精品解析：安徽省2022-2023学年九年级上学期期末阶段测试数学试卷（解析版）

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第21∼24章
一．选择题（本大题共10小题）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．
【详解】解：A、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形旋转后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目中的解析式，即可直接写出抛物线的顶点坐标．
【详解】∵抛物线解析式为：，
∴抛物线的顶点坐标为：，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数得性质，解题的关键是熟练掌握抛物线顶点式的特点与性质．
3. 如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了86°，小孩的位置也从点运动到了点，则的度数为（ ）
A. 33°B. 37°C. 43°D. 47°
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到，再利用等边对等角进行求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，熟知旋转的性质是解题的关键．
4. 如图，若圆的半径为3，点到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解．
【详解】解：∵的半径为3，圆心到一条直线的距离为3，，
∴这条直线与圆相切，
由图可知只有直线与圆相切，
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
5. 若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】利用分离常数法得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟知分离常数法是解题的关键．
6. 如图，是的外接圆，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出的度数，即可求解．
【详解】解：为等腰直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，特殊角的三角函数值，掌握圆周角定理，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
7. 如图，与相切于点A，将线段绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线性质得到∠OAB=90°，进而求得∠AOB，再根据旋转性质求得∠AOA′=110°即可求解．
【详解】解：∵与相切于点A，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠AOB=90°-∠B=50°，
∵线段绕点O逆时针旋转得到．
∴∠AOA′=110°，
∴∠BOA′=110°-50°=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的两锐角互余、旋转性质，熟练掌握切线的性质，准确找到旋转角是解答的关键．
8. 如图，圆的半径垂直弦于点，连接并延长交圆于点，连接．若，，则长为( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设的半径为，根据垂径定理可得，进而在中，勾股定理求得半径，进而根据，即可求解．
【详解】解：设的半径为．
，
，
为直径，
，
是的中点，
，
在中，
∴，
∴，
（负值舍去），
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
9. 冉冉录入一篇文章，录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）之间的关系如图所示；
（1）求与间的函数表达式；
（2）若冉冉将原有录入速度提高，结果提前2分钟完成了录入任务，求冉冉原来的录入速度．
【答案】（1）
（2）125字/分钟
【解析】
【分析】（1）根据录入的时间录入总量录入速度即可得出函数关系式；
（2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时分钟，由题意得关于t的分式方程，解方程即可求出t的值．
【小问1详解】
解：设
把代入 得，
，
∴y与x的函数表达式为 ；
【小问2详解】
设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时分钟，原来的录入速度为x字/分钟
由题意得， ，
整理得： ，
∵录入速度提高了，则实际录入速度为字/分，
则 即 ，
解得：，
经检验是原方程的解，
冉冉原录入速度为：（字/分钟），
答：冉冉原来的录入速度为125字/分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、解分式方程，根据工作量得到等量关系是解决本题的关键．
10. 如图，在中，，过点作于点D，P是内一点，且，连接交于点，若点恰好为内心，则的度数为（ ）
A. 36°B. 48°C. 60°D. 72°
【答案】C
【解析】
【分析】根据内心定义可知，，分别是，，的角平分线，推导出，由等腰三角形三线合一的性质可得，由全等三角形的判定及其性质可得,，继而可得，，进而即可求解．
【详解】∵点恰好为内心，
∴，，分别是，，的角平分线，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，于点D，
∴点是的中点，，
又，，
∴
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内心的定义及其性质，全等三角形的判定及其性质、等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学知识点．
二．填空题（本大题共4小题）
11. 计算：______．
【答案】2
【解析】
