河北省承德市重点高中联谊校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省承德市重点高中联谊校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
3. 两平行直线和间的距离是（ ）
A. B. C. D.
4. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A B.
C. D.
5. 过点引圆的切线，其方程是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 如图，已知四边形ABCD、ABEF都是正方形，若二面角为，则异面直线AC与BF所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
7. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线与抛物线C：交于A、B两点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，且，直线AB的倾斜角为，交AB于点，若为拋物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 10
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线：，则下列说法正确的有（ ）
A. 的一个方向向量为
B. 的截距式方程为
C. 若与直线互相垂直，则
D. 点到的距离为1
10. 已知曲线：，则（ ）
A. 若，则是圆B. 若，则是椭圆
C. 若，则是双曲线D. 若，，则是两条射线
11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则（ ）
A. B.
C. 平面D. 直线与AC所成角的正弦值为
12. 椭圆：的右焦点，抛物线：，，交于点，过作轴垂线交于A、B，交于C、D，下列结论正确的是（ ）
A 若，则离心率
B 若，则离心率
C. 若，则离心率
D. 若，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 双曲线的焦点坐标是______．
14. 已知空间向量，．若与垂直，则______．
15. 已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为______．
16. 中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”，若三棱锥为鳖臑，平面，，，则结论正确的序号是______．（填写序号即可）
①平面；
②直线与平所成角的正弦值为
③二面角的余弦值为
④三棱锥外接球表面积为
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知点，，直线的方程为：．
（1）求直线关于点对称的直线的方程；
（2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．
18. 已知圆在轴上截得线段长为4，在轴上截得线段长为．
（1）求圆心的轨迹方程；
（2）若点到直线的距离为，求圆的标准方程．
19. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．
（1）求证：；
（2）当三棱推的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角的正弦值．
20. 已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值．
21. 已知点为抛物线：的焦点，过且垂直于轴的直线截所得线段长为4．
（1）求的值；
（2）为抛物线的准线上任意一点，过点作MA，MB与相切，A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．
22. 已知椭圆C：的右顶点到左焦点的距离与左焦点到直线的距离相等，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于P，H两点，线段PH的垂直平分线与轴交于点．
①当时，求直线倾斜角的正弦值；
②求证：．2023—2024上学期承德市重点高中联谊校高二年级12月份联考
数学试题
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】得到抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标.
【详解】，则抛物线的标准方程为：，
焦点坐标在轴上，焦点坐标为．
故选：B．
2. 已知向量，，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量共线定理计算即可.
【详解】因为，所以存在唯一实数，使得，
则，解得，
故选：D．
3. 两平行直线和间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】将直线化为，
所以两平行直线和间的距离为：
．
故选：C．
4. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率可求得的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】，，，
渐近线方程，渐近线方程为．
故选：B．
5. 过点引圆的切线，其方程是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心和半径，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径，得到方程，求出答案.
【详解】根据题意，圆，即，
其圆心为，半径；过点引圆的切线，
若切线的斜率不存在，切线的方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设其斜率为，则有，即，
则有，解得，此时切线的方程为，即．
综上：切线的方程为和．
故选：C．
6. 如图，已知四边形ABCD、ABEF都是正方形，若二面角为，则异面直线AC与BF所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，结合空间向量的运算，可得，再由空间向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】根据题意可知，即为二面角的平面角，所以，
设正方形边长为1，异面直线AC与BF所成的角为，
，，，．
所以，
即，
所以，
即，，所以．
故选：C．
7. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果.
【详解】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形，
则有：，，，
所以，又因，即，，
可得：，解得，故离心率为．
故选：B．
8. 已知直线与抛物线C：交于A、B两点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，且，直线AB的倾斜角为，交AB于点，若为拋物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】设出直线AB的方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的判别式和根的系数关系、抛物线的定义逐一判断即可.
