湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1、“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
2、集合,,则( )
A.B.C.D.
3、三个数,,的大小顺序是( )
A.B.
C.D.
4、若函数是R上的单调函数,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5、“函数在区间上单调递增”的充分必要条件是( )
A.B.C.D.
6、如图,点O为坐标原点,点,若函数且及的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则a,b满足.
A.B.C.D.
7、已知是奇函数,是偶函数,且,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
8、函数(且)的图象恒过定点,若对任意正数x、y都有,则的最小值是( )
A.B.C.1D.
二、多项选择题
9、下列函数既是偶函数,又在区间上是减函数的是( )
A.B.C.D.
10、下列叙述正确的是( )
A.当时,
B.当时,的最小值是5
C.函数的最大值是0
D.函数在区间上单调递增,则a的取值范围是
11、德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为( )
A.对任意,都有
B.对任意,都存在,
C.若,,则有
D.存在三个点,,,使为等腰直角三角形
12、已知连续函数满足:①,则有,②当时,,③,则以下说法中正确的是( )
A.
B.
C.在上的最大值是10
D.不等式的解集为
三、填空题
13、计算:___________.
14、已知函数,若对任意,恒成立,则实数a的取值范围是_____________.
15、已知函数是定义域为的奇函数,且,若对任意的,且,都有成立,则不等式的解集为____________.
16、已知函数,若关于x的不等式恰有1个整数解,则实数a的最大值是____________.
四、解答题
17、已知函数,其中,.
(1)求函数的解析式;
(2)已知方程的解集.
18、已知函数.
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)解不等式.
19、已知函数,.
(1)当时,解不等式;
(2)若,使得,求实数a的取值范围.
20、已知是定义在区间上的奇函数,且,若a,,时,有.
(1)判断函数在上是增函数,还是减函数,并证明你的结论;
(2)若对所有,恒成立,求实数m的取值范围.
21、某公司研发了一款新型的洗衣液,其具有“强力去渍、快速去污”的效果.研发人员通过多次试验发现每投放克洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间(分钟)变化的函数关系式近似为,其中,且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时,才能够起到有效去污的作用.若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.
(1)若一次投放4克的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?
(2)如果第一次投放4克洗衣液,4分钟后再投放4克洗衣液,写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y(克/升)与时间x(分钟)的函数关系式,其中x表示第一次投放的时长,并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污.
22、我们知道,函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数,有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
(1)已知函数,求该函数图象的对称轴方程;
(2)若函数的图象关于直线对称,且当时,.
①求的解析式;
②求不等式的解集.
参考答案
1、答案:B
解析:根据存在量词命题的否定为全称量词命题知,
“,”的否定是,.
故选:B.
2、答案:C
解析:要使函数有意义,
则,解得,
所以,
又,所以,
所以.
故选:C.
3、答案:D
解析:由题意得,,故选D.
4、答案:D
解析:因为函数在R上单调,由在上不可能单调递增,
则函数在R上不可能单调递增,故在R上单调递减,
所以,解得,
所以a的取值范围是.
故选:D.
5、答案:C
解析:设,因为外层函数在上为减函数,
且函数在区间上单调递增,
所以,内层函数在上单调递减,则,
且对任意的,恒成立,即恒成立,则,
所以,.
故选:C.
6、答案:A
解析:由题意知,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,
所以,,
把代入函数,即,解得,
把代入函数,即,即得,所以.
故选A.
7、答案:A
解析:因为①,且是奇函数,是偶函数,
则,即②,
由①②可得,
因为函数、均为R上的增函数,所以,函数为R上的增函数,
由,可得,解得.
因此,不等式的解集是.
故选:A.
8、答案:D
解析:对于函数(且),
令,可得,且,所以,,即,,
对任意的正数x、y都有,即,则,
所以,,
当且仅当时,即当时,等号成立,
所以,的最小值是.
故选:D.
9、答案:BC
解析:对于A,的定义域为R关于原点对称,且,
所以为奇函数,不符合题意;
对于B,设,定义域为R,满足,
即为偶函数;
当时,为减函数,符合题意;
对于C,的定义域为R关于原点对称,且,
所以为偶函数;当时,为减函数,为增函数,
根据复合函数单调性法则知,在区间上是减函数,符合题意;
对于D,的定义域为关于原点对称,且,
所以为奇函数,不符合题意.
故选:BC.
10、答案:ACD
解析:对于A,当时,,
当且仅当,即时,等号成立,正确;
对于B,因为,则,所以,
当且仅当即时,等号成立,但是,所以等号取不到,
即,错误;
对于C,当时,,
当且仅当,即时,等号成立,正确;
对于D,当时,函数在单调递增,函数在上单调递增,
由单调性的性质知,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递增;
当时,任取,,
当时,,,则有,
当时,,,则有,
所以函数在单调递减,单调递增,
所以要使函数在区间上单调递增,则,所以.