【分析】将的值代入计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了含有三角函数的混合运算，正确掌握的值是解题的关键．
12. 如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距．
【答案】正方形ABCD的边长为，边心距为．
【解析】
【分析】过点O作，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出，然后在中，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：过点O作，垂足为E，
∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形，，
，
．
在中，，
由勾股定理可得
，
，
，
，
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于．
13. 如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
14. 在矩形中，，，点从点出发，沿折线以每秒1个单位的速度运动，过点作，交于点，交于点，设点的运动时间为．
（1）如图1，当点在上时，若，求四边形的面积．
（2）如图2，当点在上，且时，求点到的距离．
【答案】（1）32 （2）
【解析】
【分析】（1）设点P在上运动了x秒，则，由可得，利用相似比，求出为关于x的代数式，再根据面积，求出x的值，求出PB，最后根据矩形面积公式求解即可；
（2）过点B作于点N，过点P作于点M，根据等面积求出，再证明，利用相似比即可求解．
【小问1详解】
设点P在边上运动了x秒，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得或 （不合题意舍去负值），
；
，
∴四边形的面积为；
【小问2详解】
四边形是矩形，，
∵点P在上， ，且，
，
，
，
过点B作于点N，过点P作于点M，
，
，
，
，
，
，
；
∴点P到的距离为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等相关知识，注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
三．（本大题共2小题）
15. 如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围．
【答案】0＜r＜5
【解析】
【分析】先根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求得AB、AD，再根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵5＜6＜8，
∴AD＜AB＜AC，
∵A为圆心，r为半径，点B，D，C均在外，
∴0＜r＜5．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）请画出绕点逆时针方向旋转90°后得到的图形．（点A，B，C的对应点分别为点，，）
（2）请画出（1）中关于原点对称的图形．（点，，的对应点分别为点，，）
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先画出三角形各顶点绕着点O逆时针旋转后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形；
（2）根据中心对称的性质，画出三角形各顶点关于点O的对称点，再用线段依次连接各顶点，得到图形；
【小问1详解】
解：如下图：
作图步骤：
连接
以O为旋转中心，在逆时针方向作出与原对应线段相等，对应点分别为点，，，
连接各点即可；
【小问2详解】
如下图：
作图步骤：
反向延长，根据对应线段相等作出对应点，，，
连接，，即可．
【点睛】本题主要考查了图形基本变换中的旋转及中心对称的知识，解决问题的关键是先找准对应点，并依次连接对应点．
四．（本大题共2小题）
17. 如图，圆是的外接圆，，过点作圆的切线，交的延长线于点．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线的性质可知，根据三角形外角的性质可求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵C是圆O的切点，是圆O的半径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
18. 如图，四边形是边长为1的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为…．弧，弧，弧，弧…的圆心依次按点A，B，C，D循环，请回答下列问题：
（1）直接写出弧的半径．
（2）直接写出弧的半径．
【答案】（1）4 （2）弧的半径为
【解析】
【分析】（1）根据题意，依次推导即可求解．
（2）根据题意可得后一段弧的半径总比前一段弧的半径长1，又因为的半径为，可知任何一段弧的弧长都是1的倍数，根据圆心以A，B，C，D四次一个循环，可得的半径为．
【小问1详解】
根据题意，得：
的半径为，
的半径为，
的半径为，
的半径为，
【小问2详解】
由（1）知：的半径为，
的半径为，
的半径为，
半径为，
的半径为，
的半径为，
的半径为，
的半径为，
…
以此类推可知，弧的半径为，
【点睛】本题主要考查了图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律是解决本题的关键．
五．（本大题共2小题）
19. 如图，反比例函数的图象经过格点（网格线的交点），过点作轴于点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）已知直线经过格点，交轴于点．记（不含边界）围成的区域为．当直线经过格点时，区域内的格点坐标有几个？分别为哪些？
【答案】（1）
（2）区域内的格点坐标有3个，分别为，，．
【解析】
【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解；
（2）当直线经过格点，点，求出直线的解析式，结合图象即可求得内的格点坐标及个数；
【小问1详解】
将点代入反比例函数，得：
