江西省遂川中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份江西省遂川中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人： 审题人： 备课组长：
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（ ）
A．B．C．D．
3．若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是
A．B．C．D．
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ）
A．恰有1名女生与恰有2名女生B．至多有1名女生与全是男生
C．至多有1名男生与全是男生D．至少有1名女生与至多有1名男生
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数满足：①、，，②，，则（ ）
A．是偶函数且在上单调递减
B．是偶函数且在上单调递增
C．是奇函数且单调递减
D．是奇函数且单调递增
7．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若使提价后的销售总收入不低于20万元，则提价后的价格至多是（ ）
A．4元B．5元C．3元D．6元
8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．如图是某省2015-2019五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ）
A．这五年，2018年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2019年进口增速最快
10．一组互不相同的样本数据的平均数为，若在这组样本数据中增加一个新的数据，得到一组新的样本数据，则（ ）
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组样本数据的方差相同
C．两组样本数据的极差相同
D．两组样本数据的中位数相同
11．高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（ ）
A．恰有一名参赛学生是男生的概率为B．至少有一名参赛学生是男生的概率为
C．至多有一名参赛学生是男生的概率为D．两名参赛学生都是男生的概率为
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数B．在上是增函数
C．的值域是D．的值域是
三、填空题（共20分）
13．一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为_________.
14．若幂函数是偶函数，则______．
15．有9张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中任取3张，则抽出的3张卡片标有的数字至少有2个是相邻的概率是______.
16．设是定义在R上的奇函数，在上单调递减，且，给出下列四个结论：
①；②是以2为周期的函数；
③在上单调递减；④为奇函数.
其中正确命题序号为____________________
四、解答题（共70分）
17．（1）计算：；
（2）若，化简：．
18．现将某校高二年级某班的学业水平测试数学成绩分为、、、、五组，绘制而成的茎叶图、频率分布直方图如下，由于工作疏忽，茎叶图有部分被损坏，频率分布直方图也不完整，请据此解答如下问题：（注：该班同学数学成绩均在区间内）
（1）将频率分布直方图补充完整．
（2）该班希望组建两个数学学习互助小组，班上数学成绩最好的两位同学分别担任两组组长，将此次成绩低于60分的同学作为组员平均分到两组，即每组有一名组长和两名成绩低60分的组员，求此次考试成绩为52分、54分和98分的三名同学分到同一组的概率．
19．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上函数值随着x的增大而减小.
（1）求m值.
（2）若满足，求a的取值范围.
20．小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；
（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.
21．已知函数.
（1），求值域；
（2），解关于的不等式.
22．设，已知函数.
(1)当时，用定义证明是上的严格增函数；
(2)若定义在上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数；
(3)对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
1．C
【分析】化简集合，再利用交集的定义运算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
2．B
【分析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解.
【详解】设高一年级学生人数为，
因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，
所以从高二和高三年级抽取人，
则，解得，
即高一年级学生人数为.
故选：B.
3．C
【分析】根据题意可得与有四个交点，注意为偶函数，利用数形结合分析处理．
【详解】∵关于的方程有四个不同的实数解，
则与有四个交点，
∵，则为偶函数
如图分别画出函数和的图象
∵要使的图象与的图象有四个交点，∴，
故选：C．
4．A
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项．
【详解】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有：
两男、两女、一男一女．
恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A正确；
至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B错误；
至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C错误；
至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D错误．
故选：A．
5．D
【解析】由解析式可知为偶函数且、即可知正确选项.
【详解】由解析式，有，即为偶函数，选项A错误；由及知，选项B，C错误，
故选：D.
6．D
【分析】根据题意得，进而令即可判断函数奇偶性，再设，令即可判断函数的在上单调递增，再结合奇偶性即可判断.
【详解】解：因为函数满足： 、，，
所以，令得，即，
令得，即，
所以，函数为奇函数，
设，令，
所以，，
因为，，
所以，即，
所以，函数在上单调递增，
所以，函数在单调递增，
综上，是奇函数且单调递增.
故选：D
7．A
【解析】设提价后价格是元（），求出销售量得总收入，列不等式求解．
【详解】设提价后价格是元（），则销售量为（万本）
销售总收入为，
由，得，∴
∴提价后至多为每本4元．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，解题时需引入参数，可根据已知函数模型列出函数或不等式求解．本题要注意的单位要统一，销售收入是以元为单位还是以万元为单位要一致，否则易出错．
8．D
【分析】利用函数的性质，将化到这个区间，再利用在上单调递增，即可判断的大小关系.
【详解】，
，
，
又
即，，，
且在上单调递增，
，
即.
综上可得.
故选:D.
9．BD
【分析】根据条形图、折线图逐一分析即可
【详解】由柱状图可得2015年出口额最少，出口总额比进口总额高，故错误，正确；
由折线图可得第一年出口增速上升，故错误；
这一年的进口增速折线最陡，故其最快，故正确，
故选：．
【点睛】本题考查学生数据处理的能力，考查了数形结合思想，属于基础题．
10．AC
【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用方差公式可判断B选项；利用极差的定义可判断C选项；利用中位数的定义可判断D选项.
【详解】由已知可得.
对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对；
对于B选项，新数据的方差为
，B错；
对于C选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，C对.
对于D选项，不妨设，
当n为奇数时，则原数据的中位数为，
若，则中位数为，
若，则中位数为，
当n为偶数时，则原数据的中位数为
若，则中位数为，
若，则中位数为，
D错；
故选：AC.
