2024长沙雅礼中学高三上学期月考试卷（四）数学含解析

这是一份2024长沙雅礼中学高三上学期月考试卷（四）数学含解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
3. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为（，），已知，，按规则有（，），则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A. 31B. 16C. 11D. 7
4. 二项式的展开式中的系数与的系数之比为（ ）
A. 6B. -6C. 15D. -15
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -3
7. 若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）．
A. 2B. 1
C. D.
8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确是（ ）
A. 若随机变量，满足，则
B. 若随机变量，且，则
C. 若样本数据（，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断X与Y有关
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. f（x）最大值为2
B. f（x）上单调递增
C. f（x）在上有4个零点
D. 把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称
11. 已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. ，则，，成等差数列
C. 若，，三点共线，则
D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2
12. 如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则（ ）
A. 点存在无数个位置满足
B. 若正方体的棱长为，三棱锥的体积最大值为
C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D. 点存在无数个位置满足到直线和直线距离相等
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则__________．
14. 某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为__________种．
15. 已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C：的切线，切点为Q，则的最小值为_____________．
16. 已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，，，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为，，则_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投一次，若一方命中且另一方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．
（1）求1局投篮比赛，甲、乙平局的概率；
（2）设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望．
18. 如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）求二面角B-EF-D的余弦值.
19. 已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和.
20. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若D是边上一点，且，若，求面积的最大值．
21. 设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值.
22. 已知函数有两个零点．
（1）求a的取值范围；
（2）设是的两个零点，证明：．大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（四）
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.
【详解】因为，所以，即，所以.
故选：B.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的定义得，由虚部的定义即可求解.
【详解】由题意，化简得，则，所以复数的虚部为．
故选：B
3. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为（，），已知，，按规则有（，），则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A. 31B. 16C. 11D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定信息，结合递推公式依次计算即可得解.
【详解】由题意，，，（，），解下第4个圆环，则，
即，而，因此，
所以解下第4个圆环最少需要移动的次数为7.
故选：D
4. 二项式的展开式中的系数与的系数之比为（ ）
A. 6B. -6C. 15D. -15
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式写出含、项，即可得结果.
【详解】由题设，
所以含项为，含项为，，
则系数之比为-6.
故选：B
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数，当时，有，利用排除法分析可得答案.
【详解】解：根据题意，对于函数，
有函数，
即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B ；
当时，，则恒有，排除D；
故选：C.
6. 已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将.
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．
故选:B．
7. 若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）．
A. 2B. 1
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得，再由不等式求最值即可.
【详解】设，，
因为，所以，，
所以点G是的重心，
设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图，
又．
因为B、H、D三点共线，所以，
所以，当且仅当，即，时取等号，即的最小值是.
故选：C．
8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.
详解】令，则，
在上单调递增，，即，，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
（当且仅当时取等号），，
即（当且仅当时取等号），，即；
综上所述：.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量，满足，则
B. 若随机变量，且，则
C. 若样本数据（，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断X与Y有关
【答案】BCD
【解析】
【分析】A项，利用方差公式计算；B项，根据正态分布的图象对称性求概率；C项，利用回归直线性质求解；D项，利用独立性检验性质.
【详解】对A，由方差的性质可知，若随机变量，满足，则，故A错误；
对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；
对C，根据回归直线方程过样本中心点可知C正确；
对D，由可判断X与Y有关，故D正确.
故选：BCD．
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. f（x）的最大值为2
B. f（x）在上单调递增
C. f（x）在上有4个零点
D. 把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】先对函数化简变形得，然后利用余弦函数的性质逐个分析判断即可
【详解】因为，所以A正确；
当时， ，函数在上先增后减，无单调性，故B不正确；
令，得，故，因为，所以，故C正确；
把的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当时． 取得最小值－2，故D正确．
故选：ACD
11. 已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. ，则，，成等差数列
C. 若，，三点共线，则
D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】把点代入抛物线即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及，可得，从而可证得；由A，F，C三点共线，得，结合，化简即可得到本题答案；设AC的中点为，由，结合，即可得到本题答案.
【详解】把点代入抛物线，得，所以抛物线的准线方程为，故A正确；
因为，所以，，，又由，得，
所以，即，，成等差数列，故B正确；
因为A，F，C三点共线，所以直线斜率，即，所以，化简得，，故C不正确；
设AC中点为，因为，，所以，得，
即的中点到轴距离的最小值为2，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.
12. 如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则（ ）
A. 点存在无数个位置满足
B. 若正方体的棱长为，三棱锥的体积最大值为
C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D. 点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线面垂直的判定可证得平面，则当在线段上时，恒成立，知A正确；由线面垂直的性质和判定可证得平面，利用三角形相似可知到平面的距离为，根据可知当与重合时，体积取得最大值，结合棱锥体积公式知B正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量求法和二次函数最值可确定异面直线与所成的角大于，知C错误；根据点到直线的距离即为其到点的距离，可知点轨迹为抛物线的一部分，知D正确.
【详解】对于A，连接，
四边形为正方形，；
平面，平面，；
又，平面，平面，
则当平面，即在线段上时，恒成立，
点存在无数个位置，使得，A正确；
对于B，连接，交于点，连接，交于点，
，，，平面，
平面，又平面，；
同理可得：；又，平面，
平面，即平面；
∽，，，
；
是边长为的等边三角形，；
设点到平面的距离为，则；
当与重合时，取得最大值，，B正确；
对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
当在线段上时，可设，
，则，，
；
则当时，，
异面直线与所成的角大于，C错误；
对于D，平面，点到直线的距离即为其到点的距离，
若点到直线和直线的距离相等，则点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线在侧面上的部分，
点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等，D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式将化简，求出，再利用二倍角公式求值.
