湖北省武汉市第六中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市第六中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，所以的零点所在的区间为.
故选：C.
2. 已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. 15D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解析式求解即可.
【详解】.
故选：A．
3. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系（为保鲜时间，为储存温度），若该食品在冰箱中的保鲜时间是144小时，在常温的保鲜时间是48小时，则该食品在高温的保鲜时间是（ ）
A. 16小时B. 18小时C. 20小时D. 24小时
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得，然后整体代入计算即可.
【详解】由题意，得，即，
于是当时，（小时）.
故选：A
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性证明函数为偶函数；分别求出，利用排除法，结合选项即可求解.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
，
则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；
又，故排除AB，D符合题意.
故选：D.
5. 幂函数图象过点，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案.
【详解】设幂函数为，则，故，，
则的定义域为，
故满足，解得.
故选：A
6. 若，，，，则，，大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系.
【详解】因为在上单调递减，所以，即，
又因为在上单调递增，所以，即，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数当时在上单调递增.
7. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.
【详解】由题设易知，且，设，
则函数开口向上且对称轴为，
所以在上单调递增，为增函数，
所以．
要使在上单调递增，则，即，
所以，要使对恒成立，
分离参数可得，，因为，当且仅当时取等号，但，所以所以．
综上，．
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A．
8. 设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，即，从而可得，进而判断函数的奇偶性与单调性，从而把问题转化为在上恒成立，结合函数的奇偶性与单调性可得，即，参变分离后结合最值即可求解.
【详解】设，即，
因为，所以，
所以，定义域为，
由，所以函数为偶函数，
因为当时，为单调递增函数，
所以当时，为单调递减函数，
因为在上恒成立，所以，
根据函数的奇偶性与单调性得，.
又因为，所以，
即，即，
又因为函数在上单调递增，所以当时，，
又因为函数在上单调递减，所以当时，，
所以.
故选：C.
二、多选题
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 方程在在区间上有且只有1个实根
B. 若函数，则
C. 如果函数在上单调递增，那么它在上单调递减
D. 若函数的图象关于点对称，则函数为奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理可判断A选项的正误；利用作差法可判断B选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，函数在区间上为减函数，函数在区间上为增函数，所以，函数在区间上为减函数，，，所以，函数在区间上有且只有个零点，
即方程在在区间上有且只有1个实根，A选项正确；
，B选项正确；
对于C选项，令，定义域为，关于原点对称，
且，所以，函数为奇函数，
由于该函数在区间为增函数，则该函数在区间上也为增函数，C错误；
对于D选项，由函数的图象关于点对称，则，
令，定义域为，且，即，
所以，函数为奇函数，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛:
本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出.
10. 已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A. xy最大值为B. 的最小值为
C. 最大值为D. 最小值为4
【答案】AB
【解析】
【分析】
选项ABC直接利用基本不等式求解即可；选项D将原式乘以后展开，利用基本不等式求解.
【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，由选项A得，则，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，又x，y是正数，故等号不成立，故C错误；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.
故选：AB
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件求得表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确．
【详解】解：∵，，
∴，，
因为，
又由，所以，选项A正确；
，，则，，所以，选项B正确；
因为，，则，，此时，
所以，故选项C不正确；
由和知与均递减，
再由，的大小关系知，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．
12. 已知函数，若方程有四个不同的零点，它们从小到大依次记为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A；结合对数函数性质可判断B；结合二次函数图象的性质可判断C；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.
【详解】画出函数的图像如下：
要使方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，
转化为函数的图象与有四个不同的交点，
由图象，得，故A正确；
当时，，则，故C正确；
当时，令，即，解得，
，故B错误；
∵，，
∴，即，则，
又，，
∵，∴，故D正确，
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：将方程有四个不同的零点问题转化为函数的图象与有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.
三、填空题
13. 已知，，则a，b表示______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据指数式与对数式的互化求出，再根据对数的运算性质计算即可.
【详解】由，得，
则.
故答案为：.
14. 函数值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】确定函数定义域为，变换，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】函数的定义域为，
，
当且仅当，即时等号成立，故值域为.
故答案为：.
15. 已知函数，则的值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据条件，构造奇函数，根据条件，利用换底公式得，再利用的奇偶性即可求出结果.
【详解】因为，所以恒成立，
又，所以，
令，易知的定义域为，
又，
所以为奇函数，又，
所以，得到，
又，所以，
故答案为：.
16. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称函数和互为“零点相伴函数”，若函数与互为“零点相伴函数”，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由的单调性结合，得，则可得，则由已知可得方程在区间存在实数根，令，则，，则，然后结合对勾函数的性质可求出结果.
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，
由，得，得，
所以由题意可知在区间上存在零点，
即方程在区间存在实数根，
由，得，
令，则，
根据对勾函数的性质可知函数在上递减，在上递增，
因为，
所以，所以，
解得，
即实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.
四、解答题
17. （1）若，求的值.
（2）求值：.
【答案】（1）23；（2）3.
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算性质求得，依次求得、，即可得结果；
（2）根据对数的运算性质化简求值.
【详解】（1）因为，所以，得.
所以，得.
所以，
所以.
（2）原式.
18. 已知函数（，且）的部分图象如图示．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；
（2）将问题转化为在有解，结合函数的单调性即可得解.
【小问1详解】
由图象可知函数经过点和，
所以，解得，
所以函数的解析式是．
【小问2详解】
由（1）知，，
根据题意知，即在有解，
设，则，
因为和在上都是单调递增函数，
所以在上是单调递增函数，故，
所以，实数m的取值范围是．
19. 已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】19. ；
20. .
【解析】
【分析】（1）由题设，利用指数函数性质及指对数关系求解集；
（2）由题设得，进而可得在恒成立求参数范围.
【小问1详解】
当时，可得，
由，得，可得，解得，
因此，当时，不等式的解集为；
【小问2详解】
因为，即，，
当，则，可得，可得，
而，则，解得，因此，实数的取值范围是；
20. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为 （其中a，b是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1 m/s.
（1）求的值；
（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位?
【答案】（1）
（2）345
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程求出的值，代入中可求得结果，
（2）由题意得，解不等式可得答案.
【小问1详解】
由题意可得,,
化简得①,
,化简得②,
联立①②,解得，
所以
【小问2详解】
由（1）得, ,根据题意可得,
即，得，
解得.
所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3 m/s,则其耗氧量至少要345个单位.
21. 已知函数且.
（1）若的值域为，求的取值范围.
（2）试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）首先设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）分，和三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数的值.
【小问1详解】
设函数的值域为，因为的值域为，所以.
当时，的值域为，符合题意.
当时，由，解得.
综上，的取值范围为.
【小问2详解】
当时，，因为，所以不符合题意，舍去.
当时，，不符合题意.
下面只讨论的情况.
若，则在上单调递增，由，
解得，
此时，
得，即当时，存在，符合题意，当时，不存在符合题意的.
若，则在上单调递减，
由，解得，
此时，
得，则当，即时，存在，符合题意.
综上，当或时，存在，符合题意；当时，不存在符合题意的.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.
22. 已知，函数.
（1）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简得，再讨论解集中恰好有一个元素，得到 的取值范围；
（2）由题得，即即，由二次函数的单调性可得出答案.
【小问1详解】
由即
等价于 ,即
当时，，经检验，满足题意.当时，，经检验，满足题意.
当且时，是原方程的解当且仅当，
即是原方程的解当且仅当，即.于是满足题意的.
综上，的取值范围为.
【小问2详解】
当时，，所以在
上单调递减，函数在区间上的最大值与最小值分别为.
即
对任意成立.因为，
所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得.