专题03 三角形全等的六大解题模型-【备考期末】2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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一线三等角模型
例题：（2023下·四川达州·七年级校考期末）已知是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且

(1)若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题．
如图若，，则______，______填“”、“”、“”；
如图，若，则与的关系还成立吗？请说明理由．
(2)如图，若直线经过的外部，，请写出、、三条线段数量关系（不要求说明理由）．
【答案】(1)①；②成立，见解析
(2)
【分析】求出，，根据证，推出，即可；求出，，根据证，推出，即可；
求出，，根据证，推出，即可．
【详解】（1）解：如图中，

点在点的左侧，，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
当在的右侧时，同理可证，
；
故答案为：，；
②当时，中两个结论仍然成立；
证明：如图中，

，，
，
在和中，
，
，
，，
，
当在的右侧时，同理可证，
；
（2）解：．
理由是：如图中，

，，
又，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．
三垂直模型
例题：（2023下·山东青岛·七年级统考期末）已知：如图①，，，点C是上一点，且，．

(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由；
(3)图②中，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)9
【分析】（1）根据条件证明可得出，就可以得出；
（2）根据可以得出，从而得出结论．
（3）根据可求的面积，根据可求的面积，最后利用的面积减去的面积即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
理由：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
由平移知（2）中和（1）全等，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
半角模型
应用：①利用旋转构造全等三角形； ②利用翻折构造全等三角形.
例题：（2019上·山东威海·七年级统考期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）；（2）．理由见解析．
【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论．
【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是．
如图，延长至，使，连接，
∵，，即：，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）结论：．
理由：在上截取，连接，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，则，
∴
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
即，
即，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
截长补短模型
截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）
例题：（2021上·广西钦州·八年级期末）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证．
(1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
【答案】(1)；
(2)，证明见解析
【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解；
（2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解．
【详解】（1）解：．
理由为：
在上截取，连接，如图②所示，
∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
则；
（2）解：．
理由为：
在上截取，连接，如图③所示，
∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
则．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
倍长中线模型
应用： = 1 \* GB3 ①构造出一组全等三角形； = 2 \* GB3 ②构造出一组平行线.将分散的条件集中到一个三角形中.
例题：（2023下·山东烟台·七年级统考期末）【阅读理解】
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：延长至，使，连接．
（1）在中，利用三角形三边关系即可判断的取值范围是______；
【问题解决】
如图2，中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接．
（2）求证：；

【问题拓展】
如图，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接．
（3）试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析．
【分析】（1）如图1：证，得出，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围；
（2）如图2：延长到，使得，连接，，证，得出，利用证明，可得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）将绕着点按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出，再由证明，得出，进而证明结论．
【详解】解：（1）如图：∵是的中线，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴，即，
∴；
故答案为；
（2）证明：如图：延长到，使得，连接，，

∵点是的中点，
∴，
∴，
∴（），
∴，
∵，，，
∴，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3），理由如下：
如图，将绕着点按逆时针方向旋转得，
∴，

∴
∴
∵，
∴，
∴点、、三点共线
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，
∵
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键．
手拉手模型

应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题.
例题：（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图①，，，，直线、交于点F．

(1)求证：；
请补全下列证明过程：
(2)将图①中的绕点C顺时针旋转到图②的位置时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)依然成立，理由见解析
【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证；
（2）先证出，根据全等三角形的性质可得，设交于点，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得出结论．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）解：（1）中的结论依然成立，理由如下：
，
，即，
在与中，，
∴，
∴，
如图②，设交于点，

∵，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
1．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图，于点B，于点C，点E在边上，，．

(1)求证：；
(2)若，，则的面积为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂直的定义和直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据的面积等于即可得．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，，
．
（2）解：，，
，
由（1）已证：，
，
则的面积为
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
2．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图，在中，，，，，垂足分别为点D、E，交于点F．

(1)求证：；
(2)若 ，，，则的长______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由垂直的定义得，由同角的余角相等得，根据证得即可；
（2）由全等三角形的性质得，，根据可得 ，得，最后由求出结果．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．
3．（2023上·山东东营·七年级校考期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图（1），已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点、．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）成立；证明见解析
【分析】（1）由条件可证明，可得，，即可得证；
（2）由条件可知，且，可得，可证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和△CEA中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：成立．
证明：如图，
∵，
∴，，
∴，
在和△CEA中，
，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平角的定义，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，是解题的关键．
4．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级校考期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．

根据对材料的理解解决以下问题：
(1)如图，，．
①求证：；
②猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长．
【答案】(1)①见解析；②，见解析
(2)
【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出；
（2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果．
【详解】（1）解：①，
，，
，
在与中，
，
；
②猜想：，
理由：由（1）得：，
，，
；
（2），且，
，
在和中，
，
，
，，
四边形的周长为， ，
，
又的周长为，
，
，，
，
，
即．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形．
5．（2023下·山西晋中·七年级统考期末）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接．
(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ；
(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；
(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)3或7
【分析】（1）由证明可得出的数量和位置关系；
（2）同（1）方法证明，可得出结论；
（3）分两种情况可求出的长．
【详解】（1）解：
在与中
故答案为：
（2）成立．
理由如下：
因为，
．
．
在和中，
．
所以．
因为在中，，
所以．
所以，即．
所以．
（3）当点在上时，如图，
由（1）可知
；
当点在延长线上时，如图，
由（2）可知，
综上所述，3或7．
【点睛】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．（2023上·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在和中，，，，连接，交于点M．

(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上时，可以得到图中的一对全等三角形，即__________；
(2)当点D不在直线上时，如图2位置，且．
①求证：；
②求的大小（用含的代数式表示）．
【答案】(1)，；
(2)①见解析；②．
【分析】（1）由“”可证；
（2）①由“”可证，可得，
②由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：，；
（2）①∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
7．（2021下·上海松江·七年级统考期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且．
(1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由．
(2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，，见解析
【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF；
（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD．
【详解】（1）EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，
∴EF＝BE+DF；
（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键．
8．（2011上·黑龙江绥化·八年级统考期末）在中，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)①证明见解析 ②证明见解析
(2)证明见解析
(3)；证明见解析
【分析】（1）①利用“一线三等角”证明即可；
②根据全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用“一线三等角”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得．
【详解】（1）证明：①如图，

∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）证明：如图，

∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，证明如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
9．（2022下·浙江舟山·八年级校联考期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，证明见解析
(3)2
【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至，
则F、D、在一条直线上，≌△ABE，
∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，
∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：45；
（2）解：DF＝BE+EF 理由如下：
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△，
∴△≌△ABE，
∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，
∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，
则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△中，
，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接，
则△≌△ABD，
∴CD'＝BD，
∴，
同（2）得：△ADE≌△（SAS），
∴，，
∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．
10．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是 ；则中线的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】（1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得，；
（2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，，即；
（3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出．
【详解】解：（1）延长到点使，再连接，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：，；
（2）延长至，使，连接，

，，，
，
，
连接，
，，
是等腰三角形，
，
在中，，即；
（3）延长至使，连接，

，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．
证明：在与中，
∴
∴______
∵______
∴
∴