精品解析：福建省莆田市莆田哲理中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：福建省莆田市莆田哲理中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 当时，下列分式中有意义的是， 下列分式约分正确的是， 当m为偶数时，与的关系是， 观察下列等式等内容，欢迎下载使用。

1. 2021年春节寒假期间，江西省教育厅高度重视交通安全教育，连续三次发出交通安全，时刻铭记的提醒，要求各级各类学校务必转发到每一个学生，下列交通安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判定即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
2. 计算下列四个式子，其值大于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方公式求解判断即可.
【详解】A.，不符合题意；
B. ，符合题意；
C.不符合题意；
D.，不符合题意；
故答案选B.
【点睛】本题考查了幂的乘方公式，熟练掌握幂的乘方公式是解题的关键.
3. 当时，下列分式中有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为，逐项对选项进行判定即可．
【详解】解：A、当时，的分母，该选项不符合题意；
B、当时，分母，该选项不符合题意；
C、当时，的分母，该选项符合题意；
D、当时，的分母，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为是解决问题的关键．
4. 下列分式约分正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断，选择正确答案．
【详解】A. 分式中没有公因式，不能约分，故A错误；
B.分式中没有公因式，不能约分，故B错误；
C．分式中没有公因式，不能约分，故C错误；
D. ，故D正确．
故选D.
【点睛】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握分式的基本性质
5. 如图，已知AB＝AD，CB＝CD，可得△ABC≌△ADC，则判断的依据是（ ）
A. SSSB. SASC. ASAD. HL
【答案】A
【解析】
【分析】由利用边边边公理证明即可.
【详解】解：

故选A
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.
6. 已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A. PQ＞10B. PQ≥10C. PQ＜10D. PQ≤10
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为10，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，
∴点P到OB的距离为10，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥10．
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的性质；垂线段最短．
7. 当m为偶数时，与的关系是( )
A. 相等B. 互为相反数
C. 不相等D. 以上说法都不对
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，求解即可．
【详解】解：当n为偶数时，，
所以
当n为奇数时，，
所以
故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握互为相反数的两数的偶数次方相等是解本题的关键．
8. （角度计算）如图，在中，，的垂直平分线交于点，且，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接得，由得，根据等边对等角可设，则，利用建立方程即可求解．
【详解】解：连接

由题意得：
∵
∴
∴
设，则
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点．熟记相关知识点内容是解题关键．
9. 如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为56，面积之和为58，则长方形的面积为（ ）
A. 98B. 49C. 20D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】设AB＝DC＝x，AD＝BC＝y，由题中周长和面积的关系，得关于x和y的二元二次方程组，根据完全平方公式及方程之间的关系，可得答案．
【详解】设AB＝DC＝x，AD＝BC＝y，由题意得：
化简得：
将①两边平方再减去②得：2xy＝20
∴xy＝10
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何问题中的应用，根据题意正确列方程组并运用完全平方公式化简，是解题的关键．
10. 观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知可得= ①，设=k②，则由①+②得：③，由①-②得：④，由④-③得：=，即可求解．
【详解】解：由题意，得=(2-1)()=
即= ①，
设=k②，
由①+②得：，
，
即③，
由①-②得：，
即④，
由④-③得：=，
∴=k，
解得：k=．
故选：D．
【点睛】本题考查数字规律探究，平方差公式的运用，等式的性质，解方程，求得= 是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11. 等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________．
【答案】100°
【解析】
【详解】试题分析：∵100°＞90°，∴100°的角是顶角，故答案为100°．
考点：等腰三角形的性质．
12. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10-9．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 已知a2﹣a+5＝0，则（a﹣3）（a+2）的值是_____．
【答案】-11
【解析】
【详解】