11．AC
【分析】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果，
对于A，恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，从而可求出概率；对于B，先求其对立事件“两名参赛学生都是女生”的概率，再求所求概率；对于D，从3名男生中任选2人有3种结果，从而可求出概率；对于C，“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以用1减去D项的概率即可
【详解】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为，A对；
“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为，B错；
“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为，D错；
“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为，C对.
故选：AC
12．BD
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B、D，再根据高斯函数的定义求出的解析式，即可判断A、D.
【详解】解：因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在定义域上单调递增，故B正确；
因为，所以，所以，则，
则，即，故C错误；
令，即，解得，
所以当时，
令，即，解得，
所以当时，当时，
所以，
所以的值域是，故D正确；
显然，即不是偶函数，故A错误；
故选：BD
13．
【详解】试题分析：由平均数公式得的值，有方差公式可求得.
考点：平均数和方差公式.
14．
【分析】先根据函数为幂函数求出或1，再根据奇偶性验证即可.
【详解】是幂函数，，解得或1，
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意，
综上，.
故答案为：.
15．
【解析】解法一：确定总的基本事件个数后，分别求得抽出的张卡片标有的数字只有个相邻和有个相邻的事件个数，根据古典概型概率公式求得结果；
解法二：确定总的基本事件个数后，求得抽出的张卡片标有的数字均不相邻的事件个数，根据对立事件概率公式可求得结果.
【详解】解法一：记“抽出的张卡片标有的数字至少有个相邻”为事件.
总的基本事件个数为，
抽出的张卡片标有的数字只有个相邻的情况有：（种），
抽出的张卡片标有的数字有个相邻的情况有种，
则.
解法二：记“抽出的张卡片标有的数字至少有个相邻”为事件.
总的基本事件个数为，
表示事件“抽出的张卡片标有的数字均不相邻”，则包括的基本事件的个数为，
则.
【点睛】方法点睛：对于基本事件情况较多的情况，可采用两种方法来求解：
（1）直接法：分类讨论不同情况，利用分类加法计数原理求得基本事件个数，进而求得概率；
（2）间接法：利用对立事件概率公式求得所求概率.
16．①②④
【分析】①由用赋值法求解即可；②由奇函数和得；③由题设得到关于对称判断单调性；④结合②得为奇函数.
【详解】①函数是定义在R上的奇函数，故，
又，则，即，正确.
②由，故，函数的周期是，正确.
③是奇函数，，则，即关于对称，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，不正确.
④是奇函数，函数的周期是，所以，
所以是奇函数，正确；
故答案为：①②④
17．（1）8；（2）.
【解析】（1）根据实数指数幂的运算法则，即可求得答案；
（2）根据实数指数幂的运算法则，化简整理，即可得答案.
【详解】（1）=；
（2）.
18．（1）频率分布直方图详见解析；（2）．
【分析】（1）由茎叶图得成绩在中的人数为4人,由频率分布直方图得成绩在中的人数所点的频率为0.08,从而总人数为50人,由此能把频率分布直方图补充完整.
（2）与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能,由此能求出此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率.
【详解】（1）由茎叶图得成绩在中的人数为4人,
由频率分布直方图得成绩在中的人数所点的频率为,
∴总人数为人,
∴成绩在组的人数为（人）,
∴频率分布直方图中成绩在和组高度分别为：
和,
∴频率分布直方图补充完整如下：
（2）与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能：
,,,,,,
∴此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率为.
【点睛】本题考查频率分布直方图的画法,考查概率的求法,考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
19．（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可知为负偶数，且，即可求得m值；
（2）将所求不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为函数在上单调递减，
所以，
解得.
又因为，所以，；
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，故.
（2）由（1）可知，，所以得，解得或，
即a的取值范围为.
20．（1）；（2）；（3）
【解析】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达，由题意A，B，C相互独立（1）根据互斥事件的和及相互独立事件同时发生，知这三列火车恰好有两列正点到达为事件，计算概率即可（2）三列火车至少有一列正点到达的对立事件为都未准点到达，所求概率（3）三列火车恰有一列火车正点到达为事件,计算概率即可.
【详解】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达，则，，，所以，，.且A，B，C相互独立.
（1）由题意得，恰好有两列火车正点到达的概率为
.
（2）由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为.
（3）由题意得，恰有一列火车正点到达的概率为
.
【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件的概率，属于中档题.
21．（1）（2）答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）将代入，然后分类讨论去绝对值号，分段求值．
（2）先得到不等式，然后分和两类讨论解不等式．
【详解】解：（1）；
；
；
所以的值域为；
（2）；
，令
①当时，，所以或，即或；
②当时，，所以或，即；
得或
综上，当时不等式的解为：或或；
当时不等式的解为：或
【点睛】解题的关键在两点，一是去绝对值号，二是对参数a的讨论，本题是一道难度比较大的题目．
22．(1)证明见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）根据奇函数的定义可以求出参数，从而根据反函数的定义即可求出反函数解析式；（3）将不等式的右侧转化为特殊的函数值，再利用已经证明的函数的单调性即可求解.
【详解】（1）当时，.
任取，，
因为，所以，
即，.
所以，是上的严格增函数.
（2）由题意得当时，，
又是定义在上的奇函数，即，得.
所以当时，，
由得当时，，
.
令，则，得，
故在区间上的反函数，.
（3）是上的严格增函数，
关于的不等式在上恒成立，
又，所以，
即恒成立，令，
得，即，
故实数的取值范围是.