湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,则( )
A.B.C.D.
2、若对数函数经过点,则它的反函数的解析式为( )
A.B.C.D.
3、设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,,则下列命题正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
5、已知,,且,则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
6、心理学家有时用函数来测定人们在时间t(min)内能够记忆的单词量,其中k表示记忆率.心理学家测定某学生在10min内能够记忆50个单词,则该学生在30min从能记忆的单词个数为( )
A.150B.128C.122D.61
7、已知函数的定义域为R,满足,当,,且时,恒成立,设,,(其中),则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
8、已知函数,若存在,,,使得成立,则实数a的取值范围是( )
A.或B.C.D.
二、多项选择题
9、下列大小关系正确的是( )
A.B.C.D.
10、下列函数中,最小值为2的函数是( )
A.B.C.D.
11、以下计算正确的是( )
A.B.
C.D.
12、以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为,其中表示不超过x的最大整数,例如,,则( )
A.,
B.不等式的解集为
C.当,的最小值为
D.方程的解集为
三、填空题
13、已知函数(且),则必过的定点M的坐标为_________.
14、已知函数为R上的奇函数,则_________.
15、已知关于x的不等式恰有一个整数解,则实数a的取值范围是_________.
16、我们知道,函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为_________.
（2）已知函数与一次函数有两个交点,,则_________.
四、解答题
17、已知幂函数在定义域内单调递增.
（1）求的解析式;
（2）求关于x的不等式的解集.
18、设,函数().
（1）若函数是奇函数,求a的值;
（2）请判断函数的单调性,并用定义证明.
19、已知,.
（1）若,,求,;
（2）若,求m的取值范围.
20、佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用,某科技企业为了满足口罩的需求,决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为400万元,每生产台,另需投入成本(万元),当月产量不足70台时,(万元);当月产量不小于70台时,(万元).若每台机器售价万元,且该机器能全部卖完.
（1）求月利润y(万元)关于月产量(台)的函数关系式;
（2）月产量为多少台时,该企业能获得最大月利润?并求出其利润.
21、已知二次函数.
（1）若,使等式成立,求实数a取值范围.
（2）解关于x的不等式(其中).
22、对于函数,,如果存在一对实数a,b,使得,那么称为,亲子函数,称为关于和的亲子指标.
（1）已知,,试判断是否为,的亲子函数,若是,求出其亲子指标;若不是,说明理由.
（2）已知,,为,的亲子函数,亲子指标为,是否存在实数m,使函数在上的最小值为,若存在,求实数m的值,若不存在,说明理由.
参考答案
1、答案：C
解析：,故.
故选:C
2、答案：A
解析：设,函数过,即,即,,
它的反函数的解析式为.
故选:A
3、答案：B
解析：,则;,则,
故“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
4、答案：C
解析：A选项:若,,则,A错误;
B选项:取,,则,B错误;
C选项:若,则,所以,即,C正确;
D选项:取,,满足,但,D错误.
故选:C
5、答案：C
解析：因为,所以
因为,,
所以,
当且仅当即时,取等号,
故的最小值为6,
故选:C
6、答案：C
解析：由题可得,则,
所以,
即该学生在30min从能记忆的单词个数为122.
故选:C.
7、答案：D
解析：因为,所以函数的图象关于对称,
因为当,且时,恒成立,
所以函数在上是减函数,
又,,且,
所以.
故选:D.
8、答案：D
解析：若存在,,,使得成立,则说明在R上不单调,
当时,,图象如图,满足题意;
当时,函数的对称轴,其图象如图,满足题意;
当时,函数的对称轴,其图象如图,要使在R上不单调,则只要满足,解得,即.
综上,.
故选:D.
9、答案：BD
解析：对选项A:函数单调递增,故,错误;
对选项B:函数在上单调递增,故,正确;
对选项C:函数单调递减,故,错误;
对选项D:,,故,正确;
故选:BD
10、答案：BD
解析：对于A选项,当时,,则,A不满足;
对于B选项,因为,,由基本不等式可得,
当且仅当时,即当时,等号成立,即的最小值为,B满足;
对于C选项,,
当且仅当时,即当时,等号成立,
但,等号不成立,即的最小值不是,C不满足;
对于D选项,因为函数的定义域为,
且函数在上单调递增,故,D满足.
故选:BD.
11、答案：BCD
解析：对选项A:,错误;
对选项B:,正确;
对选项C:,正确;
对选项D:,
正确;
故选:BCD
12、答案：AB
解析：对选项A:设的整数部分为,小数部分为b,则,
的整数部分为,,故,正确;
对选项B:,则,故,正确;
对选项C:,
当且仅当,即时成立,不成立,故等号不成立,错误;
对选项D:取,则,代入验证成立,错误;
故选:AB
13、答案：
解析：不论(且)为何值,当时,,
所以函数必过的定点M的坐标为.
故答案为:
14、答案：或
解析：函数为上的奇函数,故,,
.
故答案为:
15、答案：
解析：,画出函数和的图像,如图所示:
不等式恰有一个整数解,则这个整数解为,
故且,解得.
故答案为:
16、答案：①.
②.
解析：（1）设点为函数图象的对称中心,
令,则为奇函数,
所以,即,
可得,,
所以,解得,
所以函数的对称中心为.
故答案为:
（2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数,所以,即,
所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为,
因为,
,
所以,
即对称中心为,
因为函数的图像是恒过点的直线,
所以交点,的中点为,
所以,,即.
故答案为:
17、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）幂函数在定义域内单调递增,
故,解得或,
当时,在上单调递减,在上单调递增,不满足;
当时,在上单调递增,满足;
故.
（2）在上单调递增,,
故,解得或,即.
18、答案：（1）1
（2）见解析
解析：（1）若函数为奇函数,则,
,则,
解得,由,得;
（2）函数为单调递增函数,证明如下:
设,
因为,所以,即,且,,
所以,即,
所以函数在R上为增函数.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,,
,.
（2）,,,
故,且,则,即.
,则,
解得,即
20、答案：（1）见解析
（2）当月产量为80台时,该企业能获得最大月利润,其利润为1500万元.
解析：（1）当时,;
当时,
（2）当时,;
当时,y取最大值万元;
当时,,
当且仅当时,取等号
综上所述,当月产量为80台时,该企业能获得最大月利润,其利润为1500万元.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）设,,则,,
故,函数在上单调递增,在上单调递减,
,,
故.
（2）,即,整理得到,
①当时,不等式的解为;
②当时,不等式的解为或;
③当时,
若,不等式解为;
若,不等式的解为;
若,不等式的解为;
综上所述:
当时,不等式的解为
当时,不等式的解为;
当时,不等式的解为;
当时,不等式的解为;
当时,不等式的解为;
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,
故,,解得,,
故是,的亲子函数,且亲子指标为;
（2）由题意得,
且,解得,
令,则,
因为,所以,
,,
当时,在上单调递减,
则,不合要求,
当时,对称轴为,
若,即时,在上单调递减,在上单调递增,
故,令,解得,
经检验,均满足要求,
当,即时,在上单调递减,
故,
令,解得,舍去,
当时,,故在上单调递减,
故,
令,解得,舍去,
综上,.