，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
∵直线经过格点，点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图所示：
∵点，轴于点，
∴点，
故区域的左边界为线段的部分，其解析式为：，
上方的边界为线段的部分，其解析式为，
令，得：，
∴点坐标为：，
故当时，，即与，
当时，，即，
∴区域内的格点坐标有3个，分别为，，．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键是，学会利用数形结合的思想．
20. 如图，是的内接三角形，是的直径，于点，过点作的切线交的延长线于点，连接．
（1）求证：是切线．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为5．
【解析】
【分析】（1）欲证是的切线，只需证明即可；通过全等三角形的对应角来证明该结论；
（2）由和，结合勾股定理求得，，在中，再利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵在中，，于点E，
∴，
在和中，，
∴．
∴．
又∵切于点A，为半径，
∴，
∴．
∴．
∴于点B．
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
设的半径为r，则，，
在中，，即，
解得，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形全等的判断和性质，解直角三角形，勾股定理等，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
六．解答题
21. 我省某通信公司准备逐步在浮山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡度（或坡比）为，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为45°，在处测得塔顶的仰角为53°，斜坡路段长26米．
（1）求点到水平地面的距离．
（2）求通讯塔的高度．（参考数据：，，）
【答案】（1）点到水平地面的距离为10米
（2）通讯塔的高度围为米
【解析】
【分析】（1）通过作辅助线，利用斜坡的坡度（或坡比）为，米，由勾股定理可求出的长，
（2）设米，根据坡度表示米，进而表示出 ，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．
【小问1详解】
如图，过作，为垂足，即为点到水平地面的距离，
∵斜坡的坡度（或坡比）为，
∴，
设米，则米，
Rt中，米，
由勾股定理得：，
即，
解得（负数舍去），
∴（米），（米），
答：点到水平地面的距离为10米；
【小问2详解】
如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，连接，，
∵斜坡的坡度（或坡比）为，
设米，米，
∵，
∴米，
∴米，
在Rt中，米，米，
∵，
∴，
解得，
∴（米），（米），
（米），
∴（米），
答：通讯塔的高度围为米．
【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．
七．解答题
22. 抛物线与交于点，分别交轴于点，，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．已知，．
（1）求的值．
（2）若点，及都在抛物线上，判断，，的大小关系，并说明理由．
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，，可得，然后代入可得的值；
（2）求出，可得抛物线的对称轴是直线，根据点，及并结合增减性可得，，的大小关系；
（3）求出，两点的坐标，可得的值．
【小问1详解】
解：∵，，轴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴的值为．
【小问2详解】
由（1）可得：，
当时，得，
解得：或，
∴，
∴，即抛物线的对称轴是直线，
∵点，及都在抛物线上，
又∵抛物线开口向上，且，
∴．
∴，，的大小关系为．
【小问3详解】
∵，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴，
当时，得，
∴，
∵，
当时，得，
∴，
∴．
∴的值为．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是掌握二次函数相关的性质．
八．解答题
23. 如图1，在矩形中，，，E，F分别是对角线上的点（点不与点重合，点可以与点重合），已知点A，F关于点对称，是的中点，以为圆心，长为半径在的下方作半圆，设．
（1）若，求半圆的半径．
（2）如图2，当点与点重合时，设半圆与交于另一点，求的长．
（3）当半圆与矩形的边相切时，求的值．（参考数据：，，）
【答案】（1）5 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可得，根据线段和差和线段中点定义可得，进而即可求解；
（2）设半圆与交于另一点，连接，，此时是的中点，是的中点，根据矩形的性质和相似三角形的判定易证，继而可得，由此可得，根据正切求得，继而可得出，根据弧长公式即可求解；
（3）分当圆与矩形的边相切和圆与矩形的边相切两种情况分析解答．
【小问1详解】
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵点A，F关于点对称，
∴，
∴，
即半圆的半径为5；
【小问2详解】
半圆与交于另一点，连接，，
此时是的中点，是的中点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
①如图所示，当圆与矩形的边相切时，设切点为，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵，
即，
解得：，
②如图所示，当圆与矩形的边相切时，设切点为，连接，
由①得：，，
∴，
∵，即，
解得：
综上所述，当半圆与矩形的边相切时，的值为或．
【点睛】本题考查圆的综合题，涉及矩形的性质、三角函数、弧长公式等知识点，注意利用数形结合的数学思想，解题的关键是熟练掌握并综合运用所学知识点．