江西省吉水中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份江西省吉水中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人： 审题人： 备课组长：
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若a，，则
C．若，，则D．若，则
3．已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知命题p:对于任意x∈[1，2]，都有；命题q:存在x∈R，使得 若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤-2B．a≤1C．a≤-2或a=1D．且
5．用条形图描述某班学生的一次数学单元测验成绩（满分100分）.如图所示，由图中信息给出下列说法：
①该班一共有50人；
②如果60分为合格，则该班的合格率为88%；
③人数最多的分数段是80-90；
④80分以上（含80分）占总人数的百分比为44%.
其中正确说法的个数为：（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知用二分法求函数在内零点近似值的过程中发现，，，，则可以确定方程的根所在区间为（ ）
A．B．C．D．无法确定
7．已知：，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1B．有最小值1
C．有最大值4D．有最小值4
8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．5B．6
C．7D．9
10．根据关于世界人口变化情况的三幅统计图（如图所示），有下列四个结论：
①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；
②2050年非洲人口将达到大约15亿；
③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；
④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
12．对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．方程有三个解
C．函数有3个单调区间D．函数有最大值为4，无最小值
三、填空题（共20分）
13．已知幂函数的图象经过点，则的值等于___________.
14．计算：______.
15．已知函数，则的值为__________．
16．若函数为奇函数，且，若，则_________．
四、解答题（共70分）
17．已知全集，若集合 ，.
（1）若，求；
（2）若, 求实数的取值范围.
18．某企业为了降低生产部门在产品生产过程中造成的损耗，特成立减少损耗技术攻关小组，企业预期每年能减少损耗10万元～1000万元．为了激励攻关小组，现准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随减少损耗费用x（单位：万元）的增加而增加，同时奖金不超过减少损耗费用的50％．
(1)若建立函数模型奖励方案，试用数学语言表述企业对奖励函数模型的基本要求；
(2)现有三个奖励函数模型；①；②；③．试分析这三个函数模型是否符合企业要求．
19．已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为，求，的值；
(2)当时，解关于x的不等式．
20．为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：cm）按，，，，分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)求100名学生中身高在内的人数；
(3)估计这100名学生身高的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
21．已知.
（1）求的值；
（2）当时，求函数的最大值.
22．设函数（，且）．
(1)若，且不等式在区间恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，函数在区间上的最小值为，求实数的值．
1．A
【分析】先求出集合,再利用集合,表示出阴影部分的集合，最后利用集合的运算求解即可.
【详解】由已知得，集合，则，
阴影部分表示的集合为
故选：.
2．C
【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.
【详解】A：令，；，，则，，不满足，故A错误；
B：a，b异号时，不等式不成立，故B错误；
C：，，，，即，故C正确；
D：令，，不成立，故D错误.
故选：C
3．A
【分析】由题知，再根据二次函数求最值即可求解.
【详解】因为命题“，”为真命题，
所以命题“，”为真命题，
所以时，，
因为，
所以当时，，
所以.
故选：A
4．D
【分析】根据题意，求出命题p和命题q为真命题时a的取值范围，求出它们都为真时的a的取值范围，再求补集即可．
【详解】根据题意，命题p：任意x∈[1，2]，，
若命题p为真，必有，即a≤1；
对于命题q,存在x∈R，，
若命题q为真，即方程有解，则有，
解可得：a≥1或a≤−2，
若命题p与q都是真命题，即，则有a≤−2或a＝1；
若p与q中至少有一个是假命题，
则实数a的取值范围是且
故选：D.
5．D
【分析】利用条形图进行数据分析，对四个说法一一判断，即可.①直接相加，即可求出该班人数；②直接计算该班的合格率；③由条形图直接判断；④直接计算出80分以上(含80分)占总人数的百分比，即可判断.
【详解】根据条形图进行数据分析：
①该班一共有2+4+10+12+14+8=50(人),此项正确；
②，此项正确；
③由条形图可知：人数最多的分数段是80-90,此项正确;
④80分以上(含80分)占总人数的百分比为,此项正确.
故选：D
6．B
【分析】根据零点存在性定理可直接判断.
【详解】由，，可判断方程的根所在区间为.
故选：B.
7．A
【分析】利用基本不等式进行判断即可.
【详解】因为，所以有，当且仅当时取等号，因此选项A正确，选项B错误；
因为，
所以有，
当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，所以选项D不正确，
当时，显然有，因此选项C不正确，
故选：A
8．B
【分析】判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，解之即可．
【详解】在上单调递增，则
所以是方程在上的两个不等实根，
令，则，
所以在上有两个不等实根，
令，对称轴，
则，即，解得．
故选：B．
9．BC
【分析】将题目转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式组，解之即可.
