江西省吉安市永丰县永丰中学2022-2023学年高二上学期2月期末学期期末数学试题

这是一份江西省吉安市永丰县永丰中学2022-2023学年高二上学期2月期末学期期末数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人： 审题人： 备课组长：
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知、两点，则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．直线：和：垂直，则实数
A．B．1C．或1D．3
3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有（ ）．
A．144种B．90种C．260种D．120种
4．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则（ ）
A．B．
C．D．
5．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒
6．已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个白球，随机取一只袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
8．直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列各式中，不等于的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（ ）
A．B．C．D．
11．下列说法中正确的是
A．若事件与事件是互斥事件，则
B．若事件与事件是对立事件：则
C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
12．如图，正方体的棱长为，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角等于
B．点到面的距离为
C．两条异面直线和所成的角为
D．三棱柱外接球表面积为
三、填空题（共20分）
13．随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c满足，则___________.
14．已知，则“”是“X的密度曲线的峰值比Y的密度曲线的峰值高”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
15．设为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________．
16．已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△的面积是△面积的4倍，则直线l的方程为____________．
四、解答题（共70分）
17．已知二项式，且．
(1)求的展开式中的第5项；
(2)求的二项式系数最大的项．
18．要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
（1）甲当选且乙不当选；
（2）至多有3名男生当选．
19．抛物线的焦点为F，直线与C相交于A，B两点(点A在第一象限)，已知点A到y轴的距离为2，到点F的距离为.
（1）求C的方程；
（2）求的面积.
20．已知四棱锥中，平面平面，且，
是等边三角形， .
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
21．第届夏季奥林匹克运动会于年月日至日在巴西里约热内卢举行，为了选拔某个项目的奥运会参赛队员，共举行次达标测试，选手如果通过次达标测试即可参加里约奥运会，不用参加其余的测试，而每个选手最多只能参加次测试，假设某个选手每次通过测试的概率都是，每次测试通过与是相互独立．规定：若前次都没有通过测试，则第次不能参加测试．
(1)求该选手能够参加本届奥运会的概率；
(2)记该选手参加测试的次数为，求随机变量的分布列及数学期望．
22．已知椭圆．
(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；
(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．
1．B
【解析】设直线与平面的交点为，利用、、三点共线得向量共线，由此可求出答案．
【详解】解：设直线与平面的交点为，
（方法一）∵、、三点共线，则，
∵、，
∴，，
则，解得，
则，
（方法二）∵、、三点共线，则，
则，
则，解得，
则，
故选：B．
2．A
【分析】本题可以根据直线与直线的解析式以及两直线垂直的相关性质列出算式，然后通过计算得出结果．
【详解】由，解得，故选A．
【点睛】本题考查两直线之间的位置关系，主要考查两直线垂直的相关性质，有直线和直线垂直，则有，考查计算能力，是简单题．
3．A
【分析】按照分类分步计数原理，先排女生，再让男生去插空即可.
【详解】由3名男生不相邻知，应该先把3名女生排好，有种排法，
再让3个男生去插空，在3名女生形成的4个空中插入3个男生，共有种排法，
根据分步乘法计数原理，知总共有种排法；
故选：A．
4．B
【分析】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出的取值，设表示一箱产品中可以销售的件数，则服从二项分布，分别求出的取值对于得概率，从而可得答案.
【详解】解：由题意得该产品能销售的概率为，
易知的取值范围为，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，，
所以，
，
，
故.
故选：B.
5．C
【详解】.每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．
6．A
【分析】设事件表示“选中甲袋”，事件表示“选中乙袋”，事件表示“取到红球”，利用全概率计算公式能求出取到的球是红球的概率．
【详解】设事件表示“选中甲袋”，事件表示“选中乙袋”，事件表示“取到红球”，
则， ，，，
则取到的球是红球的概率为：．
故选：A．
7．D
【分析】根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立与的关系即可计算作答.
【详解】依题意，焦距，由椭圆、双曲线定义得：，
两式平方相加得：，于是有，
所以的值为.
故选：D
8．B
【分析】由条件求出参数，再根据切线的性质.
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线经过，所以，故，
由已知，，，圆的半径为3，
所以，
故选：B.
9．BC
【分析】利用组合数和排列数公式逐项判定即可
【详解】对A，正确；
对B, ,错误
对C, ,错误；
对D, 正确
故选：BC
10．AC
【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】因为点到直线的距离相等，
所以有，
化简得：，解得，或，
故选：AC
11．ABC
【解析】由对立事件和互斥事件的定义可依次判断各个选项得到结果.
【详解】事件与事件互斥，则不可能同时发生，，正确；
事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，正确；
事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，正确；
“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，错误.
故选：.
【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题.
12．BC
【分析】对选项逐一判断，对选项A，首先连接，交于点，易证平面，从而得为直线与平面所成的角，得；对选项B，根据平面，得为点到面的距离，再计算得；对选项C，首先连接，因为，得到为异面直线和所成的角，计算得；对选项D，根据三棱柱与正方体外接球相同，计算正方体的外接球的半径，即可得表面积.