【详解】由题意，可设直线AB的方程为：，，，，
则：，消可得：，由得，
则，，又，
所以，
解得（舍）或，所以直线AB的方程为：，
过定点，又，故点在以OT为直径的圆上，
故点的轨迹方程为，，
又点和点在直线AB上，且AB的倾斜角为，
即直线AB的斜率，故，，
如下图弧所示，过P，D分别作准线的垂线，垂足分别为H，I，
根据抛物线的定义知：，
当点为ID与抛物线的交点时取等号，
又，当取最小值4时，此时取得最小值6，
故的最小值为6．
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用抛物线的定义和一元二次方程根与系数的关系.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线：，则下列说法正确的有（ ）
A. 的一个方向向量为
B. 的截距式方程为
C. 若与直线互相垂直，则
D. 点到的距离为1
【答案】AD
【解析】
【分析】由直线一般方程写出一个方向向量及截距式判断A、B；由垂直关系的判定列方程求参判断C；应用点线距离公式求距离判断D.
【详解】由直线方程知：的一个方向向量为，A对；
由，则截距式为，B错；
与直线互相垂直，则，可得，C错；
点到的距离为，D对.
故选：AD
10. 已知曲线：，则（ ）
A. 若，则是圆B. 若，则是椭圆
C. 若，则是双曲线D. 若，，则是两条射线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据圆、椭圆、双曲线、射线的方程特征逐一判断即可.
【详解】A选项，当时，，表示圆，A选项正确；
B选项，当时，，
方程表示焦点在轴上的椭圆，B选项正确；
C选项，当时，，表示双曲线，C选项正确；
D选项，当，时，，
表示两条直线，D选项错误．
故选：ABC．
11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则（ ）
A. B.
C. 平面D. 直线与AC所成角的正弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质和定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】以为空间一组基底，，
，
所以，A选项正确；
，所以
，
所以，B选项错误；
依题意可知，四边形ABCD是菱形，
所以，且，由于，，平面，
所以平面，C选项正确；
设直线与AC所成角为，，
，
，
，
，
所以，
，D选项错误．
故选：AC．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间向量基本定理、空间向量夹角公式.
12. 椭圆：的右焦点，抛物线：，，交于点，过作轴垂线交于A、B，交于C、D，下列结论正确的是（ ）
A 若，则离心率
B. 若，则离心率
C. 若，则离心率
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用代入法，结合抛物线和椭圆的定义和它们的离心率公式逐一判断即可.
【详解】把代入中，得，所以，
把代入中，得，所以，
A：，故A错误；
B：同理可得B正确；
C：，，
故C正确；
D：设，
亦可知点到椭圆左焦点的距离为，
，
整理得，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用代入法求出弦长表达式.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 双曲线的焦点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出，，得到，求出焦点坐标.
【详解】因为恒成立，故，，
所以，所以，
故焦点坐标为．
故答案为：．
14. 已知空间向量，．若与垂直，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量加法的坐标表示公式、垂直的坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】，，
．
与垂直，
，
，解得，，
，
故答案为：．
15. 已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为______．
【答案】内含
【解析】
【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系.
【详解】因为圆：，圆：，
所以圆心距，
而两圆半径之差，故两个圆内含．
故答案为：内含
16. 中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”，若三棱锥为鳖臑，平面，，，则结论正确的序号是______．（填写序号即可）
①平面；
②直线与平所成角的正弦值为
③二面角的余弦值为
④三棱锥外接球的表面积为
【答案】③④
【解析】
【分析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥，建立直角坐标系，结合空间向量的数量积和向量的夹角公式，以及球的截面圆的性质和球的表面积公式，即可求解.
【详解】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥，建立如图所示的直角坐标系，
则，，，，
可得，，
因为，所以与不垂直，与平面不垂直，所以①错误；
设平面的法向量为，则,
令，得平面的一个法向量为，
又由，设与平面所成角为，
所以，所以②错误；
设平面的法向量为，且，，
则，令，得平面的一个法向量为，
可得，由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为，所以③正确；
长方体体对角线为三棱锥外接球的直径，
可得，
所以，球的表面积为，所以④正确．
故答案为：③④．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知点，，直线的方程为：．
（1）求直线关于点对称的直线的方程；
（2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设直线上任意一点关于点的对称点为，得到，代入即可求解；
（2）设圆心，根据，求得，得到圆心和半径，即可求得圆的标准方程.
