_山东省菏泽市巨野县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份_山东省菏泽市巨野县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（ ）
A．三角形相似的判定定理
B．三角形相似的性质定理
C．三角形全等的性质定理
D．三角形全等的判定定理
2．（3分）如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A．B．C．AC2＝AD•ABD．CD2＝AD•BD
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
4．（3分）在等腰△ABC中，AB＝8，BC＝10，则csB等于（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，BC＝5，那么tan∠EAF的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）下列命题中正确的命题有（ ）个
（1）等弧所对的圆周角相等．
（2）过圆心与弦所对一条弧的中点的直线必垂直于这条弦
（3）同弦所对的圆周角相等
（4）相等的圆心角所对的弧相等．
A．3B．2C．1D．0
7．（3分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．31°D．32°
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，过点O作射线OM，ON分别交BC，F，且∠EOF＝90°，EF；②；③DF2+BE2＝2OG•OC；④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍．其中正确的有（ ）
A．①②④B．①②③④C．①④D．①③④
二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）
9．（4分）在△ABC中，若∠A、∠B满足|sinA|+，则△ABC为 三角形．
10．（4分）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式sin（α+β），求sin75°的值，即sin75°＝sin（30°+45°）．试用公式cs（α+β）＝csαsinβ﹣sinαcsβ，求出cs75°的值是 ．
11．（4分）已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 ．
12．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD∠BDC．其中∠DAC＝25°，那么∠BAC＝ ．
13．（4分）如图，已知⊙O的直径AB＝4，弦CD垂直平分OB上一个动点（不与点A重合），连接CE，连接DF，则线段DF的最小值为 ．
14．（4分）若△ABC∽△DEF，并且面积的比为9：25，则它们的周长的比为 ．
三、解答题（本题共计8小题，共计72分）
15．（8分）求下列各式的值
（1）；
（2）．
16．（8分）如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）
17．（9分）已知AB为⊙O的直径，弦BE＝DE，AD，求证：AC＝AB．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC交⊙O于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连接DE.求证：DE=AB
19．（9分）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当△BPQ和△BAC相似时，求此时x的值．
21．（10分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝4，求阴影部分的面积（结果保留π．
22．（10分）如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6的中点，弦BD和CE交于点F，且DF=DC。
（1）求证：EB＝EF；
（2）求CE的长．
2023-2024学年山东省菏泽市巨野县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）
1．（3分）如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（ ）
A．三角形相似的判定定理
B．三角形相似的性质定理
C．三角形全等的性质定理
D．三角形全等的判定定理
【答案】B
【解答】解：物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，
故选：B．
2．（3分）如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A．B．C．AC2＝AD•ABD．CD2＝AD•BD
【答案】C
【解答】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似＝，
∴AC2＝AD•AB．
故选：C．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【答案】D
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，
∴点B（﹣8，﹣3）的对应点B′的坐标是（﹣3，3）．
故选：D．
4．（3分）在等腰△ABC中，AB＝8，BC＝10，则csB等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：当AB＝AC时，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，BD＝．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝4，
∴csB＝＝；
当CA＝CB时，过点C作CE⊥AB于点E．
∵CA＝CB，CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，BE＝．
在Rt△BCE中，∠CEB＝90°，BE＝4，
∴csB＝＝．
综上所示：csB＝或．
故选：C．
5．（3分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，BC＝5，那么tan∠EAF的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，
∴AD＝AF＝5，∠D＝∠AFE＝90°，
∴BF＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∵EF2＝EC2+CF4，
∴EF2＝（3﹣EF）7+1，
∴EF＝，
∴tan∠EAF＝＝＝，
故选：C．
6．（3分）下列命题中正确的命题有（ ）个
（1）等弧所对的圆周角相等．
（2）过圆心与弦所对一条弧的中点的直线必垂直于这条弦
（3）同弦所对的圆周角相等
（4）相等的圆心角所对的弧相等．
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解答】解：（1）等弧所对的圆周角相等，正确；
（2）过圆心与弦所对一条弧的中点的直线必垂直于这条弦，正确；
（3）同弦所对的圆周角相等，错误；
（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
正确的命题有2个，
故选：B．
7．（3分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．31°D．32°
【答案】C
【解答】解：连接OB，如图，
∵AB为切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣28°＝62°，
∴∠ACB＝∠AOB＝31°．
故选：C．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，过点O作射线OM，ON分别交BC，F，且∠EOF＝90°，EF；②；③DF2+BE2＝2OG•OC；④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍．其中正确的有（ ）
A．①②④B．①②③④C．①④D．①③④
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOC+∠COF＝∠DOF+∠COF，
∴∠EOC＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故结论①正确；
∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∵∠EOF＝90°，
∴∠OFE＝∠OEF＝45°，
∴∠OFE＝∠ECG＝45°，
∵∠OGF＝∠CDE，
∴△OFG∽△CEG，
∴，
故结论②正确；
∵△COE≌△DOF，
∴DF＝CE，OE＝OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴CF＝BE，
在Rt△CEF中，由勾股定理得2＝CE2+CF7，