故答案为：-11
14. 已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，=________．
【答案】b﹣c﹣a
【解析】
【分析】先由数轴可知：c＜a＜0＜b，从而可得b－c＞0，然后根据算术平方根的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可知：c＜a＜0＜b
∴b－c＞0
∴
=
=
= b﹣c﹣a．
故答案为b﹣c﹣a．
【点睛】此题考查的是算术平方根的性质、利用数轴比较大小等知识点，根据数轴得到c＜a＜0＜b且b－c＞0是解答本题的关键．
15. 如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，延长DE交于AB于F，若EF＝2，则DF＝_________．
【答案】6
【解析】
【分析】由，得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质和，推出BE=4，再由∠DBE=∠CDE=30°，推出ED=BE=4，从而求出DF的长度．
【详解】解：∵，，
∴△ABC是等边三角形，
又∵，
∴∠AEB=90°，∠ABE=∠DBE=30°，
∵∠ACB=60°，，
∴∠CED=∠CDE=30°，
∴∠AEF=30°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BFE=90°，
∵，
∴BE=4，
∵∠DBE=∠CDE=30°，
∴ED=BE=4，
∴ ED+EF=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF是直角三角形．
16. 如图，ABC和ADE均为等边三角形，CE的延长线交BD于点F，连接AF，有以下结论：①BD＝CE，②AF平分DFC，③FB＝FE，④FE+DF＝AF．其中正确结论的序号是_____．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的性质和30°直角三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵ABC和ADE均等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝CE，故①正确；
过A作AMBD于M，ANCF于N，
由（1）得，
∵，
∴，
∴AM=AN，
∵，都直角三角形，
∴
∴，
∴
∴AF平分，故②正确；
当E与C点重合，F与B重合时，BF=0，
则EFBF，故③错误；
由②得AM=AN，
∵AMBD，ANCF，
∴和都为直角三角形，
∵
∴
∴MD=NE，，
∴，，
∴在含30°Rt和Rt中
，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质、30°直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质进行运算．
三．解答题（8+8+8+8+8+10+10+12+14）
17. 计算：()×-6（）0
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法，二次根式的性质，零次幂的性质计算即可．
【详解】解：原式＝．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的乘法，二次根式的性质，零次幂的性质，熟知任何一个不等于零的数的零次幂都等于1是解题的关键．
18. 化简并求值：，其中，且均不为0．
【答案】，
【解析】
【分析】先化简分式，再把代入求值即可．
【详解】解：


