云南省昆明市官渡区云南师范大学附属官渡学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

这是一份云南省昆明市官渡区云南师范大学附属官渡学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
1．（2分）下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，则颜色搭配正确的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1
5．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径
B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径
D．平分弦的直径垂直于弦
6．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD为⊙O的直径，AD＝8（ ）
A．4B．C．D．2
7．（2分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2970张照片，如果设全班有x名同学，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2970B．x（x﹣1）＝2×2970
C．x（x﹣1）＝2970D．2x（x+1）＝2970
8．（2分）若M（﹣4，y1），N（﹣3，y2），P（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
9．（2分）如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
10．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
11．（2分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
A．120°B．135°C．150°D．160°
12．（2分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°（ ）
A．（﹣，3）B．（﹣3，）C．（﹣，2+）D．（﹣1，2+）
13．（2分）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．﹣1C．π﹣D．﹣
14．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中（ ）
A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2
15．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
16．（3分）若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝ ．
17．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．
18．（3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为 ．
19．（3分）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米（即CD的长）为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
20．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）（x+1）2＝3x+3．
21．（5分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（3，4），B（1，2），C（4，1）．
（1）请画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的图形△A2B2C2；
（3）求在（2）的旋转过程中，点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）．
22．（6分）2020年是特殊的一年，武汉新冠肺炎疫情给国人带来伤痛的同时，也向世界展示了中国人民的团结、制度的优越、国家的强盛，我市某口罩厂2019年12月份生产了50万个，为驰援武汉，2020年2月份生产口罩72万个，该厂生产能力月增长率相同．
（1）求该厂生产口罩的月增长率是多少？
（2）如该厂生产口罩的月增长率保持不变，则2020年3月份生产的口罩个数为多少万个？
23．（7分）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1、2、3、4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，记下编号为n．
（1）请用画树状图或列表的方法表示（m，n）所有可能情况；
（2）规定：若m、n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，小明获胜；m、n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？
24．（8分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，日销售量y（千克）与销售单价x（元），如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
25．（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
26．（8分）如图，在菱形ABCD中，AC为菱形的一条对角线，交AC于点E，交BC于点F，且BF＝DG．
（1）求证：AG为⊙O的切线；
（2）若，CF＝3，求⊙O的半径．
27．（10分）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的解析式；
（2）如图②，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，EG∥y轴交BC于点G，求△EFG面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在；若不存在，请说明理由．
云南省昆明市官渡区云南师范大学附属官渡学校2023-2024学年
九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
1．（2分）下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、既是轴对称图形．
故选：D．
2．（2分）⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：∵⊙O的直径为10，
∴⊙O的半径为5，
∵圆心O到直线l的距离为3，
∵8＞3，即：d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：B．
3．（2分）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，则颜色搭配正确的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；
用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：
Aa、Ab、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是；
故选：C．
4．（2分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≤2且m≠7．
故选：D．
5．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径
B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【解答】解：A．最长的弦是直径，不符合题意；
B．半圆是弧，符合题意；
C．过圆心且端点在圆上的线段是直径，不符合题意；
D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，不符合题意．