【小问1详解】
解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则，
因为，所以，
整理得，即直线的方程．
【小问2详解】
解：设圆心，
由，则，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆的标准方程为．
18. 已知圆在轴上截得线段长为4，在轴上截得线段长为．
（1）求圆心的轨迹方程；
（2）若点到直线的距离为，求圆的标准方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由弦长，半径，圆心到弦的距离之间的关系可知，，消去即可得到圆心的轨迹方程；
（2）设，由点到直线的距离公式得，与联立即可求出圆心与半径，即可求出圆的标准方程.
【小问1详解】
设，圆的半径为，
因为圆在轴上截得的线段长为4，点到轴的距离为，
所以有，即,同理有,
即，即
故点的轨迹方程为．
【小问2详解】
设，由已知得，
所以．又点在双曲线上，
所以，解得：或
此时圆的半径，
故圆的方程为或．
19. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．
（1）求证：；
（2）当三棱推的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式进行运算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.
【小问1详解】
、、两两垂直，
以为原点，、、为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
由于，设，则，其中，
则，
所以，，
则，故．
【小问2详解】
要使三棱锥的体积取得最大值，只要的面积最大即可，
由题意知，
当时，即E，F分别为AB，BC中点时的面积最大，
则，，设平面的法向量为，
又，，
则，
令得，
又正方体中平面，
所以为平面一个法向量，
所以，
则，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
20. 已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于的方程组，由此求解出即可知C的标准方程；
（2）根据条件先求出的方程，然后联立与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将表示为坐标形式即可求解出结果.
【小问1详解】
因为双曲线的渐近线方程为，所以①，
又因为点在双曲线上，所以②，
①②联立解得，所以双曲线的方程为．
【小问2详解】
由（1）可知双曲线中，
所以右焦点坐标为，即直线的横截距为2，
又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为，即，
联立得，
设，则，
所以．
21. 已知点为抛物线：的焦点，过且垂直于轴的直线截所得线段长为4．
（1）求的值；
（2）为抛物线的准线上任意一点，过点作MA，MB与相切，A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．
【答案】（1）
（2）直线恒过定点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出焦点坐标，将代入抛物线方程，得到，故，求出答案；
（2）设直线的方程为，与联立，根据求出，，同理可得，又点在，得到直线的方程为，求出定点坐标.
【小问1详解】
由题意知，，将代入抛物线方程得，，
故，故过且垂直于轴的直线截所得线段长为，
由可知；
【小问2详解】
直线恒过定点，定点坐标为，理由如下：
设，
由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线的方程为，与联立得，
由于直线为切线．
故，又，
则，解得，
所以直线，即，
同理直线的方程为，
又点在上，所以，
从而直线的方程为：，即，
故直线恒过定点．
【点睛】圆锥曲线中探究性问题解题策略：
（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；
（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可.
22. 已知椭圆C：的右顶点到左焦点的距离与左焦点到直线的距离相等，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于P，H两点，线段PH的垂直平分线与轴交于点．
①当时，求直线的倾斜角的正弦值；
②求证：．
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解；
（2）设直线的方程为，，且线段的中点为，联立方程组，得到，求得，得到线段的垂直平分线方程，求得，
①当时，列出方程求得，进而求得直线的倾斜角的正弦值；
②利用弦长公式，分别求得和的表达式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为椭圆的右顶点到左焦点的距离与左焦点到直线的距离相等，且过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3，
可得，解得，
所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
解：因为直线过点，且与坐标轴不垂直，
所以设直线的方程为，，且线段的中点为，
联立方程组，整理得，
则，所以，
所以线段的中点，
所以线段的垂直平分线方程为，
令，可得，即，
①当时，则，解得，故倾斜角为或，
所以直线的倾斜角的正弦值为．
②证明：因为，
且，所以．
【点睛】知识方法总结：对于直线与圆锥曲线问题的求解策略：
1、求解直线与圆锥曲线交点问题，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组，得到一元二次方程，结合根与系数的关系，进而进行求解；
2、参数范围问题，①通常利用圆锥曲线的几何性质或联立方程组，转化为方程或利用判别式构造不等关系，从而确定参数的值或取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解答的核心是建立两个参数之间的等量关系，结合题设中的不等关系建立不等式，从而求得参数的取值范围；③转化为函数，结合函数的值域将待求参数表达为其他变量的函数，求得函数的值域，从而确定参数的取值范围.