山东省泰安市宁阳县第四中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省泰安市宁阳县第四中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、在长方体中,等于( )
A.B.C.D.
2、已知的三个顶点为,,,则BC边上的中线长为( )
A.1B.2C.3D.4
3、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
4、过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是( )
A.B.
C.D.或
5、双曲线的焦距为( )
A.B.2C.4D.2
6、抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A.B.C.1D.
7、在等差数列中,若,,则等于( )
A.8B.9C.10D.11
8、设为等比数列的前n项和,且,则等于( )
A.-11B.-8C.5D.11
二、多项选择题
9、若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则( )
A.B.C.D.l与相交
10、把圆的半径减小一个单位正好与直线相切,则实数a的值为( )
A.3B.3C.0D.1
11、已知方程,则( )
A.当时,方程表示椭圆B.当时,方程表示双曲线
C.当时,方程表示两条直线D.方程表示的曲线不可能为抛物线
12、已知数列的前n项和为S,,数列的前n项和为,则下列选项正确的为( )
A.数列是等差数列B.数列是等比数列
C.数列的通项公式为D.
三、填空题
13、如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线所成角的余弦值为_______________.
.
14、已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为_________.
15、以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为__________.
16、已知数列则____________.
四、解答题
17、如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且,N是CM的中点,设,,,用、、表示向量,并求BN的长.
18、已知正方形的中心为直线和的交点,正方形一边所在直线方程为,求其它三边方程.
19、已知P是直线上的动点,PA、PB是圆的两条切线,A、B是切点.
（1）求四边形PACB面积的最小值;
（2）直线上是否存在点P,使？若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
20、如图,直三棱柱的体积为4,的面积为.
(1)求A到平面的距离;
(2)设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.
21、已知公差不为零的等差数列满足,且,,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,且数列的前n项和为,求证：.
22、设椭圆,,为左右焦点,B为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.
(1)求椭圆C的方程
(2)设动直线椭圆C有且仅有一个公共点M,且与直线相交于点N.试探究:在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在求出点P的坐标,若不存在.请说明理由.
参考答案
1、答案：A
解析：
故选：A.
2、答案：C
解析：BC边上的中点为,所以,
故选：C.
3、答案：D
解析：由,得,故斜率为,因,所以倾斜角.
故选：D.
4、答案：D
解析：显然,所求直线的斜率存在.
当两截距均为0时,设直线方程为,将点代入得,
此时直线方程为;
当两截距均不为0时,设直线方程为,将点代入得,此时直线方程为.
故选：D.
5、答案：C
解析：双曲线化为标准方程,
的实半轴,虚半轴 ,
则,
双曲线的焦距为,
故选C.
6、答案：B
解析：因为抛物线的焦点坐标为,
双曲线的渐近线方程为,
由点到直线的距离公式可得.
故选：B.
7、答案：D
解析：设等差数列的公差为,则,
故
而.
故选：D.
8、答案：A
解析：,,,则公比,
,,.
故选：A.
9、答案：BD
解析：直线l的方向向量为,平面的法向量为,
,即,,则l与相交.
故选：BD.
10、答案：AB
解析：圆的方程可变为,圆心为,半径为,
由题意得,
解得.
故选：AB.
11、答案：BD
解析：A.取,此时表示圆,错误;
B.当时,方程表示焦点在x轴或y轴上的双曲线,正确;
C.当,时,方程不成立,错误;
D.方程表示的曲线不含有一次项,故不可能为抛物线,正确;
故选：BD.
12、答案：BCD
解析：由即为,可化为,
由,可得数列是首项为2,公比为2的等比数列,
则,即,
又,可得
故选：BCD.
13、答案：
解析：不妨设,建立如下的空间直角坐标系,
则,,,.
,.
.
故答案为：.
14、答案：或
解析：设直线l的方程为,则,且,
解得或者,
直线l的方程为或,即或.
故答案为：或.
15、答案：
解析：双曲线焦点,顶点,故椭圆的焦点为,顶点.
答案：
16、答案：5000
解析：由题意得
.
故答案为：5000.
17、答案：,
解析：因为N是CM的中点,底面ABCD是正方形,
所以
,
又由题意,可得,,,,
,
因此
,
所以,即BN的长为.
18、答案：其它三边所在直线方程为,,
解析：联立得,故正方形的中心为,又正方形相邻两边互相垂直,一边所在直线方程为,故可设正方形相邻两边方程为和,点到各边的距离相等,故,
即,故或,或,故其它三边所在直线方程为,,.
19、答案：（1）;
（2）不存在;答案见解析.
解析：（1）易知,.如图,连接PC,
易知.
因为,
所以当最小时,最小.
的最小值即为点C到直线的距离,
故,
所以,
所以,
即四边形PACB面积的最小值为.
（2）不存在.理由：
由（1）知圆心C到直线的最小距离为3,即,要使,则,显然不成立,所以这样的点P是不存在的.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）在直三棱柱中,设点A到平面的距离为h,
则,
解得,
所以点A到平面的距离为;
（2）取的中点E,连接AE,如图,因为,所以,
又平面平面,平面平面,
且平面,所以平面,
在直三棱柱中,平面,
由平面,平面ABC可得,,
又AE,平面且相交,所以平面,
所以BC,BA,两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图,
由（1）得,所以,,所以,
则,,,所以的中点,
则,,.
设平面ABD的一个法向量,则,
可取,
设平面BDC的一个法向量,则,
可取,
则,
所以二面角的正弦值为.
21、答案：(1).
(2)见详解.
解析：(1)设等差数列的公差为.
由题意得则
化简得解得
所以.
(2)证明：,
所以
.
22、答案：（1）
（2）存在定点
解析：(1)由题意知,解得：,故椭圆C的方程是.
(2)由得.
因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以且,
即,化简得.(*)
此时,,所以
由得.
假设平面内存在定点P满足条件,由图形对称性知,点P必在x轴上.
设,则对满足(*)式的m、k恒成立.
因为,,由,
得,
整理,得.(**)
由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得.
故存在定点,使得以MN为直径的圆恒过点M.