高三数学（基础+难点）函数的概念及其表示试卷

这是一份高三数学（基础+难点）函数的概念及其表示试卷，共7页。试卷主要包含了函数y＝eq \r的定义域为，下列函数中与函数y＝x相同的是等内容，欢迎下载使用。

(时间：35分钟 分值：80分)
1．下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
2．设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2（x≥10），,f（f（x＋6））（x<10），))则f(5)的值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
3．如图K4－1，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为( )
图K4－1
图K4－2
4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x,10))) B．y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,10)))
C．y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋4,10))) D．y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋5,10)))
5．函数y＝eq \r(1－lg（x＋2）)的定义域为( )
A．(0，8] B．(－2，8]
C．(2，8] D．[8，＋∞)
6．下列函数中与函数y＝x相同的是( )
A．y＝|x| B．y＝eq \f(1,x)
C．y＝eq \r(x2) D．y＝eq \r(3,x3)
7．函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线y2＝x的图象绕原点沿逆时针方向旋转90°就得到函数y＝x2的图象．若把双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．若f(x)＝eq \f(1,lg2（x＋1）)，则f(x)的定义域为( )
A．(－1，0) B．(－1，＋∞)
C．(－1，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)
9．函数y＝eq \f(x2,x2＋1)(x∈R)的值域是________．
10．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，那么f(1)＋f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝________．
11．若已知函数f(x＋1)的定义域为[－2，3]，则f(2x2－2)的定义域是__________________．
12．(13分)设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图K4－3)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积y与腰长x的关系式，并求它的定义域和值域．
图K4－3
13．(12分)已知函数f(x)，g(x)同时满足：g(x－y)＝g(x)·g(y)＋f(x)f(y)，且f(－1)＝－1，f(0)＝0，f(1)＝1，求g(0)，g(1)，g(2)的值．
函数的概念及其表示
(时间：35分钟 分值：80分)
1．若f(x)＝eq \f(x－1,x)，则方程f(4x)＝x的根是( )
A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
2．设集合A和B都是自然数集合N*，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，集合B的元素20在集合A中对应的元素是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3．下列各组中的两个函数是同一函数的是( )
A．f(x)＝(x－1)0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝eq \r(x2)
C．f(x)＝eq \f(1－x,x2＋1)与g(x)＝eq \f(1＋x,x2＋1)
D．f(x)＝eq \f(（\r(x)）4,x)与g(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,\r(t))))eq \s\up12(2)
4．已知f(x)＝x2－2x，g(x)＝x－2，则f[g(2)]与g[f(2)]的大小关系是( )
A．f[g(2)]>g[f(2)]
B．f[g(2)]＝g[f(2)]
C．f[g(2)]D．无法确定
5．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在下列各图中，能表示从集合A到集合B的函数的是( )
图K4－4
6．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）2，x<1，,4－\r(x－1)，x≥1，))则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为( )
A．(－∞，－2]∪[0，10]
B．(－∞，－2]∪[0，1]
C．(－∞，－2]∪[1，10]
D．[－2，0]∪[1，10]
7．函数f(x)＝eq \f(1,1－x（1－x）)的最大值是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(5,4) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
8．设函数f(x)(x∈N)表示x除以3的余数，对x，y∈N都有( )
A．f(x＋3)＝f(x) B．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
C．3f(x)＝f(3x) D．f(x)f(y)＝f(xy)
9．[2013·中山模拟] 函数y＝eq \r(x－1)＋eq \f(1,lg（3－x）)的定义域是________．
10．设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2·tx，x<2，,lgt（x2－1），x≥2，))且f(2)＝1，则f(f(eq \r(5)))的值为________．
11．设f(x)＝lgeq \f(2＋x,2－x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))的定义域是________．
12．(13分)设f(x)＝eq \r(ax2＋bx)，则是否存在实数a，使得至少有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域相同？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
13．(1)(6分)值域为{2，5，10}，对应关系为y＝x2＋1的函数的个数为( )
A．1 B．27
C．39 D．8
(2)(6分)已知映射f：(x，y)→(eq \r(x)，eq \r(y))，在△OAB中，O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，则三角形OAB在映射f的作用下得到的图形所围成的面积是( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6)
C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
1．A [解析] 选项B中集合A中的元素1对应着集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应着唯一的函数值的条件；选项C中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都得对应着唯一函数值的要求；选项D中集合A中元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义．只有选项A符合函数定义．
2．B [解析] f(5)＝f(f(11))＝f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.