综上,,正确.
故选:ACD.
11、答案:BC
解析:对于A选项,当,则,此时,故A选项错误;
对于B选项,当任意时,存在,则,故;当任意时,存在,则,故,故对任意,都存在,成立,故B选项正确;
对于C选项,根据题意得函数的值域为,
当,时,,故C选项正确;
对于D选项,要为等腰直角三角形,只可能为如下四种情况:
①直角顶点A在上,斜边在x轴上,此时点B,点C的横坐标为无理数,则BC中点的横坐标仍然为无理数,那么点A的横坐标也为无理数,这与点A的纵坐标为1矛盾,故不成立;
②直角顶点A在上,斜边不在x轴上,此时点B的横坐标为无理数,则点A的横坐标也应为无理数,这与点A的纵坐标为1矛盾,故不成立;
③直角顶点A在x轴上,斜边在上,此时点B,点C的横坐标为有理数,则BC中点的横坐标仍然为有理数,那么点A的横坐标也应为有理数,这与点A的纵坐标为0矛盾,故不成立;
④直角顶点A在x轴上,斜边不在上,此时点A的横坐标为无理数,则点B的横坐标也应为无理数,这与点B的纵坐标为1矛盾,故不成立.
综上,不存在三个点,,,使得为等腰直角三角形,故选项D错误.
故选:BC.
12、答案:ACD
解析:因为,则有,
令,则,则,故A正确;
令,则,
令代x,则,
即,即,故B错误;
设,且,则,由,
令,则,即,
令,,则,
即,
因为时,,又,故,
所以,所以,即在R上单调递减,
又,所以,,
又,所以,
故在上的最大值为10,故C正确;
由,即,
即,即,
又因为,即,
所以,即,
故,即,解得,
即原不等式的解集为,故D正确;
故选:ACD.
13、答案:
解析:
.
故答案为:.
14、答案:
解析:对任意,恒成立;
等价于,即在上恒成立,
令,则在上单调递减,
所以,所以.
15、答案:
解析:因为对任意的,且,都有成立,
不妨设,且,所以,
令,则,
所以函数在上单调递减,
又由函数为定义在上的奇函数,
所以为偶函数,且在上单调递增,
由,可得,作出的示意图:
由于不等式,即为,
当时,不等式可化为,可得;
当时,不等式可化为,可得,
所以不等式的解集为.
故答案为:.
16、答案:8
解析:函数的图象,如图所示,
关于x的不等式 ,
当时,,由于关于x的不等式 恰有1个整数解,
因此其整数解为3 ,又,
所以,
则,所以实数a的最大值为8,
故答案为:8.
17、答案:(1)
(2)
解析:(1)因为,
则,
所以,,解得,
,可得,故.
(2)因为.
当时,由,可得,舍去;
当时,由,可得;
当时,由,可得.
综上所述,方程的解集为.
18、答案:(1)奇函数,证明见解析
(2)
解析:(1)函数为奇函数,证明如下:
对任意的,,故函数的定义域为R,
,故函数为奇函数.
(2)由,可得且,
即且,可得且,
解得或,
因此,不等式的解集为.
19、答案:(1)或
(2)
解析:(1)当时,,
由可得,解得或,
故当时,不等式的解集为或.
(2)因为,使得,
因为,则,
令,则,
则,
因为函数、在上均为增函数,
所以,函数在上为增函数,则,
故.
20、答案:(1)是增函数,证明见解析;
(2).
解析:(1)函数在上是增函数.
设
是定义在上的奇函数,.
又, ,
由题设有,即,
所以函数在上是增函数.
(2)由(1)知,对任意恒成立,
只需对]恒成立,即对恒成立,
设,则,
解得或,
m的取值范围是.
21、答案:(1)4
(2),能够持续有效去污
解析:(1)因为,所以,
当时,由,解得;
当时,由,解得;
综上可得,所以一次投放4克的洗衣液,则有效去污时间可达4分钟.
(2)由(1)知,当时,可得,
当时,可得,
综上所述,
当时,,
当且仅当即时,等号成立,
因为,所以接下来的4分钟能够持续有效去污.
22、答案:(1)
(2)①;②.
解析:(1)因为,
因为,
令,则该函数的定义域为R,
,
所以,函数为偶函数,
因此,函数图象的对称轴方程为.
(2)①因为函数的图象关于直线对称,且当时,
当时,,则,
所以,.
②当时,,因为函数、在上为增函数,
所以,函数在上为增函数,
因为,则,
不等式两边平方可得,即,解得,
因此,不等式的解集为.
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