．
当，且均不为0时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是关键．
19. 如图，在中，是它的角平分线，且，垂足分别为E，F．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．
20. “四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙 . 某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读 . 已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元 . 求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？
【答案】40元和25元
【解析】
【分析】根据题意可设《孟子》这种书的单价为x元，则《论语》这种书的单价为，已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，所以可得等量关系式：，代入数据计算即可.
【详解】解：. 设《孟子》这种书单价为x元，则《论语》这种书的单价为，
根据题意，得：.
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意.
∴.
答：《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为40元和25元.
【点睛】本题是关于分式方程的实际问题，解题的关键在于能从题目中找到等量关系式，并能用合适的未知数来表示各个量，（注意：解得到的答案需要检验）.
21. 如图，已知△ABC中AB=AC．
（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠BAC=∠BFC．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的性质与作法以及截取相等线段的方法分别得出即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出∠ACF=∠AEB，进而利用三角形内角和定理得出答案．
【详解】如图所示：
（2）证明：∵AB=AC，AE=AB，
∴AC=AE．
在△EAF和△CAF中
∵，
∴△EAF≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠AEB，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=∠ACF，
又∵∠ADB=∠CDF，
∴∠BAC=∠BFC．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质，得出△EAF≌△CAF是解题关键．
22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求证：△ADB≌△ADC；
（2）小明说△ABE是等腰三角形，小华说△ABE是等边三角形．则______的说法更准确，说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）小华，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先说明△DBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得DB＝DC，然后根据SSS即可证明结论；
（2）先证明△ABD≌△EBC，再根据全等三角形的性质可得AB＝BE，再结合∠ABE＝60°即可说明△ABE是等边三角形．
【小问1详解】
证明：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，∠DBC=∠BDC=60°，
∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC （SSS）．
【小问2详解】
解：结论：小华更准确，理由如下：
∵∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△EBC中
，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB＝BE，
∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
故答案为：小华．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键．
23. 阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______．
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．
【答案】（1）
（2）满足条件的整数x的值为2或4或﹣10或16
【解析】
【分析】（1）按照定义拆分即可．
（2）先将拆分为一个整式与一个分式的和的形式，＝，若要值为整数，只需为整数即可．
【小问1详解】
解：
＝
．
【小问2详解】
解：
＝
若要值为整数，只需为整数即可
当x=2时
当x=4时
当x=-10时
当x=16时
故x=2或4或-10或16．
【点睛】本题主要考查了分式的化简、求使分式值为整数的未知数等知识点，理解逆用分数加减法的化简方法是解答本题的关键．
24. 如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD⊥AE，垂足为F．
（1）求证∠CAE=∠ABD；
（2）连接DE，满足∠AEB=∠DEC，求证：BD=DE+AE；
（3）点G在BD的延长线上，连接EG，满足∠AEB=∠GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）BG=AE+EG，见解析
【解析】
【分析】（1）根据∠CAE=90°-∠BAE，∠ABD=90°-∠BAE，等量代换即可得证．
（2）作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M，证明△ABD≌△CAM和△EDC≌△EMC即可得证．
（3）延长AE至点N，作EN=EG，先证明△BEG≌△BEN，再证明AN=BN即可．
【小问1详解】
证明：∵BD⊥AF，
∴∠BFA=90°，
∵∠CAE+∠BAF=90°，∠ABD+∠BAF=90°
∴∠CAE=∠ABD．
【小问2详解】
证明：如图，作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M
由①知，∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAM中，，
∴△ABD≌△CAM（ASA）
∴BD=AM，
∵∠AEB=∠CEM，
∴∠DEC=∠CEM，
又∵∠ACBA=45°
∴∠MCE=45°
在△EDC和△EMC中，
，
∴△EDC≌△EMC（ASA）
∴EM=ED，
∵AM=AE+EM，
∴BD=DE+AE．
【小问3详解】
证明：如图，延长AE至点N，作EN=EG，
∵∠AEB =∠GEC，∠AEB =∠CEN，
∴∠GEC =∠CEN，
∴∠BEG =∠BEN，
在△BEG和△BEN中，
∴△BEG≌△BEN（SAS），
∴BN=BG，∠GBC =∠NBC，
∵∠GBC =45°－∠ABD，
∴∠ABN =90°－∠ABD，
∵∠BAN =90°－∠CAE，且∠ABD =∠CAE，
∴∠ABN =∠BAN，
∴AN=BN=BG，
∵AN=AE+EN=AE+EG
∴BG=AE+EG．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握补短法证明线段间的关系是解题的关键．
25. 如图1，在△ABD中，点E，F分别是AB和AD上的点，满足AE=EF，连接EF并延长交BD延长线于点C．
（1）若DC=DF=EF，求证：AB=BC；
（2）如图2，过B作BG⊥AD，垂足G．
（i）求证：∠ABG=∠GBD+∠C；
（ii）如图3，连接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面积为4，求△AFC的面积．
【答案】（1）见解析 （2）（i）见解析；（ii）S△ACF＝8
【解析】
【分析】（1）先证明∠AEF＝∠CDF，然后证明△AEF≌△FDC（SAS），得到AF＝CF，进一步证明△ABD≌△CBF（ASA），即可证明AB＝BC；
（2）（i）如图1，延长BG交CE于H，先证明∠ABG＝∠FHG，再由∠FHG是△CBH的外角，得到∠FHG＝∠GBD+∠C，则∠ABG＝∠GBD+∠C；（ii）在AD上截取DN＝BD，连接BN，作CM⊥AD于M，先证明△BDN是等边三角形，得到BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，则∠ANB＝∠CDG＝120°，再证△ABN≌△FCD（AAS），推出CD＝BD，证明△BDG≌△CDM（AAS），得到CM＝BG，再由含30度角的直角三角形的性质得到DG＝BD，DG＝，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵AE＝EF，
∴∠A＝∠AFE，
同理可得：∠C＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠CFD，
∴∠A＝∠AEF＝∠CFD＝∠C，
∴∠AEF＝∠CDF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△FDC（SAS），
∴AF＝CF，
∴AF+DF＝CF+EF，
∴AD＝CE，
∵∠AEF＝∠CDF，
∴∠BEC＝∠ADB，
又∵∠C=∠A，
∴△ABD≌△CBF（ASA），
∴AB＝BC；
【小问2详解】
（i）如图1，延长BG交CE于H，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝∠FGH＝90°，
∴∠A+∠ABG＝∠HFG+∠FHG＝90°，
由（1）得，∠A＝∠HFG，
∴∠ABG＝∠FHG，
∵∠FHG是△CBH的外角，
∴∠FHG＝∠GBD+∠C，
∴∠ABG＝∠GBD+∠C；
（ii）解：如图2，
在AD上截取DN＝BD，连接BN，作CM⊥AD于M，
∴∠M＝90°，
∵∠BGD＝90°，∠GBD＝30°，
∴∠BDG＝90°﹣∠GBD＝60°，
∴△BDN是等边三角形，
∴BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，
∴∠ANB＝∠CDG＝120°，
∵BD＝DN，BD＝AF，
∴AF＝DN，
∴AN＝DF，
由（1）知：∠BAN＝∠CFD，
∴△ABN≌△FCD（AAS），
∴CD＝BN，
∴CD＝BD，
∵∠M＝∠BGD＝90°，∠BDG＝∠CDM，
∴△BDG≌△CDM（AAS），
∴CM＝BG，
∵∠BGD＝90°，∠DBG＝30°，
∴DG＝BD，
∴DG＝，
∵＝，＝，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．