【详解】对选项A，连接，交于点，由题意，四边形为正方形，，又因为平面，平面，所以，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又，故选项A错误；对选项B，因为平面，所以为点到面的距离，又因为棱长为，所以，故选项B正确；对选项C，连接，因为，所以为异面直线和所成的角，又因为，所以，故选项C正确；对选项D，因为三棱柱的外接球与正方体的外接球相同，设外接球半径为，，所以外接球表面积为，故选项C错误.
故选：BC
【点睛】（1）求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
13．
【分析】根据分布列的性质求得，同样由分布列可得所求概率．
【详解】因为，所以，，，
所以．
故答案为：．
14．充要
【分析】当一定时，依据正态曲线特点，即可得到 “”与“X的密度曲线的峰值比Y的密度曲线的峰值高”二者间的逻辑关系.
【详解】当一定时，较小时，峰值高，曲线“瘦高”；较大时，峰值低，曲线“矮胖”．
故“”是“X的密度曲线的峰值比Y的密度曲线的峰值高”的充要条件．
故答案为：充要
15．112
【详解】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得则，令，则展开式中的常数项为
16．
【分析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.
【详解】设点A，B的坐标分别为，
直线，令可得，故焦点F的坐标为，
所以，
由，，而△的面积是△面积的4倍，
所以，即，
设直线l为，联立方程，消去x后整理为，
所以，代入，有，可得，
则直线l的方程为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.
17．(1)
(2)
【分析】（1）首先根据组合数公式求，再利用二项展开式的通项公式求第5项；
（2）根据（1）的结果可知，是最大的二项式系数，代入通项公式求解.
【详解】（1）由，得，即，解得或（舍去）．
的二项式通项为，
当时，，所以的展开式中第5项为．
（2）因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大，
，所以的二项式系数最大的项是．
18．（1）70；（2）186．
【分析】（1）由题设，在除甲、乙的剩余8人中选4人参加活动，即可求选法数.
（2）将选法分为3男2女、2男3女、1男4女，分别求选法数，最后加总即为总选法数.
【详解】（1）甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有=70种选法．
（2）至多有3男当选时，应分三类：
第一类是3男2女，有种选法；
第二类是2男3女，有种选法；
第三类是1男4女，有种选法．
由分类加法计数原理知，共有=186种选法．
19．（1）；（2）.
【解析】（1）根据抛物线的定义可得，求出即可求解.
（2）由（1）可得，代入求出直线l的方程，利用韦达定理求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线l的距离，由三角形的面积公式即可求解.
【详解】解：（1）由题意知，，则，
∴抛物线方程为.
（2）∵点A在第一象限，∴，
把点A的坐标代入l得，
∴，得l的方程为.
设A，B两点的横坐标分别为.
直线l与抛物线C联立得，
∴.
∴，
∴.
∵点到直线l的距离为，
∴的面积为.
20．(1) 见解析. (2) .
【详解】试题分析：（1）根据计算可得，根据面面垂直性质定理得平面，即得，根据等腰三角形性质得，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果
试题解析：(1)在中，,所以,
又是等边三角形，所以,所以,即,
又因为平面平面，平面平面，所以平面，故.在中，.
所以.
又因为,所以平面.
(2)解法一：如图，取的中点，连接.
则在等腰中，.又因为平面平面,平面平面，所以平面.过点作的平行线，则平面.
由(1)知,故以为坐标原点，以直线分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设,则在中，,.
又在中，,
所以，故.
又因为是等边三角形，所以.
所以,,,，即.
所以,,.
设平面的法向量为，则由，
得.
令，得.故为平面的一个法向量.
因为平面，故为平面的一个法向量.
故
.
设二面角为，则由图可知,
所以.
解法二：取的中点，连接，连接并延长，交于，连接.
则在等腰中，.
又因为平面平面，平面平面,
所以平面.
设,则在中，.
又在中，，
所以
，故.
中，，所以，且.
故,又,且,
所以,故.
又因为平面，由三垂线定理可得,
所以为二面角的平面角.
在中，,所以.
故.所以在中，,
故
∴二面角的余弦值为.
21．(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）将该选手不能参加奥运会的情况分为两类，由独立事件概率乘法公式可求得不能参加奥运会的概率，由对立事件概率公式可求得结果；
（2）首先确定所有可能的取值，结合独立事件概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望公式计算可得.
（1）
记事件：该选手能够参加本届奥运会；则其对立事件有两种情况：前次均未通过测试和前次通过一次测试，但第次未通过测试；
，.
（2）
由题意知：该选手参加测试次数所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
.
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对两条弦所在直线的斜率是否同时存在进行分类讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合弦长公式计算可证得结论成立；
（2）对直线、的斜率是否同时存在进行分类讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用两点间的距离公式计算可证得结论成立.
（1）
证明：不妨弦、过椭圆的左焦点，其中，，.
当、中有一条为长轴时，另一条为过焦点且平行于短轴的弦，
联立可得，故该过焦点且平行于短轴的弦长为，
则；
当、中没有一条为长轴时，设，，
联立直线与椭圆方程得，
，
由韦达定理可得，，
根据弦长公式有．
用替换上式中的即得．
因此．
综上，．
（2）
证明：分以下两种情况讨论：
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，
联立，则，则．
用替换上式中的即得．
因此．
当、中有一条斜率不存在时，另一条斜率为，
此时，因此.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
X
0
1
P
a
b
c