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2024湖南省百校大联考高二上学期12月考试数学试题含解析
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这是一份2024湖南省百校大联考高二上学期12月考试数学试题含解析，文件包含湖南省百校大联考2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题原卷版docx、湖南省百校大联考2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至4.3.1．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
4. 若直线：与直线：平行，则（ ）
A. B. 2C. 或2D. 1或
5. 有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ）
A. 37B. 36C. 18D. 19
8. 已知是双曲线左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ）
A. 3B. 2C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 该数列递增数列D.
10. 某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（单位：厘米）平均值为170，身高的方差为24，女生身高的平均值为160，身高的方差为19，则（ ）
A. 该班全体学生身高的平均值为165B. 该班全体学生身高的平均值为166
C. 该班全体学生身高的方差为46D. 该班全体学生身高的方差为44
11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则（ ）
A B.
C. 为直角三角形D. 上存在一点，使得
12. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
A 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则
B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面
C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为
D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若，则______．
14. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则______．
15. 某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过______年．
16. 若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在正项等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，证明是等差数列，并求的前项和．
18. 已知圆与圆关于直线对称．
（1）求的标准方程；
（2）记与的公共点为，求四边形的面积．
19. 的内角，，所对的边分别为，，．已知，，成等差数列．
（1）若，求；
（2）若，当取得最小值时，求的面积.
20. 已知正项数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21. 如图，在四棱锥中，，，与均为正三角形.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面.
（3）设平面平面，平面平面，若直线与确定的平面为平面，线段的中点为，求点到平面的距离.
22. 已知双曲线的焦距为，点在上．
（1）求的方程；
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至4.3.1．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
4. 若直线：与直线：平行，则（ ）
A. B. 2C. 或2D. 1或
5. 有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ）
A. 37B. 36C. 18D. 19
8. 已知是双曲线左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ）
A. 3B. 2C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 该数列递增数列D.
10. 某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（单位：厘米）平均值为170，身高的方差为24，女生身高的平均值为160，身高的方差为19，则（ ）
A. 该班全体学生身高的平均值为165B. 该班全体学生身高的平均值为166
C. 该班全体学生身高的方差为46D. 该班全体学生身高的方差为44
11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则（ ）
A B.
C. 为直角三角形D. 上存在一点，使得
12. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
A 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则
B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面
C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为
D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若，则______．
14. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则______．
15. 某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过______年．
16. 若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在正项等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，证明是等差数列，并求的前项和．
18. 已知圆与圆关于直线对称．
（1）求的标准方程；
（2）记与的公共点为，求四边形的面积．
19. 的内角，，所对的边分别为，，．已知，，成等差数列．
（1）若，求；
（2）若，当取得最小值时，求的面积.
20. 已知正项数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21. 如图，在四棱锥中，，，与均为正三角形.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面.
（3）设平面平面，平面平面，若直线与确定的平面为平面，线段的中点为，求点到平面的距离.
22. 已知双曲线的焦距为，点在上．
（1）求的方程；
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