【详解】因为，所以，所以，
所以．
故答案为：
14. 某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为__________种．
【答案】60
【解析】
【分析】高（1）班分类，只有高一（1）班被安排到A基地，还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，利用排列组合求解.
【详解】5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么总的排法是种，如果是还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么总的排法是种，所以高一（1）班被安排到A基地的排法总数为种．
故答案为：60.
15. 已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C：的切线，切点为Q，则的最小值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用切线长公式结合圆的性质分析求解.
【详解】圆C的圆心为，半径，标准单位圆的圆心为，半径，
因为，
可知圆C与标准单位圆外离，即点P在圆C外，
由题意可知：，
且，当且仅当在线段上时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
16. 已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，，，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出双曲线的方程，可得其渐近线方程，设，利用点到直线的距离公式求出的表达式，结合点在双曲线上，化简求值，即得答案.
【详解】设双曲线的焦距为2c，
则，得．因为，所以．
又因为，所以，故双曲线C的方程为，
所以两条渐近线的方程为．
设，则，故，
不妨设，则，
所以，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解决的关键利用点线距离公式及点在双曲线上求得的值，从而得解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投一次，若一方命中且另一方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．
（1）求1局投篮比赛，甲、乙平局的概率；
（2）设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据互斥事件概率加法公式结合独立事件概率乘法公式分析求解；
（2）由题意可知随机变量，利用二项分布的期望公式运算求解.
【小问1详解】
设事件A表示甲命中，事件B表示乙命中，则，，
所以1局投篮比赛，甲、乙平局的概率为．
【小问2详解】
1局投篮比赛，甲获胜的概率为，
因为进行了10局投篮比赛，各局比赛也互不影响，
可知随机变量， 所以．
18. 如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）求二面角B-EF-D的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）要证明平面平面BDE，只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可；
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.
【详解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD.
∴.
又∵底面ABCD是菱形，∴.
∵，∴平面BDE，
设AC，BD交于O，取BE的中点G，连FG，OG，
，，四边形OCFG是平行四边形
，平面BDE
∴平面BDE，
又因平面BEF，
∴平面平面BDE.
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系
∵BE与平面ABCD所成的角为，
，
，，，，.
，
设平面BEF法向量为，，
，
设平面的法向量
设二面角的大小为.
.
【点睛】本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算，考查学生的计算能力，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
19. 已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，根据，求得，得到，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，利用累加法，求得，进而求得，利用裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列的前项和为，
可得，，
因为，所以，解得，
所以，，
因为当时，，
所以.
当时，符合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
所以，
，
，
……，
，
所以，
又由，可得，
当时，，满足上式，
所以.
所以，
所以.
20. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若D是边上一点，且，若，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，结合以及三角恒等变换可得，求得答案;
（2）法一：作出辅助线，延长至E，使得，利用余弦定理可得，结合基本不等式求出，再利用三角形面积公式求得答案;
法二：利用向量，平方后可得，结合基本不等式求出，再利用三角形面积公式求得答案;
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，
所以，
而 ，
所以，即，
又因为，所以，故，解得．
【小问2详解】
法一：延长至E，使得，
因为，所以，且，,
由于，所以,
因为，所以，
解得，当且仅当时取“=”,
所以的面积为，
当且仅当时，的面积有最大值为．
法二：因为，
所以,
所以，即,
因为，所以，
解得，当且仅当时取“=”,
所以的面积，
当且仅当时，的面积有最大值为．
21. 设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件中离心率已知，结合建立方程组求得，得到椭圆的标准方程；
（2）根据两条直线的倾斜角互补，建立斜率关系，并用坐标进行表示.然后设定直线方程与椭圆联立后消元化简，并表示根与系数的关系，代入前式，确定直线所过定点，再分别利用弦长公式及点到直线的距离公式表示三角形面积，通过换元构造基本不等式求得面积的最值.
【小问1详解】
由题可得，，
所以 因为椭圆的离心率为所以，结合椭圆中可知，所以椭圆C的标准方程为
【小问2详解】
，设
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以可知，
即，
化简得
设直线，
将代入上式，
整理可得
且由消元化简可得
，
所以，代入上式
由，
解得
所以
因为点到直线PQ的距离，
且
所以
令，则
所以，.
当且仅当，时取等号.
所以的面积的最大值为
【点睛】（1）倾斜角互补，可转化为斜率和为0；
（2）圆锥曲线中面积最值问题，通常都是把面积表示出来，用基本不等式求最值.
22. 已知函数有两个零点．
（1）求a的取值范围；
（2）设是的两个零点，证明：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）转化为函数与直线上有两个不同交点，求导得到单调区间，画出图像得到答案.
（2）根据（1）得到，代入化简即要证，设，求导得到单调区间计算最值得到答案.
【详解】（1），，
即函数与直线在上有两个不同交点，
，故当时，；当，时，.
故在上单调递增，在上单调递减，所以.
又，故当时，；当时，.
画出图象，如图所示：可得.
（2），由（1）知是两个根，
故，故.
要证，只需证，即证，
即证，即证，即证.
不妨设，故
令，
则上单调递增，则，故式成立，即要证不等式得证.
【点睛】本题考查了根据零点个数求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图象是解题的关键.