专题12 分式与分式方程中常见的易错之六大题型-【备考期末】2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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分式值为0时求值，忽略分母不为0
例题：（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式，则x的值是( )
A．1B．－1C．D．0
【答案】B
【分析】根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0进行解答即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式为零的条件，掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·八年级校考期末）已知分式，则 ．
【答案】
【分析】根据分式的值为0的条件可得，即可求解．
【详解】解：依题意，，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件（分母不为0，分子为0）是解题的关键．
2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）若分式的值为0，则的值为 .
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件可得，且，再解即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
求使分式值为整数时未知数的整数值
例题：（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和为（ ）
A．8B．4C．0D．
【答案】B
【分析】由整除的性质可知，是7的因数，即可分别得出符合题意的值，再求和即可．
【详解】解：的值为整数，
为7的因数，
，或．
又为整数，
，或，或，或，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．
1（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知n为整数，当 时，分式的值是整数．
【答案】或0或2或3
【分析】根据分式的值是整数，得出2能别整除，则或或1或2，求解即可．
【详解】解：∵分式的值是整数，
∴2能别整除，
∴或或1或2，
解得：或0或2或3，
故答案为：或0或2或3．
【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是根据整数的定义得出2能别整除．
2．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是 ．
【答案】8
【分析】化简得到，根据题意得到或7，即可得到答案．
【详解】解：，
∵代数式的值也是整数，为大于1的正整数，
∴或7，
当时，，
当时，，
∴可取的最大整数值是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的值，解一元一次方程等知识，准确变形是解题的关键．
自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0
例题：（2023上·江西赣州·八年级统考期末）先化简，再从，2，3中任意选择一个合适的数代入求值．．
【答案】，5
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可．
【详解】解：
，
∵要使分式有意义，不能取0和，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的运算法则．
1．（2023下·甘肃张掖·八年级校考期末）先化简，然后在0，1，2中选一个你喜欢的值，代入求值．
【答案】，
【分析】利用分式运算法则化简式子，再将x的值代入计算即可，注意分式有意义的条件．
【详解】解：
，
∵，，
将代入化简的式子可得：原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则，以及分式有意义的条件，代入x值的时候，注意且．
2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）先化简：，再从，，0，1中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
【答案】，当时，原式
【分析】括号内通分得到，括号外除法化为乘法得到，化简约分得到，根据分母不等于0得到，或，从，，0，1中挑选，即得．
【详解】解：
∵，，
∴，或，
∴从，，0，1中挑选，
当时，原式．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，解决问题的关键是熟练掌握分式的运算法则，在代入x值时，注意分母不为0．
解分式方程不验根导致易错
例题：（2023下·重庆·八年级重庆市南坪中学校校联考期末）解分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)原分式方程的解为
(2)原分式方程无解
【分析】（1）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验”即可求解；
（2）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验”即可求解．
【详解】（1）解：
等式两边同时乘以，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，，
检验，当时，原分式方程的分母为，，即原分式方程有意义，
∴是原分式方程的解，即原分式方程的解为．
（2）解：
等式两边同时乘以，去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，，
检验，当时，原分式方程的分母，原分式方程无意义，
∴是原分式方程的增根，即原分式方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）解方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：，
∴方程的解为；
（2），
去分母得：，
解得：，
检验：，是增根，
∴方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）解分式方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：由
则去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
经检验：是原分式方程的解；
（2）解：由，
则去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
因为，
经检验：是增根，原分式方程无解．
【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则．
分式方程无解与增根混淆不清
例题：（2023下·浙江丽水·七年级统考期末）关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
【答案】或7
【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情况，分别进行计算即可．
【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，
，即，
由于分式方程无解，
所以，即，
或者分式方程有增根，
当时，，解得，
综上所述，m的值为或7，
故答案为：或7．
【点睛】本题考查分式方程的解，掌握分式方程解法，理解分式方程解的含义是正确解答的前提．
1．（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）当 时，解分式方程会出现增根．
【答案】6
【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程会出现增根只能是，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值．
【详解】解：分式方程会出现增根，
则即，
去分母得，
将代入得，
即当时，原分式方程会出现增根．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了分式方程增根的概念，增根是使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．
2．（2023上·山东淄博·八年级校考期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】10或或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得；
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
故答案为：10或或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值
例题：（2023秋·四川绵阳·八年级校考期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】根据解分式方程的方法解出未知数，再根据解为非负数即可求解．
【详解】解：关于的分式方程，
移项，变形得，
分式加减得，
∴，解得，且，
∵解为非负数，