3．C [解析] 函数解析式f(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t2（0≤t≤1），,2t－1（14．B [解析] 方法一：特殊取值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D.若x＝57，y＝6，排除A.所以选B.
方法二：设x＝10m＋α(0≤α≤9)．当0≤α≤6时，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,10)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(m＋\f(α＋3,10)))＝m＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x,10)))；
当6<α≤9时，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,10)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(m＋\f(α＋3,10)))＝m＋1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x,10)))＋1.所以选B.
【能力提升】
5．B [解析] 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,1－lg（x＋2）≥0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>－2，,x≤8))⇒－26．D [解析] 两个函数相同，必须定义域相同，对应关系相同．y＝eq \r(3,x3)与y＝x相同．
7．C [解析] 根据函数的概念，任何与x轴垂直的直线最多与函数图象有一个公共点，因此要把双曲线的渐近线y＝eq \f(\r(3),3)x逆时针旋转60°使之与y轴重合才能满足要求．
8．C [解析] 因f(x)＝eq \f(1,lg2（x＋1）)，x＋1>0，x>－1，且x＋1≠1，x≠0，所以x∈(－1，0)∪(0，＋∞)．
9．[0，1) [解析] 注意到x2≥0，故可以先解出x2，再利用函数的有界性求出函数值域．
由y＝eq \f(x2,x2＋1)，得x2＝eq \f(y,1－y)，∴eq \f(y,1－y)≥0，解之得0≤y<1.
10.eq \f(7,2) [解析] f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，且f(1)＝eq \f(1,2)，故得eq \f(7,2).
11.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\r(3)≤x≤－\f(\r(2),2)))或\f(\r(2),2)≤x≤\r(3))) [解析] ∵f(x＋1)的定义域为[－2，3]，即其自变量x的取值范围是－2≤x≤3，若令t＝x＋1，则－1≤t≤4，即关于t的函数f(t)的定义域为{t|－1≤t≤4}，从而要使函数f(2x2－2)有意义，只需－1≤2x2－2≤4，解得－eq \r(3)≤x≤－eq \f(\r(2),2)或eq \f(\r(2),2)≤x≤eq \r(3).∴f(2x2－2)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\r(3)≤x≤－\f(\r(2),2)))或\f(\r(2),2)≤x≤\r(3))).
12．解：∵AB＋BC＋CD＝a，∴BC＝EF＝a－2x>0，即0∵∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，∴AE＝DF＝eq \f(x,2)，BE＝eq \f(\r(3),2)x，
y＝eq \f(1,2)(BC＋AD)·BE＝eq \f(\r(3)x,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（a－2x）＋\f(x,2)＋\f(x,2)))
＝eq \f(\r(3),4)(2a－3x)x＝－eq \f(\r(3),4)(3x2－2ax)＝－eq \f(3\r(3),4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(\r(3),12)a2，
故当x＝eq \f(a,3)时，y有最大值eq \f(\r(3),12)a2，得它的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))和值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),12)a2)).
13．解：令x＝y得：f2(x)＋g2(x)＝g(0)，再令x＝0，即得g(0)＝0，或1，若g(0)＝0，令x＝y＝1时，得g2(1)＋1＝0，此式不成立，
故g(0)＝1；
而g(0)＝g(1－1)＝g(1)g(1)＋f(1)f(1)，即1＝g2(1)＋1，所以g(1)＝0；
那么g(－1)＝g(0－1)＝g(0)g(1)＋f(0)f(1)＝0，
g(2)＝g[1－(－1)]＝g(1)g(－1)＋f(1)f(－1)＝－1.
1．D [解析] f(4x)＝eq \f(4x－1,4x)，依题意，有eq \f(4x－1,4x)＝x，解得x＝eq \f(1,2).