故选：B．
6．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD为⊙O的直径，AD＝8（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∵，
∴∠D＝30°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝4，
∴，
故选：A．
7．（2分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2970张照片，如果设全班有x名同学，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2970B．x（x﹣1）＝2×2970
C．x（x﹣1）＝2970D．2x（x+1）＝2970
【答案】C
【解答】解：∵某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，且全班有x名同学，
∴每名同学需送出（x﹣1）张照片．
依题意得：x（x﹣1）＝2970．
故选：C．
8．（2分）若M（﹣4，y1），N（﹣3，y2），P（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【答案】B
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣6，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，
∵﹣7﹣（﹣3）＜﹣2﹣（﹣8）＜1﹣（﹣2），
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
9．（2分）如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
【答案】B
【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），
∴m＞0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
10．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣130°＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．
故选：C．
11．（2分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
A．120°B．135°C．150°D．160°
【答案】C
【解答】解：设圆锥的母线长为l cm，
则×20π×l＝240π，
解得l＝24，
设这个扇形的圆心角的度数是n°，
根据题意得20π＝，
解得n＝150，
即这个扇形的圆心角的度数是150°．
故选：C．
12．（2分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°（ ）
A．（﹣，3）B．（﹣3，）C．（﹣，2+）D．（﹣1，2+）
【答案】A
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，
∴A′H＝A′B′cs60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝2，
∴B′（﹣，3），
故选：A．
13．（2分）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．﹣1C．π﹣D．﹣
【答案】B
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA＝，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝，
故选：B．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中（ ）
A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2
【答案】C
【解答】解：设P、Q同时出发后经过t s2．
则BQ＝2t cm，AP＝t cm．
则S＝BP•BQ＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣3）2+4．
∵AB＝6，BC＝8cm，点Q的运动速度为7m/s，
∴0＜t≤4，
∴S＝﹣（t﹣6）2+9（5＜t≤4），
∴t＝3时，S有最大值，即△PBQ的最大面积为4cm2．
故选：C．
15．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下；
       ②若当x＝﹣2时，则由于点A和点C到x＝﹣2的距离相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，从而排除掉A和D；
      剩下的选项中都有③；
      易知直线y＝kx+c（k≠3）经过点A，C2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞5．
      故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
16．（3分）若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝ ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，得
b＝﹣3，a﹣2+a＝3，
解得a＝1，
a+b＝﹣3+3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
17．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ﹣5＜x＜3 ．
【答案】﹣5＜x＜3．
【解答】解：由题意得：二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，经过（2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣5，0）．
∵抛物线在x轴的上方部分y＞2，
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣5＜x＜8．
故答案为：﹣5＜x＜3．
18．（3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：如图，连接OA，
由题意可得：∠AOB＝360÷6＝60°，
∵OA＝OB＝2，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝8，
过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝BM＝1，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴S△AOB＝，
∴⊙O的面积约为：7S△AOB＝6．
故答案为：4．
19．（3分）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米（即CD的长）为 40米 ．
【答案】40米．
【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系
∴A（﹣40，0），0），200），
设内侧抛物线的解析式为y＝a（x+40）（x﹣40），
将（5，200）代入，
解得：a＝﹣，
∴内侧抛物线的解析式为y＝﹣x2+200，
将y＝150代入得：﹣x2+200＝150，
解得：x＝±20，
∴C（﹣20，150），150），
∴CD＝40m，
故答案为：40米．
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
20．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x＝1；
（2）（x+1）2＝3x+3．
【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝﹣1，x2＝2．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣6＝0，
