09导数在研究函数中的应用（最大值与最小值-解答题提升题）-江苏省2023-2024学年高二上学期期

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一、解答题
1．（2022上·江苏淮安·高二统考期末）设函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
2．（2012上·江苏盐城·高二统考期末）已知函数，，记.
（1）若，且在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）若，设函数的图象与函数图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，请判断在点处的切线与在点处的切线能否平行，并说明你的理由.
3．（2022上·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考期末）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设，，求证：；
(3)当时，恒成立，求的取值范围．
4．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知函数.
(1)设函数，讨论在区间上的单调性；
(2)若存在两个极值点，（ ）（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且，证明：.
5．（2022上·江苏徐州·高二统考期末）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上有唯一的零点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
6．（2022上·江苏连云港·高二统考期末）已知函数 ．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点，证明：．
7．（2022上·江苏南通·高三统考期末）设函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)求证：当时，函数不存在零点．
8．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知函数，其中，
(1)若，求函数的单调区间
(2)若，函数有两个相异的零点，，求证：．
9．（2022上·江苏常州·高二常州市第三中学校考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，都有，求实数的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.
10．（2022上·江苏连云港·高一校考期末）设函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若（其中），证明：；
11．（2022上·江苏连云港·高二校考期末）已知
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，若有两个零点，求k的取值范围．
12．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知，函数，.
(1)若，求函数的极小值；
(2)若函数存在唯一的零点，求的取值范围.
13．（2021上·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考期末）（1）已知函数.若函数在时取得极值，求实数的值；
（2）已知函数.试探求函数零点的个数，并证明你的结论.
14．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）已知函数（e为自然对数的底数）.
(1)求f(x)的最大值；
(2)设a为整数，若在定义域上恒成立，求a的最大值；
(3)证明.
15．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设为实数，已知函数
(1)讨论的单调性
(2)若过点有且只有两条直线与曲线相切，求的值.
16．（2023上·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)求当时，函数在区间上的最小值；
(3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：．
17．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)求函数在上的最大值.
18．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知函数，且曲线在原点处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)讨论在R上的零点个数，并证明.
参考答案：
1．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为；
(2).
【分析】（1）求出，进而判断函数的单调性，然后讨论符号后可得函数的单调区间；
（2）令，则有两个不同的零点，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
记，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）令，得，记，
则，令得，列表得．
要使在上有两个零点，则，所以．
且函数在和上各有一个零点．
当时，，，，
则，故在上无零点，
与函数在上有一个零点矛盾，故不满足条件．
所以，又因为，所以考虑，
设，，则，则在上单调递减，
故当时，，
所以，且，
因为，所以，由零点存在定理知在和上各有一个零点
综上可知，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
2．（1）；（2）；（3）不能平行．理由见解析
【分析】（1）代入，将代入解析式，分离参数b，构造函数，进而利用导数求得的最大值即可求得b的取值范围．
（2）代入，代入解析式，通过求导，对分类讨论，即可根据单调递减求得的取值范围．
（3）设出P、Q的坐标，假设两条切线可以平行，则得到两个坐标关系；构造函数，通过研究函数的导数，可得方程无解，进而证明切线不存在．
【详解】（1）代入，将代入解析式得不等式，
即，令函数 ，，由得：，令得：，
所以在上为增函数，在为减函数
所以最大值为，
所以b的取值范围为
（2）当 时
则
当时，时，，函数为减函数，满足题意；
当 时，开口向上，总有的解；
当 时，开口向下且有，要想总有的解，要满足 ，解得： ，
综上：
（3）不能平行，理由如下：
证明：设
则点M、N的横坐标为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行得：
，
由题意得：，两式相减得：，
将代入得：
即
设，则
令
因为当时，
则函数在上单调递增.
故
所以无零点，即两切线不可能平行．
【点睛】通过构造函数证明函数无解问题，是比较有难度的知识点，本题的关键点是假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，问题转化为构造一个新函数有无零点的问题.
3．(1)函数单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)
(2)证明见解析
(3)[1，＋∞)
【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，
（2）由（1）可得，令，则可得，然后利用累加法可证得结论，
（3）由，故，然后分和讨论的最大值与比较可得结果
【详解】（1）当时，（），则，
由，解得；由，解得，
因此函数单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)
（2）由（1）知，当k＝1时， ，故．
令，则 ，即，
所以．
（3）由，故．
当时，因为，所以，
因此恒成立，且的根至多一个，故在(0，1]上单调递增，
所以恒成立．
当时，令，解得．
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
于是，与恒成立相矛盾．
综上，的取值范围为[1，＋∞)．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区，利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是利用（1）可得，从而得，然后令，得，最后累加可证得结论，考查数转化思想，属于较难题
4．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得，然后对其求导，再分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由（1）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，且是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，从而将要证的结论转化为证，令，再次转化为利用导数求的最小值大于零即可
【详解】（1）由，得，则
，
当时，在上单调递增；
当时，令.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
综上，当时，的增区间为，无减区间
当时，的增区间为，减区间为
（2）由（1）知若存在两个极值点，则，
且，
且注意到，
所以在和上各有一个零点，
且时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以是的两个极值点.
，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以
而，所以，
所以，要证，即要证
即要证：
因为，所以
所以，即要证：
即要证：
令，即要证：
即要证：
令
当时，，所以在上单调增
所以结论得证.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将两个极值点代入导函数中化简后，将问题转化为证明成立，换元后构造函数，再利用导数证明，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
5．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，当时，等价转化，且构造函数，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围；
（ⅱ）根据（ⅰ）中所求得到与的等量关系，求得并构造函数，利用导数研究其单调性和最值，则问题得证.
【详解】（1）当时，，则，故，，
则曲线在点处的切线方程为.
（2）（ⅰ）因为，故可得，
因为，则当时，，则，无零点，不满足题意；
当时，若在有一个零点，即在有一个零点，
也即在有一个零点，又，则单调递增，
则只需，解得.
综上所述，若在区间上有唯一的零点，则；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在区间上有唯一的零点，则，
也即，则，
令，则，
又在都是单调增函数，故是单调增函数，
又，故，则在单调递增，则，
故，即证.
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点以及最值；处理问题的关键是合理转化函数零点问题，以及充分利用零点存在定理，熟练掌握构造函数法，属综合困难题.
6．(1)单调递增区间是(4,+∞)，单调递减区间是(0,4)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；
（2）法一：讨论、时的零点情况，即可得，构造，利用导数研究在(0,2a)恒成立，结合单调性证明不等式；法二：设，由零点可得，进而应用分析法将结论转化为证明，综合换元法、导数证明结论即可.
【详解】（1）函数的定义域为(0,+∞)，
当a=2时，，则
令得，x>4；令得，00时，函数在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，
因为函数有两个不相等的零点，则，
不妨设，
设，（0=0，
所以，即，又，故，
因为，所以，
因为函数在(2a,+∞)上单调递增，
所以，即
法二：不妨设，
由题意得，，得，即，
要证，只需证，即证：，即，
令，，则，
所以在区间(1,+∞)单调递减，故