【详解】设，函数图象开口向上，且对称轴为，
因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，
需满足，即，解得，又因为，所以或或，
故选：BC.
10．AC
【分析】根据统计图一一分析即可；
【详解】解：①从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故①正确；
②从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，故②错；
③从扇形统计图中能够明显的得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故③正确；
④由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．
因此正确的命题有①③．
故选：AC．
11．ABD
【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．
【详解】由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有,
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
12．AB
【分析】由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案.
【详解】当，即或时，=；
当，即时，.
则，画出图像如下.
对于A选项，因，且，则函数是偶函数，A正确.
对于B选项，由图可得有三个解，B正确.
对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误.
对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D错误.
故选：AB
13．##
【分析】设幂函数解析式为，代入点可求得，计算即可
【详解】由题意，设幂函数解析式为，过点
故，解得
故
则
故答案为：
14．80
【解析】根据指数幂与根式的互化，由指数运算法则，以及对数运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查指数幂与对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
15．1.
【分析】根据指数、对数的运算算出答案即可.
【详解】因为
所以，
所以
故答案为：1
16．
【分析】由奇函数的性质结合得出函数的周期为4，再由周期性求函数值.
【详解】因为，所以.
因为函数为奇函数，所以.
即，故函数的周期为4.
，
故答案为：
17．（1）（2）
【分析】（1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可；
（2）由可得，利用集合的包含关系求解即可.
【详解】（1）当时，，所以，
因为，所以；
（2）由得，，
所以
【点睛】本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题.
18．(1)当时，Ⅰ、函数为增函数，Ⅱ、恒成立；
(2)函数模型③.
【分析】（1）随减少损耗费用x（单位：万元）的增加而增加，同时奖金不超过减少损耗费用的50％，即是增函数与，翻译成数学语言即可.
（2）分别验证这三个模型是否满足在定义域下为增函数且.
【详解】（1）设奖励函数模型为，则企业对函数模型的基本要求是：
当时，Ⅰ、函数为增函数，Ⅱ、恒成立．
（2）Ⅰ．对于①函数模型，由，该模型不符合企业奖励方案；
Ⅱ．对于②函数模型，由，
故当时，不恒成立，该模型不符合企业奖励方案；
Ⅲ．对于③函数模型，
二次函数的对称轴为，故函数在区间上单调递增；令
当时，，，
故．
得当时，恒成立．
由上知，函数模型③符合企业奖励方案．
19．(1)；
(2)见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式解法可知2，3为方程的两个根，然后利用韦达定理求解即可；
（2）化简，讨论a的取值分别求解不等式即可．
【详解】（1）由条件知，关于x的方程的两个根为2和3，
所以，解得．
（2）当时，，即，
当时，即时，解得或；
当时，即时，解得；
当时，即时，解得或．
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
20．(1)
(2)50人
(3)166.2cm
【分析】（1）利用频率和为1可求得结果.
（2）求出身高在的频率即可得到人数.
（3）直接利用平均数公式计算即可.
(1)
(2)
由图可知，身高在内的频率为，故这100名学生中身高在有50人
(3)
平均数为，即这100名学生身高的平均数为166.2cm．
21．（1）；（2）
【分析】（1）由解析式可求得，得到，进而求得结果；
（2）通过分离常数法，将解析式化为；根据，结合不等式的性质及对数函数的单调性可求得值域，进而得到最大值.
【详解】（1）由得：

（2）
当时，

当时，的最大值为
【点睛】本题考查函数性质的应用、分离常数法求解函数的值域等知识；关键是能够根据解析式的特征，结合对数函数运算性质得到的值；处理与分式型有关的函数值域问题时，通常采用分离常数法，结合不等式的性质来求得值域.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）求得的范围，判断的奇偶性和单调性，并由此把问题转化为在区间恒成立，求解即可；
（2）求出的值，得，利用换元法，令，设，转化为二次函数求最值问题，分类讨论求解即可．
【详解】（1），因为，解得，
因为，且，在R上为单调递增函数，
则函数为R上单调递增的奇函数，
不等式等价于，
所以，即在区间恒成立，
当时，，则，
当时，，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
（2），即，解得或（舍），
所以，
令，则在单调递增，所以，即，
设，对称轴为，
当时，则在区间单调递减，
则，解得：符合题意，
当时，则在区间单调递减，在区间单调递增，
，解得：或（舍），
综上所述或．