精品解析： 湖南省长沙市开福区清水塘实验学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份精品解析： 湖南省长沙市开福区清水塘实验学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是这个图形的对称轴，根据定义逐一分析判断即可．
【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2. 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径约为0.00008毫米，则0.00008用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将0.00008写成的形式即可，其中，n为正整数．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握中n的取值方法——n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】A、，此项正确；
B、，此项错误；
C、，此项错误；
D、，此项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
4. 如图，在ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠B＝∠CB. AD⊥BC
C. ∠BAD＝∠CAD＝∠CD. BD＝CD
【答案】C
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，故本选项正确，不符合题意；
B、∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，故本选项正确，不符合题意；
C、∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，而无法得到∠BAD＝∠CAD＝∠C，故本选项错误，符合题意；
D、∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE＝30°，则的度数为（ ）
A. 120°B. 100°C. 150°D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，根据平角定义可求出∠BED的度数，即得∠BEF的度数，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴∠AEB=60°，
由折叠的性质知：∠BEF=∠DEF=∠BED，
∵∠BED=180°∠AEB=120°，
∴∠BEF=60°，
∵BE∥C′F，
∴∠BEF+∠EFC′=180°，
∴∠EFC′=180°∠BEF=120°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记折叠的性质及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
6. 不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出每个不等式解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得x≥﹣1，
解不等式②，得x＜1，
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜1，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式组，掌握解不等式组的方法是关键．
7. 函数y中自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞3B. x≠3C. x≥3D. x≥0
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故选C.
【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
8. 要使多项式化简后不含x的二次项，则等于（ ）
A. 0B. 1C. －1D. －7
【答案】D
【解析】
【分析】先求出二次项的系数，然后令系数为0，求出m的值．
【详解】解：3x2-2（5+x-2x2）+mx2=3x2-10-2x+4x2+mx2
=（3+4+m）x2-10-2x，
二次项的系数为：3+4+m，
则有3+4+m=0，
解得：m=-7．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减，关键是得到二次项的系数．
9. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分式方程两边乘以最简公分母（3x-1），去分母即可得到结果．
【详解】解：，
方程两边同时乘（3x-1）得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程中去分母这一步骤，先确定最简公分母，再按照去分母的方法计算，关键是最简公分母的确定．
10. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：x2－25=_________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：．
12. 化简：________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据分式的减法法则即可得．
【详解】解：原式，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
13. 若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的边数是_______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查多边形外角与边数的关系，正多边形的边数等于除以每一个外角的度数．
【详解】解：∵一个正多边形的每一个外角都是，
∴边数．
故答案为：10．
14. 如图，，，若，则________．
【答案】50°
【解析】
【分析】首先根据两直线平行，内错角相等的性质求出∠BED，再利用平角的定义和垂线的定义求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠EDC=∠BED=40°，
∵DE⊥CE，
∴∠CED=90°，
∴∠AEC=180°-∠CED-∠BED=180°-40°-90°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题比较简单，考查的是平行线的性质及垂线的定义．
15. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．
【详解】解：平分，，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
16. 若分式的值为0，则a的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】先进行因式分解和约分，可得，再进行求解即可．
【详解】解：原式，
∵分式值为0，
∴，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，需要注意，此题a不能为，为分式方程的增根，不成立．
三、解答题（本大题共9个小题，第17.18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算:
【答案】
【解析】
【分析】根据负指数幂、零指数幂、绝对值、乘方的运算法则运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了负指数幂、零指数幂、绝对值、乘方的运算法则，掌握相关的运算法则是解题的关键．
18. 先化简，再求值． ．其中m＝2，n＝1．
【答案】2mn ，4
【解析】
【分析】先利用平方差公式、完全平方公式进行计算，然后去括号合并同类项，最后把m与n的值代入求值即可．
【详解】解：
=
= 2mn
当m=2，n= 1时，原式= 22 1=4．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，熟练运用整式的相关运算法则是解答本题的关键．
19. 解方程：．
【答案】原方程无解．
【解析】
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是能把分式方程转化成整式方程进行求解．
20. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）在图中画出关于x轴对称的图形；
（2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）y轴，
（3）2.5
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）利用轴对称的性质解决问题即可；
（3）根据割补法求解．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即y轴，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为；
【小问3详解】
．
【点睛】本题考查了坐标与轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1=∠2，AD=DE．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD=3，CD=5，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；
（2）得出AB = DC = 5，CE= BD= 3，求出AC = 5，则AE可求出．
【小问1详解】
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠1=∠2，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE．
【小问2详解】
解：∵△ABD≌△DCE
∴DB=EC=3，CD=AB=AC=5．
∴AE=2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22. 近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多万元，花万元购买A种设备和花万元购买B种设备的数量相同．
（1）求两种设备每台各多少万元．
（2）根据单位实际情况，需购进两种设备共台，总费用不高于万元．求种设备至少要购买多少台？
【答案】（1）每台种设备万元，每台种设备万元；（2）10台
【解析】
【分析】（1）设A种设备每台万元，则B种设备每台万元，然后根据题意列分式方程即可求出结论；
（2）设购买种设备台，则购买种设备台，，然后根据题意列一元一次不等式即可得出结论．
【详解】（1）设每台种设备万元，则每台种设备万元，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程解，
且
答：每台种设备万元，每台种设备万元．
（2）设购买种设备台，则购买种设备台，
根据题意得：，
解得：．
又∵为整数，
∴．
答：种设备至少要购买台．
【点睛】此题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．
23. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．

（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=7，AC=5，求AE，BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）AE=6，BE=1．
【解析】
【分析】1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，进而就可以求出结论．
【详解】（1）连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．

∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠AFD=∠DFC=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中 ，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB-BE，
∴AC+CF=AB-BE
∵AB=7，AC=5，
∴5+BE=7-BE，
∴BE=1，
∴AE=7-1=6．
答：AE=6，BE=1．
【点睛】此题考查角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24. 定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）10，
【解析】
【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可；
（2）把M、N两点代入，把根号下函数转化为顶点式即可求解；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为：；
故最小值为：；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，
此时；
作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，AC-BC=AC-=，
在x轴上任取一点，，
即
故的最小值为：10m；的最大值为．
【点睛】本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)、B(0,b)分别为x轴和y轴上一点，且a,b满足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD=AC，连接OC、OD．
（1）A点的坐标为 ；∠OAB的度数为 ．
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由．
（3） 如图2，连接CD，若点C的坐标为(4，3)，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F．
①求D点的坐标；
②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2），；理由见解析；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）直接根据完全平方式的非负性，二次根式有意义的条件得出的值即可得出答案；
（2）根据题意证明，根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理可得结论；
（3）①作轴交轴于点，轴交轴于点，证明，即可得到答案；
②延长交于点，根据题意证明，然后证明，可得结论．
【详解】解：（1）∵，
即，
∴，，
∴A点的坐标为，点
∴,
∵，
∴,
故答案为：，；
（2）设与轴交于点与交于点，
∵BE⊥AC，
∴，
在和中，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）①作轴交轴于点，轴交轴于点，
∵点C的坐标为(4，3)，
∴，
由知，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴,，
∴；
②延长交于点，
∵，，，
∴，
∴，
∵CE平分∠OCD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方式的非负性，二次根式有意义的条件，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．