上·河南驻马店·七年级校考期末）如图1，线段，，、分别是、的中点．
【问题发现】（1）若，则___________．
【拓展探究】（2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由．
【问题解决】（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，、分别平分和．若，，求的度数．

【答案】（1）；（2）的长度不变，；（3）
【分析】（1）根据已知得到的长度，再根据线段中点的定义，得出和的长度，即可求出的长度；
（2）根据已知，得到的长度，再根据线段中点的定义，得到，，然后根据，即可求出的长度；
（3）根据已知，得到的度数，再根据角平分线的定义，得到，，，然后根据，即可求出的度数．
【详解】解：（1），，，
、分别是、的中点，
，，
，
故答案为：；
（2）的长度不变，理由如下：
，，
，
、分别是、的中点，
，，
，
;
当线段在线段上运动时， 的长度不变，；
（3），，
，
、分别平分和，
，，
，
．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，角平分线的定义，线段以及角度的和差，根据题意正确找出线段和角度之间的数量关系是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．

(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；
(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．
①若，求的度数（写出推理过程）；
②若，则的度数是________（直接填空）．
(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
【答案】(1)65°，40°
(2)①135°，②135°
(3)35°或55°
【分析】（1）根据求出，利用角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；
（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出，根据进行求解即可；
②同①法，进行计算即可；
（3）分在内部和在外部两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①解：∵，，
∴，
又∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
又∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∴；
故答案为：；
（3）①当在内部时，如图：

∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②当在外部时，如图：

∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
综上：的度数是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间的和差关系．
一、单选题
1．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）线段，点在线段所在的直线上，且，则线段的长度为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】分点在线段的右侧和在线段上，进行分类讨论，求解即可．
【详解】解：当点在线段的右侧时：；

当点在线段上时：，

综上：的长为：或．
故选：C．
【点睛】本题考查线段的和与差．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
2．（2023上·安徽亳州·七年级统考期末）已知一条射线，若从点O再引两条射线，使，，那么的度数是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】画出符合的两种情况，根据和的度数求出即可．
【详解】解：分为两种情况：①如图1，
，
②如图2，
，
所以，的度数是或
故选：C．
【点睛】此题主要考查了角的计算，关键是注意此题分两种情况．
3．（2023上·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，射线为的三等分线．
∴或，
∴，
∴的度数为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
二、填空题
4．（2023·四川达州·七年级校考期末）在直线上取，两点，使，再在直线上取一点，使，，分别是，的中点，则 ．
【答案】或
【分析】分情况讨论点在线段上，点在线段的反向延长线上，即可求解．
【详解】由题意知点的位置有两种情况，
①点在线段上，
，，，分别是，的中点，
，，
，
②点在线段的反向延长线上时，由①得，
，
或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，解题的关键是分情况讨论点在线段上，点在线段外两种情况．
5．（2023上·河南周口·七年级统考期末）若，，分，平分，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】根据题意，进行分类讨论当在内部时，当在外部时，再根据角平分线是定义以及角度之间的和差关系即可进行解答．
【详解】解：当在内部时，
∵分，平分，
∴，，
∴；
当在外部时，
∵分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角度之间的和差关系，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论．
6．（2023上·江西南昌·七年级统考期末）已知直线l上有A，B，C，D四点，且，，则的长为 ．
【答案】2或4或8
【分析】依据题意分类画出图形，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵，，
若点C在点A左侧，点D在点B右侧，
；
若点C在点A左侧，点D在点B左侧，
；
若点C在点A右侧，点D在点B右侧，
；
若点C在点A右侧，点D在点B左侧，
；
综上所述，的长为2或4或8，
故答案为：2或4或8．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，分类讨论思想的运用是解题的关键．
三、解答题
7．（2023上·山东聊城·七年级统考期末）已知关于的方程的解也是关于的方程的解．
(1)求m、n的值；
(2)已知线段，在直线上取一点P，恰好使，点为的中点，求线段的长．
【答案】(1)，；
(2)或．
【分析】(1)先求出方程的解，然后把n的值代入方程，求出m的值即可；
(2)分两种情况：①点P在线段上，先由，，求出，，然后由点Q为的中点，可求，最后由即可求出答案；②点P在线段的延长线上，先由，，求出，然后由点Q为的中点，可求，最后由即可求出答案
【详解】（1）解：由，得，
解得，
∵关于的方程的解也是关于的方程的解，
，
将，代入方程得：，
解得：，
故，；
（2）解：由知：，，
当点在线段上时，如图所示：
，，
，，
点为的中点，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图所示：
，，
，
点为的中点，
，
故B或．
【点睛】本题主要考查了利用同解方程求参数，线段中点的有关计算及线段的和差，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
8．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）已知是直线上一点，是直角，平分，
牛刀小试：
(1)如图1，若，求的度数；
类比说明：
(2)如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）；
猜想发现：
(3)如图2，是直线上一线，是直角，平分，探究与的关系，直接写出结论．
【答案】(1)
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）利用角的和差求出，然后根据求解即可；
（2）仿照（1）的步骤求解即可；
（3）由角平分线的定义得，，进而求出，然后可证结论成立．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵是直角，平分，
∴
（2）由（1）知，
∴
=．
（3），理由如下：
∵平分，
∴，，
∴，
∵是直角，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线，以及角的和差，解题的关键是熟练掌握角的加减，角平分线的定义．
9．（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；

（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；
（2）由，可得，然后根据求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点
∴
∵
∴
（2）①∵
∴
∵
∴；
②
．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
10．（2023上·广东梅州·七年级统考期末）已知直线经过点O，，是的平分线．
(1)如图1，若，求；
(2)如图1，若，求；（用含的式子表示）
(3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论___________（填“成立”或“不成立”）；
(4)将图1中的绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，求（2）中的结论是否还成立？试说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)成立
(4)（2）中的结论不成立，，理由见解析
【分析】（1）先根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，则；
（2）同（1）求解即可；
（3）同（2）求解即可；
（4）同（2）求出，则．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立；
（4）解：（2）中的结论不成立，，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，掌握角的和差关系是解题的关键．