∴EF2＝DF2+BE5．
在Rt△EOF中，由勾股定理得2＝OE2+OF6＝2OE2，
∴DF8+BE2＝2OE8．
∵∠OEG＝∠OCE＝45°，∠EOG＝∠COE，
∴△EOG∽△COE，
∴，
∴OG•OC＝OE2，
∴DF2+BE7＝2OG•OC，
故结论③正确；
∵四边形ABCD为正方形，
∴正方形ABCD的面积是△COD面积的4倍，
∵S△COD＝S△DOF+S△COF＝S△COE+S△COF＝S四边形CEOF，
∴正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的6倍，
故结论④正确．
综上所述，正确的有①②③④．
故选：B．
二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）
9．（4分）在△ABC中，若∠A、∠B满足|sinA|+，则△ABC为 直角 三角形．
【答案】直角．
【解答】解：根据题意得：sinA﹣＝8且tanB﹣，
则sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝90°,
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
10．（4分）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式sin（α+β），求sin75°的值，即sin75°＝sin（30°+45°）．试用公式cs（α+β）＝csαsinβ﹣sinαcsβ，求出cs75°的值是 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，
＝cs（30°+45°）＝cs30°cs45°﹣sin30°sin45°
＝×﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
11．（4分）已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 0≤d≤6 ．
【答案】0≤d≤6．
【解答】解：∵⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为d，
∴直线l与⊙O相切或相交，
∴0≤d≤7．
故答案为：0≤d≤6．
12．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD∠BDC．其中∠DAC＝25°，那么∠BAC＝ 75° ．
【答案】75°．
【解答】解：如图：
∵AB＝AC＝AD，
∴B、C、D在以A为圆心，
∵∠DAC＝25°，
∴∠DBC＝∠DAC＝12.6°，
∵∠DBC＝∠BDC，
∴∠BDC＝4∠DBC＝37.5°，
∴∠BAC＝2∠BDC＝75°，
故答案为：75°．
13．（4分）如图，已知⊙O的直径AB＝4，弦CD垂直平分OB上一个动点（不与点A重合），连接CE，连接DF，则线段DF的最小值为 3﹣ ．
【答案】3﹣．
【解答】即：∵连接OD，DB，AC，连接DM，
∵DC垂直平分OB，
∴OD＝BD，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠B＝60°，DK＝，
∵AB＝7，
∴OB＝2，
∴DK＝，
∵AB⊥CD，
∴AB垂直平分CD，
∴AD＝AC，CD＝8DK＝2，
∵∠ACD＝∠B＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD＝5，
∵M是AC中点，
∴DM垂直平分AC，
∴DM过圆心O，
∵∠AFC＝90°，
∴F在以AC为直径的圆上，
∵以AC为直径的圆的圆心是M，
∴DF的最小值是DM与AM的差，
∵△ACD是等边三角形，DM⊥AC，
∴DM＝CD＝3，
∵AM＝AC＝，
∴DF的最小值是3﹣．
故答案为：3﹣．
14．（4分）若△ABC∽△DEF，并且面积的比为9：25，则它们的周长的比为 3：5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，面积的比为9：25，
∴它们的相似比为3：6，
∴它们的周长的比为3：5．
故答案为：5：5．
三、解答题（本题共计8小题，共计72分）
15．（8分）求下列各式的值
（1）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝×+×+×
＝；
（2）原式＝×+﹣+
＝．
16．（8分）如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，由题意，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAC＝30°，
∴∠PAC＝∠APB．
∴PB＝AB＝400米．
在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，PB＝400米，
∴PC＝PB•sin∠PBC＝400×＝200．
答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米．
17．（9分）已知AB为⊙O的直径，弦BE＝DE，AD，求证：AC＝AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵弦BE＝DE，
∴＝，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵∠C＝90°﹣∠DAE，∠B＝90°﹣∠BAE，
∴∠B＝∠C，
∴AC＝AB．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC交⊙O于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连接DE.求证：DE=AB
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠FAC＝∠B+∠C＝2∠B，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE＝3∠EAC，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠EDC，
∵∠E＝∠C，
∴∠EDC＝∠B，
∴ED∥AB，
∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB．
19．（9分）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当△BPQ和△BAC相似时，求此时x的值．
【答案】（1）BQ＝x cm，PB＝（8﹣2x）cm．
（2）．当△BPQ和△BAC相似时，x的值为或．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10cm，
∴AB＝＝＝8（cm）．
由运动可知：BQ＝x（cm），PA＝7x（cm），
∴PB＝（8﹣2x）cm．
（2）由题意，得
5﹣2x＝x，
∴x＝．
∴当x＝时，△PBQ为等腰三角形．
当BP：BA＝BQ：BC时，两三角形相似，解得x＝，
当BP：BC＝BQ：AB时，两三角形相似，解得x＝，
综上所述，满足条件的x的值为或．
21．（10分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝4，求阴影部分的面积（结果保留π．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠CAD，
即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．
∵∠BAC＝60°，OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE＝OA，∠AOE＝60°，
∴AE＝AO＝OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，
∴S△AEM＝S△DMO，
∴S阴影＝S扇形EOD＝．
22．（10分）如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6的中点，弦BD和CE交于点F且DF=DC.
（1）求证：EB＝EF；
（2）求CE的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）7．
【解答】证明：（1）∵DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵∠DCF＝∠DBE，∠DFC＝∠EFB，
∴∠DBE＝∠EFB，
∴EB＝EF；
（2）过B作BH⊥CE于点H，连接AE，AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠AEB＝90°，
∵D是的中点，
∴，
∴∠DBA＝∠DBC，
∵∠DBE＝∠EFB，
∴∠DBE﹣∠DBA＝∠EFB﹣∠DBC，
即∠ABE＝∠ECB，
∴∠AOE＝∠BOE，
∴，AE＝BE＝，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
在等腰直角三角形BCH中，CH＝BH＝，
在Rt△BEH中，EH＝，
∴CE＝CH+BH＝．