x2﹣7x＝1，
x2﹣2x+4＝1+7，
（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝，
x3＝2+，x8＝2﹣；
（2）（x+7）2＝3（x+8），
（x+1）2﹣8（x+1）＝0，
（x+2）（x+1﹣3）＝7，
x+1＝0，或x+5﹣3＝0，
x3＝﹣1，x2＝4．
21．（5分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（3，4），B（1，2），C（4，1）．
（1）请画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的图形△A2B2C2；
（3）求在（2）的旋转过程中，点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】（1）作图见解析过程，点A1的坐标为（﹣3，﹣4）；
（2）作图见解析过程；
（3）．
【解答】解：（1）如图1，△A1B7C1即为所求，点A1的坐标为（﹣6，﹣4），
；
（2）如图2，△A7B2C2即为所求，
；
（3）根据题意可知：∠AOA3＝90°，，
∴点A旋转到A6所经过的路径长为．
22．（6分）2020年是特殊的一年，武汉新冠肺炎疫情给国人带来伤痛的同时，也向世界展示了中国人民的团结、制度的优越、国家的强盛，我市某口罩厂2019年12月份生产了50万个，为驰援武汉，2020年2月份生产口罩72万个，该厂生产能力月增长率相同．
（1）求该厂生产口罩的月增长率是多少？
（2）如该厂生产口罩的月增长率保持不变，则2020年3月份生产的口罩个数为多少万个？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该厂生产口罩的月增长率是x，
依题意得：50（1+x）2＝72，
解得：x6＝0.2＝20%，x4＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该厂生产口罩的月增长率是20%．
（2）72×（3+20%）＝86.4（万个）．
答：如该厂生产口罩的月增长率保持不变，则2020年3月份生产的口罩个数为86.7万个．
23．（7分）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1、2、3、4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，记下编号为n．
（1）请用画树状图或列表的方法表示（m，n）所有可能情况；
（2）规定：若m、n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，小明获胜；m、n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？
【答案】（1）见解析；
（2）故游戏不公平．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：由图知共有12种等可能结果；
（2）由树状图知若、都是方程，
若、都不是方程，即：
P（小明获胜）＝，
P（小刚获胜）＝，
故游戏不公平．
24．（8分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，日销售量y（千克）与销售单价x（元），如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
由图象可得，当x＝30时；x＝50时
∴，解得
∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）．
（2）设该公司日获利为W元，由题意得
W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）5+2000
∵a＝﹣2＜0；
∴抛物线开口向下；
∵对称轴x＝65；
∴当x＜65时，W随着x的增大而增大；
∵30≤x≤60，
∴x＝60时，W有最大值；
W最大值＝﹣2×（60﹣65）2+2000＝1950．
即，销售单价为每千克60元时，最大获利为1950元．
25．（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．
（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣2．
26．（8分）如图，在菱形ABCD中，AC为菱形的一条对角线，交AC于点E，交BC于点F，且BF＝DG．
（1）求证：AG为⊙O的切线；
（2）若，CF＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：如图：连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABF和△ADG中，
，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴∠AFB＝∠AGD＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠BAG＝∠AGD＝90°，
∴OA⊥AG，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AG为⊙O的切线；
（2）解：如图：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴，
设⊙O的半径为R，则AB＝BC＝4R，
∵AF2＝AB2﹣BF2＝AC2﹣CF2，
∴（2R）2﹣（2R﹣4）2＝52﹣32，
解得，
故⊙O的半径为．
27．（10分）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的解析式；
（2）如图②，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，EG∥y轴交BC于点G，求△EFG面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（，﹣）；△EFG的最大面积为；（3）存在，P点坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣）或（1，4）；
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），6）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令x＝0，则y＝﹣6，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠2），
将B（3，0），﹣7）代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设G（m，m﹣3），m2﹣7m﹣3），
∴EG＝（m﹣3）﹣（m6﹣2m﹣3）＝﹣m3+3m，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∵EG∥y轴，
∴∠EGF＝∠BCO＝45°，
∵EF⊥BC，
∴∠GEF＝∠EGF＝45°，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EF＝GF，
在Rt△EFG中，EF5+GF2＝EG2，
∴，
∴，
∴当EG最大时，△EFG的面积最大，
∵，
∴当时，EG的最大值为，
∴△EFG的最大面积，
此时，E（，﹣）；
（3）存在，理由如下：
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣5，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4），
∵B（7，0），
∴，
设P（1，n）2＝（5﹣1）2+（5﹣n）2，DP2＝（n+8）2，
以B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形
①当BD＝PD时，则，
∴P（1，﹣4+7，﹣4﹣8）；
②当BP＝DP时，则（3﹣5）2+（0﹣n）6＝（n+4）2，
解得，
∴P（1，﹣）；
③当BD＝BP时，则，
解得n1＝4，n6＝﹣4（舍），
∴P（1，3）；
综上所述，满足条件的点P有4个，﹣4+4，﹣4﹣3，﹣）或（1；