∴，且，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查根据分式的解求参数，掌握解分式方程的方法，分式有意义的条件，不等式的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·四川达州·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数和不能有增根列式求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：
解得，
∵分式方程的解为负数，且，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出是解题的关键，注意一定要舍去增根的情况．
2．（2023春·四川成都·八年级统考期末）若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是
【答案】且
【分析】先解分式方程，根据分式有意义的条件，以及方程的解小于，列出不等式，进而即可求解．
【详解】解：
两边同时乘以，得
解得：，
∵分式方程的解小于，
∴，且
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
一、单选题
1．（2023上·湖南长沙·八年级统考期末）若分式的值等于，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式值为0的条件：分子等于0，分母不为0求出x的值即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解本题的关键．
2．（2023下·四川资阳·八年级统考期末）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，最简公分母，所以增根是，把增根代入整式方程即可求出未知字母的值．
【详解】解：方程两边都乘，得，
方程有增根，
最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：确定增根的值；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）分式方程无解，则a的值是( )
A．3或2B．或3C．-或3D．或2
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：①分式方程的分母为0时，无解；②分式方程化为形如的整式方程后，如果且，亦无解．据此即可解答．
【详解】解：将化为整式方程得：
整理得：
①∵分式方程无解，
∴
将代入得：
∴．
②整式方程中，
当时，方程无解，
此时，
综合①②两种情况可知，a的值为3或2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式方程无解的情况，分情况讨论分式方程无解的条件是解题关键．
4．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】A
【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出的取值范围．
【详解】解：去分母：
解得：
∵
∴
∵方程的解是正数
∴
∴
综上：且
故选：A
【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提．
二、填空题
5．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）若分式的值为零，那么x的值为 ．
【答案】
【分析】根据分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”列式求解即可．
【详解】解：由，得；
又，则
所以若分式的值为0，则的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
6．（2023下·四川成都·八年级统考期末）关于x的分式方程有增根，则 ．
【答案】2
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出，代入求值即可；
【详解】解：，
，
，
∵方程有增根，
∴，
∴，
当时，
，解得；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程有增根求参数，准确计算是解题的关键．
7．（2023上·湖南长沙·八年级校考期末）若关于x的分式方程无解，则 ．
【答案】4或2/2或4
【分析】先把分式方程去分母得到，再分和两种情况讨论求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵分式方程无解，
∴当，即时满足题意；
当时，则，
∴；
综上所述，或，
故答案为：4或2．
【点睛】本题考查了根据分式方程无解求字母的值，理解分式方程无解的意义，进行分类讨论是解题关键．
8．（2023上·安徽芜湖·八年级统考期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．
【详解】解：，
去分母得，，
整理得，，
解得，，
∵分式方程的解为正数，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式．解分式方程时注意分母不能为零．
三、问答题
9．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期末）解方程：
(1)； (2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】（1）解：，
两边都乘以，得
，
解得
检验：当时，，
∴是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：原方程即为：，
两边都乘以，得，
解得
检验：当时，，
∴是原方程的根．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．需要注意分式方程需要检验．
10．（2023下·黑龙江绥化·八年级统考期末）解分式方程
(1) (2)
【答案】(1)
(2)原分式方程无解
【分析】（1）方程两边同时乘化为整式方程，解得，再代入进行检验，即可得到方程的解；
（2）方程两边同时乘化为整式方程，解得，代入检验，得到是增根，则分式方程无解．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘得，
，
解得，，
检验：当时，，
∴原分式方程的解是．
（2）
解：方程两边同时乘得，
解得，，
检验：当时，，
∴是增根．
∴原分式方程无解．
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法和验根是解题的关键．
11．（2023下·广东揭阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，从中选择一个合适的的值代入求值．
【答案】；当时，值为
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可．
【详解】原式
由分式有意义的条件可知：不能取1，3，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确根据分式的混合计算法则化简是解题的关键．
12．（2023下·江西萍乡·八年级统考期末）先化简，再从，，中选择合适的值代入求值．
【答案】，
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：原式
∵时，原分式无意义，
∴只能为0，当时，原式
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
13．（2022上·山西朔州·八年级校联考期末）已知关于x的方程
(1)当时，求方程的解；
(2)当m取何值时，此方程无解；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)且
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将代入计算，即可求出m的值；
（3）表示出分式方程的解，由解为正数确定出m的范围即可．
【详解】（1）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
（1）当时，，
解得：，
经检验：是原方程的解；
（2）解：∵分式方程无解，
∴，
∴，
当时，，
∴时该分式方程无解；
（3）解：解关于x的分式方程得：，
∵方程有解，且解为正数，
∴ ，
解得：且．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．（2022上·江苏盐城·八年级校考期末）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
例如，．
解决问题：
(1)已知，则______；
(2)对于分式，
①按分离常数法可以拆分为______；
②若该分式值为整数，求所有满足条件的整数x的值；
(3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围______．
【答案】(1)
(2)①；②0、1、3、4；
(3)
【分析】（1）根据分离常数法即可得解；
（2）①将分离为即可得解，根据为整数，则，即可得解；
（3）把化为，根据的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为5；
（2）解：①，
故答案为；
②若值为整数，即为整数，亦即为整数，
故，，
∴可取0、1、3、4；
（3）解：．理由：
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，不等式，理解并能运用“分离常数法”是解题的关键．