2．C [解析] 根据已知，20＝2n＋n，分别将选项代入检验，知当n＝4时成立．
3．D [解析] A中的两个函数定义域不同，前者要求x≠1，而后者定义域为R，因而不是同一函数；B中的两个函数虽然定义域相同，但可以看出它们的值域明显不同，因此也能断定它们不是同一函数；C中的两个函数虽然定义域和值域都为实数集R，但对应关系不同，因而也不是同一函数；D中两个函数表面看来有区别，但由于它们的定义域都为正实数集，对应关系也一样，从而保证值域相同，所以这两个函数是同一函数，即正确选项为D.
4．A [解析] g(2)＝0，∴f[g(2)]＝f(0)＝0，而f(2)＝0，
∴g[f(2)]＝g(0)＝－2，故选A.
5．D [解析] 根据函数定义，集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．选项A中，集合A中的在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内的元素在集合B没有元素与之对应；选项B中，集合A中在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))内的元素在集合B中没有元素与之对应；选项C中，集合A中在[0，2)内的一个元素对应集合B中的两个元素；根据定义选项D中的图符合函数的定义．
6．A [解析] 当x<1时，由(x＋1)2≥1，解得x≤－2或x≥0，所以x∈(－∞，－2]∪[0，1)；当x≥1时，4－eq \r(x－1)≥1，所以x－1≤9，解得x≤10，所以x∈[1，10]，故选A.
7．D [解析] 1－x(1－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，所以08．A [解析] 由于x＋3与x被3除时有相同的余数，∴f(x＋3)＝f(x)，选A.
9．[1，2)∪(2，3) [解析] 实数x满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,3－x>0，,3－x≠1.))解该不等式组得1≤x<2或210．8 [解析] 由f(2)＝lgt(22－1)＝1得t＝3，所以f(eq \r(5))＝lg3(5－1)＝lg34，∴f(f(eq \r(5)))＝f(lg34)＝2·3lg34＝8.
11．(－4，－1)∪(1，4) [解析] f(x)的定义域是(－2，2)，故应有－212．解：要使解析式f(x)＝eq \r(ax2＋bx)有意义，
则ax2＋bx＝x(ax＋b)≥0.
当a>0时，函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,a)))∪[0，＋∞)，由于函数的值域为非负数，因此a>0不符合题意；
当a＝0时，f(x)＝eq \r(bx)，此时函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域也为[0，＋∞)，符合题意；
当a<0时，函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，－\f(b,a)))，又f(x)＝eq \r(ax2＋bx)＝eq \r(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))\s\up12(2)－\f(b2,4a))，
∵0<－eq \f(b,2a)<－eq \f(b,a)，∴当x＝－eq \f(b,2a)时，函数f(x)有最大值eq \r(－\f(b2,4a))，由题意有－eq \f(b2,4a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))eq \s\up12(2)，即a2＝－4a，解得a＝－4.
综上满足条件时a的值为0或－4.
13．(1)B (2)A [解析] (1)分别由x2＋1＝2，x2＋1＝5，x2＋1＝10解得x＝±1，x＝±2，x＝±3，
由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：
①取三个元素：有Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)＝8种；
②取四个元素：先从±1，±2，±3三组中选取一组Ceq \\al(1,3)，再从剩下的两组中选两个元素Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)，故共有Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)＝12种；
③取五个元素：Ceq \\al(5,6)＝6种；
④取六个元素：1种．
由分类计数原理，共有8＋12＋6＋1＝27种．
(2)线段OA满足y＝3x(0≤x≤1)，线段OA上的点(x，y)在映射f的作用下为(eq \r(x)，eq \r(3x))，设为(x′，y′)，则x′＝eq \r(x)，y′＝eq \r(3x)，故y′＝eq \r(3)x′(0≤x′≤1)，仍为线段；线段OB满足y＝eq \f(1,3)x(0≤x≤3)，线段OB上的点(x，y)在映射f的作用下为eq \r(x)，eq \f(\r(3x),3)，仍为线段且满足y′＝eq \f(\r(3),3)x′(0≤x′≤eq \r(3))；线段AB满足y＝4－x(1≤x≤3)，线段AB上的点(x，y)在映射f的作用下为(eq \r(x)，eq \r(4－x))，满足x′2＋y′2＝4(1≤x′≤eq \r(3)，1≤y′≤eq \r(3))，是一段圆弧，故所围成的图形是半径为2，圆心角为eq \f(π,6)的扇形，面积为eq \f(π,3)，故选A.